指向学生“思维进阶”的学习力提升

［摘要］发展学生的数学高阶思维关键是要让学生的数学思维“有理”“有序”“有向”。“提纯”能让学生数学思维由表及里，“转换”能让学生数学思维由此及彼，“蓄力”能让学生数学思维去伪存真，“构体”能让学生数学思维由点到面。教学中，教师要积极培养学生质疑问难的习惯、品质，引导学生数学学习“再发现”“再创造”，进而不断提升学生数学学习力，发展学生数学核心素养。

［关键词］小学数学；学习力提升；思维进阶

发展学生的数学思维是数学学科教学的核心。在数学学科学习过程中，学生的思维是逐渐进阶的，从低阶走向高阶。为了促进学生的数学思维进阶，教师在数学教学中要有意识地提升学生的数学学习力。指向学生思维发展的学习力提升，要求教师在教学中要引导学生进行自主建构，要引导学生进行数学学习“提纯”，为学生的数学学习“蓄力”“赋能”。在数学学科教学中，学生的“学习力提升”与“思维进阶”是相辅相成、相得益彰的。提升学习力有助于学生的思维进阶，学生的思维进阶反过来能促进学习力的提升。

一、提纯：让学生数学思维由表及里

学生的高阶思维发展是一个由浅入深、由表及里的过程。在数学学科教学中，教师应当在数学学科知识的重点、难点、核心、关键处发力。一般来说，数学学科知识的本质往往隐藏在知识之中，尤其是隐藏在核心知识（比如数学基本原理、定义、定理、规律等）之中。教师要引导学生经历将生活经验数学化过程，这个过程就是对学生的生活经验进行提纯的过程。所谓“提纯”就是学生数学学习“数学化”“公理化”“形式化”的过程［１］。通过对数学学科知识提纯，学生的数学思维能超越知识表象、表层，进入知识的本质、关联的深处。

在提纯的过程中，教师一方面要引导学生从生活经验过渡到数学学科知识，另一方面要对数学学科知识进行探究，这是“横向数学化”和“纵向数学化”的过程。以“2、5的倍数的特征”这一部分内容的教学为例，部分教师在教学这部分内容时，常常会列举出一些2、5的倍数，然后让学生观察它们的特征。通过教师的书写整齐地排列，学生或许能产生一种数学性的发现。比如，2的倍数的特征是个位上的数是“0、2、4、6、8”，5的倍数的特征是个位上的数是“0、5”等。这样的教学，只能让学生停留在对知识的表层认知上，使学生“知其然而不知其所以然”。为了发展学生的数学思维，让学生对数学知识的认知“由表及里”，教学中教师可以试探性地提问：“为什么2、5的倍数的特征只需要我们关注个位数？”这样的一种试探性的提问，能激发学生的多种猜想。比如，笔者在教学中采用这样的一种“探问”方式，让学生猜想“一个数是否是2的倍数可能与这个数前面的数无关”。围绕学生的这种大胆猜想，笔者引导学生开展深度探索：将任何一个数分为个位上的数和整十数，结果发现整十数都是2的倍数。由此，学生深刻地认识到“判定一个数是否是2的倍数，主要是看个位上的数”的道理。

“提纯”不仅要求教师要深入研究数学学科知识，更要研究学生的具体学情。教师要更新教学理念，变革教学方式、教学方法，通过引导学生不断探究，发展学生的高阶思维。在教学中，教师要对数学学科知识追本溯源，同时要引导学生对数学学科知识本质进行追问。正如美国数学家赫斯所说：“问题不在于教学的最好方式是什么，而在于数学是什么。”［２］

二、转换：让学生数学思维由此及彼

在数学学科教学中，教师不仅要引导学生对数学学科知识进行“提纯”，更要引导学生对数学学科知识进行“转换”。提纯让学生的数学思维由浅入深、由表及里，转换则让学生的数学思维由此及彼。通过转换，培育学生的数学思维的灵活性，让学生的思维能在不同的数学表征之间转换。通过思维转换，能有效培育学生灵活解决相关的实际数学问题的能力。同时，思维转换不是让学生的思维囿于一隅，而是能学会变通。

