联结·迁移·建模：通向整数乘法一致性

［摘  要］ 研究者以“三位数乘两位数”单元的起始课为例，通过“教材研读，明晰内容结构；学情分析，探寻学习起点；单元整合，重构教学路径；课堂实践，推进一致性的纵深理解”等策略开展教学实践。在单元视域下，通过联结、迁移和建模，进一步加深学生对整数乘法整体性和一致性的理解。

［关键词］ 三位数乘两位数；数的运算；运算策略；一致性

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与运算”中有这样的描述：感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数运算本质上的一致性，形成运算能力和推理能力。如何体现运算的一致性？如何将学段之间的内容相互关联，让学生形成相对系统的、结构化的知识？笔者以“三位数乘两位数”单元为例进行单元整体教学研究，以“理解乘法算法算理的一致性”为主线，“理解乘法运算策略多样性”为暗线，明晰单元知识脉络。

一、教材研读，明晰内容结构

1. 教材体系中的地位

“三位数乘两位数”属于“数与代数”板块中“数的运算”的主题内容，人教版教材分四个阶段学习整数乘法：第一阶段表内乘法作为基本事实，是整数乘法的基础；第二阶段“多位数乘一位数的笔算”是乘法竖式教学的起始课和种子课，教师要借助多种分合方法，让学生体会按计数单位分的重要性，感悟位值原理；第三阶段“两位数乘两位数的笔算”是学生第一次接触分两层记录的乘法，是乘法竖式的生长点，需要优化分与合的记录方式；第四阶段“三位数乘两位数”是整数笔算乘法学习的终结课，教师引导学生既要侧重算理和算法的迁移，还要构建笔算乘法全景结构，体会整数乘法的一致性。

2. 整个单元的知识序列

如表1所示，本单元的知识序列为引导学生理解三位数乘两位数笔算、掌握算法，探索积的变化规律；合理运用运算策略使乘法运算简便，归纳乘法中的数量关系；利用数量关系解决实际问题，发展学生的运算能力、推理意识和模型意识。

教学时教师可以依据曹培英提出的“四面体模型”，融合口算、估算和笔算，灵活运用运算策略。竖式160×30计算安排在学生学习积的变化规律之前，不利于学生对积的末尾加2个0的理解。教师可以先教学积的变化规律，直接列竖式算出16×3，因为16后面添了个0，扩大了10倍，所以积也要扩大10倍，积后面要添个0；因为3后面添了个0，扩大了10倍，所以积也扩大10倍，积后面再添个0。

3. 不同版本的横向比较

基于沪教版小学数学教材的视角，在“两位数乘两位数”的下一章是“三位数乘两位数”，沪教版教材更强调知识的连贯性和整体性，人教版小学数学教材是将其分布在不同的年级。基于北师大版小学数学教材的视角，在探索“三位数乘两位数”的计算方法时，从横式、表格、竖式这三种角度呈现了四种计算方法，体现了算法的多样性，而人教版教材在这一环节直接给出不完整的笔算过程，更具有迁移之意。

因此，教师要思考：如何建立整数笔算乘法算理算法的联结，使学生从迁移的角度学习三位数乘两位数，感受整数乘法的一致性？学生怎样的表现代表其已经能用迁移的眼光学习整数乘法了？

二、学情分析，探寻学习起点

依据以上分析，笔者设计了考查学生竖式迁移能力的前测题。

（1）算式124×13可以解决下面哪个数学问题？（    ）

A. 一个布娃娃124元，小明买了13个，一共需要多少钱？

B. 一个布娃娃124元，一个铅笔盒13元，一共需要多少钱？

（2）请列竖式计算，并尝试通过画图或者口算写出竖式每一步的含义。（如果不会列竖式计算，请用自己喜欢的方式计算出结果）

（3）口试：请将你的竖式和下面的面积图（如图1所示）一一对应。（第2题完成的学生进行口试）

（4）四位数乘三位数，你会计算吗？请写出你的想法。（第3题完成的学生做）

基于SOLO分层理论，结合学生的答题情况，笔者将学生对算理算法的理解分为5个水平层次（如表2）。

从上述结果可以看出，大多数学生能把两位数乘两位数的算法迁移到三位数乘两位数中，并能正确算出答案，但对竖式与乘法的意义、口算、面积图的勾连较为欠缺，更多的是对算法的模仿，对整数乘法缺乏整体性认识。

