整体教学：优化学生数学基本活动经验

[摘 要］整体教学是教师“教”和学生“学”的和谐统一，实施整体教学能唤醒、激活、应用学生的数学基本活动经验。“创异”让整体教学走向开放，“创易”让整体教学蕴含结构，“创意”让整体教学趋向融合，“创益”让整体教学彰显价值。整体教学能让学生数学基本活动经验得到有效积累、拓展、提升、应用，能丰富、优化学生的数学基本活动经验，让学生的“学”真正回归学生主体、回归学习本真。

［关键词］小学数学；整体教学；基本活动经验

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调“四基”（基础知识、基本技能、基本数学思想、基本活动经验）在培养学生核心素养中的地位、作用。其中，基础知识、基本技能能累积、促成学生的基本活动经验的生成。基本活动经验的内涵十分丰富，主要包括观察经验、操作经验以及思维经验等。在小学数学教学中，教师要激活、应用学生的数学基本活动经验。教师要实施整体教学，让学生的数学基本活动经验得到有效积累、拓展、提升和应用，因为数学基本活动经验的积累、应用构成了学生数学学习螺旋上升式的“循环”。

一、创异：让数学整体教学走向“开放”

整体教学是一种系统性、结构性的教学。整体不是封闭的、固化的，应是动态的、生成的、开放的［1］。教师在实施整体教学时要有意识地让教学内容、时空、资源等走向开放，创异性整体教学要求教师开放教学环境、教学思想、教学目标、教学过程、教学主体、教学形式、教学评价等。通过开放，激发学生的数学思维、想象，引发学生的深度探究，全面提升学生的数学学习效能，增强学生的数学学习幸福指数。

比如，教学“长方体的表面积”这一部分内容时，笔者设计了一个开放性问题引导学生积极投入数学思维、探究活动中，让学生数学学习充满开放性、生成性、整体性。

问题：找一个长方体的火柴盒，测量其长宽高，计算做这样一个火柴盒需要多少平方厘米的硬纸板（纸板厚度忽略不计）？

为了让学生直观感知火柴盒，笔者在教学中借助多媒体课件呈现火柴盒，让学生认识火柴盒有外盒和内盒，其中外盒有4个面，内盒有5个面。通过驱动性问题——“做这样一个火柴盒需要多少平方厘米的硬纸板”，唤醒学生“长方体底面积”“长方体侧面积”和“长方体表面积”的计算活动经验，引导学生进行自主观察、思考、操作、研讨，进而形成探究思路、方法。

策略1：火柴盒的外盒4个面的面积加上火柴盒的内盒5个面的面积；

策略2：火柴盒4个A面的面积加上3个B面的面积，再加上2个C面的面积；

策略3：用火柴盒的一个完整的表面积加上2个A面的面积和1个B面的面积；

策略4：外盒的侧面积加上内盒的5个面的面积；

策略5：外盒的侧面积加上内盒的侧面积，再加上内盒的1个底面的面积。

这样的教学激活了学生的数学思维，发展了学生的数学想象力、创造力，丰富了学生的数学基本活动经验。学生的思维、想象呈现出一个开放的样态，同时是一个有机整体，它将长方体底面积、侧面积、表面积等多重知识集合在一起。这既让学生应用了相关底面积、侧面积、表面积等知识，又让学生形成了根据实际需要计算材料用量的方法、策略。这样不仅有效发展了学生的空间观念，还培育了学生实事求是、一切从实际出发的数学应用观念。

二、创易：让数学整体教学体现“结构”

整体教学是一种层次性、结构性、系统性的教学。教学中，教师不仅要引导学生“创异”，还要引导学生“创易”。“创易”是指教师“引导学生将相关的数学学科知识串接起来，使之成为一个有机的整体”。串接起来的数学知识是一种简捷、容易驾驭的知识，具有提纲挈领的作用。在创易教学中，教师要努力在结构化、系统化的知识基础上提炼抽象出“大观念”“高观点”等，以便让学生在数学学习中能举一反三、触类旁通。