在数学学科知识教学中，教师要赋予学生一种“使熟悉的事物陌生化”的洞察力，赋予学生一种“视角转换的想象力”。比如，教学“三角形的稳定性”时，学生受到了经验负迁移的影响，认为三角形的稳定性就是三角形比较稳固、三角形的稳定性就是三角形摇不动等。这些是学生基于经验性认知而形成的一种根深蒂固的观念，会对学生的数学学习产生“负迁移”，严重影响学生建构正确的数学知识和形成正确的数学观念。

如何让学生转变数学迷思概念？笔者在教学中借助小组合作操作，引导学生进行思维转换。比如，笔者给学生分发若干根小棒，让学生用这些小棒围成三角形、平行四边形。在同组学生用三根小棒围三角形、平行四边形之后，笔者让学生彼此之间将围成的三角形、平行四边形等进行比较。结果学生发现，如果所用的小棒的规格相同，所围成的三角形的大小、形状就完全相同，围成的平行四边形的形状、大小却不尽相同。学生这样的思维转换，不是教师强制、逼迫下的转换，而是教师启发、引导下的转换，是一种积极主动的转换。通过这样的转换，让学生能深刻理解数学学科知识的本质，即“数学意义上的三角形的稳定性不是指三角形拉不动，而是指三角形的三条边的长度确定了，这个三角形的大小、形状也就确定了”。引导学生进行思维转换，能让学生在数学知识的最本质的地方有所把握，有助于促进学生对数学学科知识的意义建构。

思维转换主要着眼于学生的数学思维视角、方向等，思维转换能促进学生的数学思维的有效发展。通过数学思维转换，有助于学生在数学学习中灵活变通。在数学教学中，教师要引导学生进行积极主动的探寻、比较，要让学生从数学学科意义上考量。教师通过恰当的引导、组织，能让学生突破自我的思维局限、思维桎梏、思维定式，让学生走出自我的迷思。

三、蓄力：让学生数学思维去伪存真

发展学生的高阶思维需要借助一定的“势能”来助力。在数学学科知识教学中，教师要始终关注数学学科核心知识、关键知识。要立足于“高观点”“大视野”，聚焦于数学学科中的抽象性、概括性、包容性、解释性强的知识，这就是“上位知识”［３］。数学学科的“上位知识”具有一种生成性、生发性的特点。“蓄力”能让学生的数学学习聚焦、聚力于数学学科的上位知识，只有聚焦于数学学科的上位知识，才能让学生的数学学习纲举目张。在数学学科知识教学中，聚力于数学学科的上位知识，其他相关的数学知识就能被提起来。

比如教学“异分母分数加减法”这一部分内容时，笔者提出发散学生思维的问题：“异分母分数相加减怎样计算？”由此引导学生用“画图法”“化小数法”“通分法”等进行探索，打通学生的思维、经验等。在教学中，教师不仅要引导学生学会计算异分母分数加减法，更要放眼于整个的“加减法”知识，将“整数加减法”“小数加减法”等融入其中，将学生放置于一个更大的知识体系和思维场域之中，引发学生高阶思维、高阶认知的发生。

（1）知识回顾：“整数加减法”的法则是怎样的？“小数加减法”的法则又是怎样的？

（2）求同比较：“整数加减法”“小数加减法”和“异分母分数加减法”的法则有怎样的共同点？

（3）高阶思维：无论是整数加减法、小数加减法还是分数加减法，都是将不同计数单位的数转化成相同计数单位的数，即“只有计数单位相同才能直接相加减”。

这样重要的“加减法”的内在性算理，就是“整数加减法法则”“小数加减法法则”以及“异分母分数加减法法则”的上位概念。当学生在数学学习中借助高阶思维建构了这样的“大概念”，学生就能积极主动地用“大概念”来解释数的加减法和指导数的加减法的学习实践。这样的学习过程就是一种不断“去伪存真”的过程。