因此，在教学时教师要注重引导学生理解竖式每一步的含义，将对算法的模仿上升到对算理的理解；同时联系“一位数乘一位数”与“多位数乘一位数”“两位数乘一位数”与“两位数乘两位数”以及“两位数乘两位数”与“多位数乘多位数”，让学生感受整数乘法的一致性。

三、单元整合，重构教学路径

1. 确定单元核心目标

结合以上分析，依据课标要求将单元内容和核心素养对应，笔者确定了单元目标：（1）让学生通过自主探究、对比交流等多种表征活动，理解三位数乘两位数的算理，掌握并运用积的变化规律优化竖式计算的方法，运用不同的运算策略解题，发展运算能力；（2）能通过独立思考、对比概括、合作交流等活动，经历猜想、验证的过程，探索积的变化规律，发展推理意识；（3）通过识别、表征、对比、抽象概括等活动，认识两种常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，能运用数量关系解决生活中同类问题，发展模型意识。

2. 重构单元内容序列

整合后的教学课时安排（如表3）保证了教学的板块和结构不变，凸显了算理算法的迁移和运算策略的灵活选择。第一阶段：在具体情境中，教师引导学生感悟竖式通法和结构联系；第二阶段：借助“铺地锦”让学生认识传统整数乘法的算理算法，沟通不同算法间的关系，提升文化自豪感；第三阶段：让学生经历“积的变化规律”的发现、表达和应用的过程，应用积的变化规律，掌握末尾有0的乘法竖式简便计算，在变式练习中加深对积的变化规律的理解，提升运算能力；第四阶段：让学生在自主编题的过程中体悟乘积最大的秘密，促使思维水平从“关联结构”跃至“抽象拓展结构”，同时培养学生灵活选择运算策略的能力；第五阶段：让学生在具体情境中理解单价、数量、总价的意义，感受数学与生活的紧密联系，以“编故事”为支架促进关系构建，提升表达能力，发展模型意识；第六阶段：借助比快慢的情境让学生感受“速度”产生的要素，通过不同场景应用，丰富速度呈现的方式；第七阶段：让学生进行拓展研究，理解数量关系，并将数量关系进行一一呼应、相互联结，借助线段图编题体会数量关系的一致性，发展推理意识和应用意识。在整体的学程设计中，构建算理算法、运算策略、实际应用的自主迁移高通路，从一致性走向普适性，赋予学生自然生长的力量。