在创易教学中，教师既要洞察数学学科知识点的纵向关联，又要把握数学学科知识点的横向关联；既要洞察数学知识的来龙去脉，又要注重数学知识点之间的联系、区别。教学中，教师要避免数学学科知识点的简单罗列，避免数学学科知识点的散点化、碎片化，应当注重用“上位知识”统摄“下位知识”，用“高观点”“大观念”“大思想”等统摄“上位知识”。这样，学生的数学学科知识学习就能成为整体性、结构性学习。比如，在教学“体积单位的进率”这一部分内容时，教师应当引导学生复习相邻两个长度单位之间的进率、相邻两个面积单位之间的进率，将相邻两个长度单位之间的进率和相邻两个面积单位之间的进率对应起来，并引导学生概括两个进率的关系，即相邻两个面积单位之间的进率是相邻两个长度单位之间进率的平方。

教师要引导学生猜想相邻两个体积单位之间的进率，帮助学生积累思维性的基本活动经验。在此基础上，教师引导学生借助“方块图”（体积单位图）进行操作验证，帮助学生积累操作性活动经验、观察性活动经验等，让学生感悟“长度是一维的线，面积是二维的面，体积是三维的间（空间）”。这样的内在逻辑能帮助学生打通长度单位、面积单位、体积单位之间的关联，有助于学生形成稳定的、直观的、形象的知识结构。

创易教学是一种简约性的结构化教学，能唤醒、激活、应用学生的数学基本活动经验，让学生在数学学习中举一反三、触类旁通。教师既要对数学学科知识“瞻前顾后”，又要对数学学科知识“左顾右盼”。实施创易性整体教学，教师要打通数学学科知识的内在逻辑，把握数学学科知识的内在关联。只有把握逻辑、关联，学生的数学学习才能从零散走向集约，学生的数学基本活动经验才能从零碎化走向结构化。

三、创意：让数学整体教学趋向“融合”

数学整体教学是一种融合性的教学，甚至是跨学科、跨界的教学［2］。教师要引导学生在数学学科学习过程中突破数学本身、课时限制、学科边界和学习本身。只有引导学生勇敢地跨界，将相关学科素材、资源等引入学习之中，将学生生活素材、资源等引入学习之中，学生的数学学习才能焕发出生命活力。创意是一种突破，是学生的思维、认知、想象的突破。突破能让学生真正走近学习对象，能丰富、发展学生的数学基本活动经验。因此，教师在整体教学中要架构“大问题”“主任务”，引导学生数学学习“自建构”“互建构”“深建构”。

教学“小数的意义”这一部分内容时，很多教师从学生的生活经验入手，借助超市中的商品的价格等来引导学生认识小数。其实，这仅仅是一种从生活的视角单一认识小数的方法。这样的教学方式无法沟通数学学科知识的关联，无法让学生整体性认识小数的意义。从数学史看，小数起源于度量，是人类在测量某个事物的量的大小无法用整数来表达时的一种产物。正如整数是由若干个“1”累积而成的一样，小数也是由若干个“单位”累积而成的。比如，0.6可以看成是6个0.1累积的和、0.06可以看成是6个0.01累积的和等。从这个视角来引导学生认知小数，教师就可以融入相关的资料、素材。比如，引导学生用厘米测量书本的长度、用面积单位来引导学生测量一个长方形的面积、用砝码来引导学生测量一个物体的质量等。这样的认识小数的意义的过程和人类在远古时代“打孔计数”类似，很多的数学知识就能得到整合：“加法”“乘法”都可以看成是单位量的累加，“减法”和“除法”可以看成是量的削减或细化等。教师抓住“单位”，引导学生从“单位”的视角进行观察、思考、探究，能让学生产生创造性的感悟，有效助推学生沟通“量与计量”“数的认识”“数的运算”“运算与度量”等不同板块知识间的关联。在这个过程中，学生的数学基本活动经验能得到丰富、提升。