蓄力是为了发力。在数学学科知识教学中，教师要找准“发力点”，在核心知识、上位知识等处发力，让学生积极主动地应用核心知识、上位知识指引自我的数学学习。借用生物学的术语，“上位知识”就是数学学科知识的“DNA”，是学生学习的最小单位。这些上位知识是具有活性和繁衍能力的一种知识，也是其他相关数学学科知识得以生发、依附的主根。

四、构体：让学生数学思维由点及体

美国学者杜威曾经说，学生的思维一般来说有两种运动：一是着眼于发现的归纳性运动，二是用来检验的演绎性运动［４］。在数学学科教学中，教师一方面要催生学生的数学发现，另一方面要引导学生积极地建构、创造。在这个过程中，教师不仅要引导学生把握数学学科知识的本质，更要引导学生把握数学学科知识的关联。因此，教师必须引导学生将数学学科知识串接起来，连点成线、连线成面、构面成体。通过勾连知识，让学生的数学思维也能勾连起来，让学生的数学思维能由点及线、由线及面、由面及体。

在数学学科学习中，学生的数学思维往往是“点状”的。教师就要引导学生的思维实现进阶，由“点状”提升至“线状”、由“线状”发展为“体状”。“体状”的思维就是一种整体性、立体性、结构性、系统性的思维。比如教学“梯形的面积”这一部分内容时，在学生应用“割补法”推导出“梯形的面积”之后，笔者适时追问：“我们已经学习了哪些平面图形的面积？推导这些平面图形我们分别用了哪些方法？其中蕴含着怎样的数学思想？这些平面图形的面积公式之间有怎样的关系？”

这样的问题能活化学生的数学思维，催生学生的数学想象。当学生的数学思维阻滞时，笔者引入多媒体课件，向学生动态展示梯形演变成三角形的过程。学生惊异地发现，原来当梯形的上底变成一个点时，梯形的面积就演变成了三角形的面积。由此，学生进行相似性联想：“平行四边形是否可以看成上下底相等的梯形的面积公式？长方形是否可以看成是上下底相等、并且斜边垂直于上下底的梯形的面积公式？正方形是否可以看成是上下底和高都相等的梯形的面积公式？”在相似性联想的过程中，学生深刻地感受、体验到诸多的数学知识之间的联系。

在此基础上，笔者追问：“既然梯形的面积公式可以表征所有的多边形的面积公式，为什么我们在计算多边形的面积时不采用梯形的面积公式，而是灵活地采用各个多边形自身的面积公式呢？”通过这样的追问，引导学生进行辩证性思维，让学生深刻认识到知识的普遍性与特殊性、共性与个性、复杂性与简洁性的关系。学生的思维由此实现点的串接、线的串通、面的勾连、体的形成，其数学思维呈现出一种生长的态势。

提升学生的数学思维，发展学生的高阶思维，关键是要让学生的数学思维“有理”“有序”“有向”。教学中，教师要开拓学生的思维空间，赋予学生思维的权利，引导学生积极主动地思维。教师要积极地培育学生的质疑问难的习惯、品质，引导学生的数学学习“再发现”“再创造”，进而提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

数学是思维的体操。教师要提升学生的高阶思维，高阶思维的发展是学生数学学习力提升的重要标识。教师要积极探寻学生数学思维的发展的起点、生长的关键节点，引导学生的数学思维由此及彼、由表及里、去伪存真、由点到体等，促进学生的数学思维不断发展、进阶，促进学生的数学学习力不断提升。

参考文献：

［１］李光树. 小学数学学习论［Ｍ］. 北京：人民教育出版社，２０１５.

［２］汪绳祖. 小学数学教育学［Ｍ］. 北京：高等教育出版社，１９９７.

［３］张兴华. 儿童学习心理与小学数学教学［Ｍ］. 南京：江苏教育出版社，２０１１.

［４］陈曦. 借助直观表征培养数学思维能力［Ｊ］. 小学数学教育，２０１６（１７）：３－６.