四、课堂实践，推进一致性的纵深理解

基于上述分析，笔者围绕单元重构后的关键课例“三位数乘两位数的笔算”进行例证。

1. 溯源旧知，寻找关联

师：我们学过哪些乘法？

生1：学过乘法口诀，多位数乘一位数。

生2：两位数乘两位数。

师：如图1所示，请计算。

师：多位数乘一位数和两位数乘两位数之间有什么联系？

生3：三位数乘一位数相比两位数乘一位数，其第一个因数多了一位，多算了一次。

生4：两位数乘两位数相比两位数乘一位数，其第二个因数多了一位，多算了一层。

师：真会观察，今天我们就接着来学习三位数乘两位数。

设计意图：教师引导学生回顾已学的乘法运算，初步感受多位数乘一位数和两位数乘两位数之间的联系，为算理算法的再加工、再认识积累经验。

2. 迁移探索，融通算理算法

师：请同学们尝试用竖式计算134×12，并用自己喜欢的方式解释竖式每一步的含义。

如图2所示，教师展示学生的作品。

师：静静观察，你们有什么想说的？

生（齐声答）：134位置对错了，4应该和十位对齐。

师：4为什么写在十位？

生5：134乘2等于268是对的，这里的134是乘上10，表示1340。

生6：这里的4表示4个十。

师：竖式每一步的含义是什么呢？请两位同学解释一下。

如图3，教师展示学生作品。

师：这两位同学的作品有什么相同的地方？

生（齐声答）：都是把134×12看成12个134，先算2个134，再算10个134之后合起来。

师：如图4所示，在面积图中找到竖式每一步的含义，将自己的想法和同桌说一说。

师：这就是竖式计算方法，老师没有教你们就会了？

生7：都是先乘个位，再乘十位。

生8：除了第一个因数多了一位，其他都没变。

生9：这个和以前乘法竖式的计算方法是一样的。

小结：虽然第一个因数不一样，但都把12拆成2个一和1个十。先用个位的2去乘第一个因数，得到（    ）个一，和个位对齐。再用十位的1去乘，得到（    ）个十，和十位对齐。看似不一样，其实道理是一样的。

设计意图：教师引导学生用竖式计算三位数乘两位数，使学生主动勾连两位数乘两位数的竖式，达成形的迁移。结合口算、乘法的意义和面积图对竖式每一步含义进行解释，以达成算理的迁移。

3. 对比联结，建构模型

师：同学们已经会算三位数乘两位数了，接下来你们还会算什么呢？

生10：四位数乘两位数、三位数乘三位数……

师：那就挑战一下吧！请计算1134×12、134×112。

师生活动：教师批改部分学生作品，让批改完成的学生去帮助有困难的学生。

师：第一题挑战成功的请举手。

师：老师还没有教你们四位数乘两位数，怎么又都会了？

小结：如图5所示，不管是几位数乘两位数，都是把第二个因数拆开，先用个位乘第一个因数得到几个一，再用十位乘第二个因数得到几个十，最后加起来。

4. 延伸提升，拓宽模型

师：第二题挑战成功的请举手。如图6所示，对比三位数乘两位数和三位数乘三位数，你们有什么新的认识？

师：如图7所示，第三层的4为什么和百位对齐？

生：这里是134乘100，表示134个百。

师：那千位上再加一个数，接下来怎么乘？

生11：再乘下去，还会多一层。

生12：继续乘下去，会得到几个千。

师：看来道理是一样的。

师：同学们，学习三位数乘两位数后，数学书中就没有安排更多位数的乘法了，那不教你们会吗？

小结：因为它们运算的算理都是一样的，所以关键是学好三位数乘两位数。

设计意图：在模型建立方面，教师引导学生通过列竖式与四位数乘两位数和三位数乘三位数对比，让学生理解多位数乘多位数运算的一致性；在学习方式方面，通过学生互相批改和帮助，激发学生学习的积极性。

5. 多维应用，提升素养

（1）基础练习，初悟运算策略

师：老师带来了6张数字卡片0，1，2，4，5，6，请任选5个数编一道三位数乘两位数的题目，并列式计算。

作品搜集：搜集6幅学生作品，保证积有四位数或五位数。

师：老师搜集了6位同学的作品，在计算三位数乘两位数的过程中，有什么要注意的？

生13：要注意进位。

生14：乘法的第一层和第二层是加起来，而不是乘。

师：有的积是四位数，有的积是五位数，那积有没有可能是三位数或者六位数呢？

生15：不可能是三位数，因为最小的100×10=1000都是四位数；也不可能是六位数，因为最大的999×99=98901也是五位数。

生16：我可以用估算1000×100=100000，都变大了也才是六位数，所以不可能是六位数。

小结：还能用估算解决问题，同学们实在是太有想法了，看来三位数乘两位数的积只可能是四位数或者五位数。

设计意图：在运算能力方面，教师引导学生通过计算三位数乘两位数提升计算能力，通过判断积可能是几位数锻炼学生估算的能力；在学习方式方面，让学生通过自由编题和同桌互相批改，既激发学生学习的兴趣，又训练学生三位数乘两位数的计算能力。