灵活应用题组练习提高学生数学能力
作者： 董蔚芹
［ 摘 要 ］为了充分发挥练习课在巩固知识、强化技能、发展学生数学素养等方面的价值，教师要设计针对性题组，让学生在题组比较中明晰问题的本质，提高数学能力。在“圆柱的表面积”练习课中，教师结合教材实例巧妙地对相关练习进行整合，充分展示了题组训练在练习课中的价值，提高了学生灵活应用知识解决问题的能力。
［ 关键词 ］练习课；题组；整合
圆柱在生活中随处可见， 学生应用圆柱表面积可以解决许多生活中的实际问题。在解决这些问题的过程中，学生不仅可以理解圆柱的基本特征及其表面积、体积计算公式，而且可以发展几何直观素养与空间观念，提高数学核心素养。教材提供了丰富多样的问题，教师应引导学生比较、分析、解决这些不同的问题，让他们经历知识发生、发展的过程，掌握解决问题的方法，提高数学应用水平。在“圆柱的表面积”练习课中，教师以教材中的习题为抓手，通过对习题的适当整合形成涉及圆柱表面积不同计算方式的题组。通过题组练习，学生掌握了圆柱表面积的计算公式，提高了解决问题的能力。
一、汽油桶和水桶的制作
问题 1：李师傅欲用铁皮制作一个底面直径为0.6m、高为0.8m的圆柱形汽油桶，问制作这个汽油桶至少需要多少铁皮？
问题 2：张师傅欲用铁皮制作一个底面直径为0.6m、高为0.8m的圆柱形水桶，水桶上面没有盖，制作这个水桶至少需要多少铁皮？
师：以上两个问题中，汽油桶和水桶有何共同之处？
生 1：它们都是圆柱形，且圆柱的底面直径及高分别相等。
师：在生活中，制作哪种桶需要的铁皮多一些？是汽油桶，还是水桶？
生 2：我认为一样多，要求需要多少铁皮就是计算圆柱的表面积。根据已有知识可知，影响圆柱表面积大小的因素是圆柱的底面直径和高，底面直径和高分别相等，所以需要的铁皮一样多。
生 3：如果水桶和汽油桶都有盖或都无盖的情况下，它们的表面积确实相等。但是汽油桶一定是有盖的，水桶是无盖的，因此制作汽油桶需要的铁皮多一些。
师：哦？题中已告知水桶无盖，但没有指出汽油桶并是否有盖，你是如何判定它一定有盖的？
生 3：汽油容易挥发，如果没有盖慢慢就没有了。
生 4：汽油属于易燃易爆品，如果不盖盖子，会很危险。
师：说得非常有道理，具体说一说该如何计算呢？
生 5：求制作汽油桶需要多少铁皮，就是先分别计算它的侧面积和底面积，然后将侧面积与两个底面积相加；求制作水桶需要多少铁皮的方法与求制作汽油桶的方法相同，不过因为水桶没有盖，只要将侧面积和一个底面积相加即可。
生6：可以先求出制作水桶所需要的铁皮，然后加上一个底面积。
教师鼓励学生分别应用以上两种方法列式计算，然后投影展示学生的计算过程。
教学思考：练习课前，学生已经初步认识了圆柱的侧面积和表面积的概念，掌握了相应的计算方法，设计该题组的目的一方面是进一步强化学生对相关概念和计算方法的理解，另一方面是让学生体会在应用圆柱表面积解决问题时要根据实际情况进行具体分析，明确需要计算的面积。此外，该题组中的相关数据相同，便于学生通过对比发现两道习题的区别与联系，从而找到解决问题的不同方法，初步感知解题方法的多样性和灵活性，提高解题积极性。
二、花柱和廊柱的粉刷面积
问题3：某公园有4根圆柱形的花柱，工人准备在它们的表面粉刷一层水泥。已知该花柱的底面周长为 3.14m，高为 3m，问粉刷面积共多少平方米？
问题 4：某校图书馆门前有四根圆柱形廊柱，现准备将这四根圆柱形廊柱的表面粉刷一层水泥。已知廊柱的底面周长为 3.14m，高为3m，问粉刷面积共多少平方米？
给出问题后，教师让学生先独立思考形成解题方案，然后组织学生互动交流。
师：谁来说一说，问题 3 是怎样列式计算的？
生 1：我是先计算一根柱子的粉刷面积，然后再乘以4。
师：你是如何计算的？
生 1：解决这个问题首先要知道粉刷几个面，因为花柱的底面是埋在地下的，所以只要粉刷圆柱的侧面和一个底面。根据已知列式是：3.14 × 3 + 3.14 × （3.14 ÷ 3.14 ÷2） = 10.205m 2 ，所以四根花柱的面积为： 10.205 × 4=40.82m 2 。
师：你们赞成生 1 的说法吗？（生纷纷点头）
师：很好，这样计算出一根花柱的粉刷面积后，问题迎刃而解。
谁来说一说问题 4 该如何计算呢？廊柱的粉刷面积与花柱的粉刷面积相比，哪个更小一些呢？
生 2：应该是廊柱的粉刷面积更小一些，因为廊柱上面的紧贴天花板，下面紧贴地面，所以廊柱的上面和下面都不需要粉刷，只要粉刷侧面就可以了。
师：具体该如何计算呢？
生 2：列式是： 3.14 × 3 × 4 =37.68m 2 。
师：很好，还有其他计算方法吗？
生3：也可以在问题3的基础上减去四个底面积，即： 40.82 - 3.14 ×（3.14 ÷ 3.14 ÷ 2）2 × 4= 37.68m 2 。