整体教学能催生学生的数学学习发现，引发学生的数学学习创意、创想。在数学整体教学中，教师要积极探寻不同形态知识背后的相同思想，引导学生通过整体学习打破学习的“点状”，形成学习的“块状”。教师要以统整的观念对学生的数学学习整体谋划、长程设计。如此，教师可以引导学生去发现、建构、创造。这种基于关联、结构的创新性、创造性数学整体教学能有效提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。整体教学能有效积累和提升学生的活动经验，让学生的数学学习真发生、深发生。

四、创益：让数学整体教学彰显“价值”

整体教学要充分发挥教学的整体性功能，彰显数学学科知识以及学生数学学习的整体性价值。整体教学的价值空间是巨大的，教师要积极发掘整体教学的价值空间、意义空间，让教学具有效益性。“创益”就是要创造效益，就是要体现效能、效果。教学中，教师可以引导学生进行整体比较、分析、抽象、概括等，发展学生的整体数学思维，让学生积累结构化活动经验。

比如，教学“圆柱的体积”这一部分内容后，笔者采用“变式教学”的方式设计了“直柱体的侧面积、体积”课题，引导学生去把握数学学科“同类知识的不同质”和“同质知识的不同类”。具体而言，笔者分三个层次引导学生自主建构、创造。

一是教学直柱体的侧面积。这一部分内容是在学生学习了长方体的侧面积公式、正方体的侧面积公式、圆柱体的侧面积公式等基础上开展教学。一方面，笔者引导学生借助画图来比较它们的侧面积公式；另一方面，笔者引导学生借助公式比较来抽象、概括它们的侧面积公式。通过这样的同类知识比较，引导学生逐渐建构直柱体的侧面积公式，形成“直柱体的侧面积就是底面周长乘高”的上位认识。

二是教学直柱体的体积。这一部分内容是在学生学习了长方体的体积公式、正方体的体积公式、圆柱体的体积公式等基础上开展教学。一方面，笔者引导学生借助画图来比较它们的体积公式；另一方面，笔者引导学生进行公式演绎、比较，从而抽象概括出直柱体的体积公式。通过这样的同类知识比较，引导学生逐渐建构直柱体的体积公式，形成“直柱体的体积就是底面积乘高”的上位认识。

三是比较直柱体的侧面积和体积。这一部分内容是在学生学习了“直柱体的侧面积”“直柱体的体积”等基础上开展教学。教学中，笔者借助多媒体课件动态展示直柱体侧面积、体积的形成过程，让学生直观看到直柱体的底面周长上升就能形成侧面积、直柱体的底面积上升就能形成体积。这样一种“同质不同类”的比较，有助于渗透、融入极限思想。

创益就是要充分发挥整体教学的功能，彰显整体教学的价值。教师要引导学生通过整体性的建构来沟通知识之间的关联，来建构学生的上位认知，来积累、丰富、提升学生的数学基本活动经验。通过整体教学，学生头脑中的数学知识会因为不断积累而内化，从而不断完善学生的认知结构，提升学生的数学学习整体性效能。

整体教学是教师“教”和学生“学”的和谐统一，它包括教师教学目标与过程的统一、生成与预设的统一、知识和能力的统一。整体教学是有序的、开放的，它尊重学生的多元化的学习起点，允许学生编制属于自己的数学课程，重塑学生“学”的角色，让学生的“学”融入自身的经验、生活。整体教学能优化、活化学生的数学基本活动经验，让学生的“学”真正回归学生主体和回归学习本真。

参考文献：

［1］林传忠.有结构地教数学［J］.中小学教师培训，2018（08）：57-61.

［2］王美.适应性专长与教师学习［M］.上海：华东师范大学出版社，2018.