师：大家利用不同的方法解决了问题，非常好。比较以上两种方法，你们认为哪种方法更简便呢？生 4：第一种方法比较简便，运算量小，效率高。
生5：利用生3的方法来检验也是一个不错的选择。
教学思考：通过以上题组的练习让学生体会在解决实际问题时，有的时候需要计算一个侧面和两个底面，有的时候需要计算一个侧面和一个底面，有的时候仅需要计算一个侧面。因此，想要正确解决问题，明确需要计算几个面是重中之重。通过以上题组的设计，让学生在对比分析中体会在解决一些特殊的圆柱表面积的问题时，仅计算圆柱的侧面积是合理的，以此消除学生思维障碍，提升思维的灵活性。在解决以上问题的过程中，教师先预留时间让学生独立思考、独立解答，然后组织学生互动交流，以此充分发挥学生的主体性，加深学生对圆柱的表面积计算方法的理解，帮助学生积累丰富的活动经验，提高分析和解决问题的能力。
三、博士帽与礼帽的制作
问题 5：某班学生准备用黑色卡纸制作一些博士帽 （如图 1） 用于艺术节演出。博士帽的上面是边长为 4分米的正方形，下面是底面直径为2分米、高为1分米的圆柱，计算制作10顶同样大小的博士帽至少需要多少平方分米的黑色卡纸？
问题 6：在学校艺术节上，某班学生想用黑色卡纸制作一些礼帽（如图 2）。礼帽的上面是一个底面直径为2分米、高为1分米的圆柱，下面连着一个宽为 1分米的环形帽檐，问制作10顶同样大小的礼帽至少需要多少黑色卡纸？
问题给出后，教师没有急于让学生呈现答案，而是先让学生独立思考，然后再进行互动交流。
师：大家先估一估，制作哪种帽子所需的卡纸可能更少一些呢？
生 1：我认为制作博士帽所需的卡纸可能更少一些，因为博士帽中的圆柱无盖无底，而礼帽有一个盖，所以博士帽更省纸一些。
生 2：我不这么认为，虽然博士帽的圆柱无底无盖，但是它的上面有个长方形的面，这个面积可能比礼帽圆环的面积大，如果是这样的话，显然制作博士帽所用的纸会更多一些。
师：这两个同学的分析都有一定的道理。认真分析这两个圆柱，看看你们有什么发现？（生积极思考）
生3：其实仔细分析不难发现，以上两个圆柱都可以看成无底无盖的圆柱。
师：哦，不是只有博士帽是无盖无底的吗？礼帽的帽顶怎么不见了？
生 4：可以将礼帽的帽顶移到下面，博士帽的面积是一个无底无盖的圆柱表面积与一个边长为 4分米的正方形面积之和，而礼帽的面积是一个无底无盖的圆柱表面积与直径为4分米的圆的面积之和。
师：很棒的发现，那么若想知道制作两种帽子所需材料的多少，我们实际上是比较哪两个面积的大小呢？
生5：就是比较边长为4分米的正方形的面积与直径为 4分米的圆的面积的大小，哪个的面积大，所需的材料就越多。
师：你们同意这种说法吗？大家可以尝试用不同的方法算一算、比一比，看看哪种方法更简单呢？教师先预留充足的时间让学生进一步思考、计算，学生结合以上发现很快计算出制作博士帽所需的卡纸多，每顶多3.44平方分米。然后，教师让学生通过不同的方法对比、验证，并通过对比分析让学生感悟转化在解决问题中的优越性，培养其良好的思考习惯。
教学思考：以上题组的设计既有很强的实用性，又有很强的趣味性和探究性，让学生充分体验了适时转化的简洁性、合理性，有利于培养学生的转化意识。从教学反馈来看，部分学生在解题时习惯于直接计算，在解决问题 5时，学生根据题设信息先计算无盖无底的圆柱的表面积，然后计算正方形的面积，最后将计算结果相加；在解决问题 6时，学生先计算无底有盖的圆柱面积，然后计算圆环的面积，最后将计算结果相加。为了改变这一局面，教师没有直接让学生给出计算结果，而是让学生思考“制作哪种帽子所需的卡纸更少”。通过深入的思考与交流让学生体验转化在解决组合图形中的优势，让学生充分体会解题方法的灵活性和转化的便捷性，能在很大程度上激发学生学习的积极性，提升课堂教学效率。
四、探索不同切法中的秘密
问题 7：现有一根底面直径为20cm、长为1.8m的圆柱形木料，若将该木料平均分成大小完全相同的两部分，可以怎么分？每个部分的表面积分别是多少？
师：如果让你们分，你们想怎么分呢？
生 1：我想横着分，在 0.9m 处做好标记，然后横向切开，这样一个圆柱就变成了两个等大的小圆柱。
生 2：还可以竖着切，将圆柱变成两个半圆柱。
师：非常好，切割后，圆柱的表面积发生了怎样的变化呢？
生（齐声答）：变大了。
师：是吗？请大家算一算，比一比，看看你们有什么发现呢？教师预留时间让学生动手算，很快学生就有了答案。
师：谁来说一说，没有切割前，圆柱的表面积是多少呢？
生3： 3.14 × 20 × 180 + 3.14 ×10 2 × 2=11932cm 2 。
师：如果横着切，该如何计算呢？
生4：横着切就是将这个大圆柱分成等大的两个小圆柱，其长由原来的1.8m变成了0.9m，小圆柱的面积为3.14 × 20 × 90 + 3.14 × 10 2 × 2=6280cm 2 。两个圆柱的面积为6280 ×2 = 12560cm 2 。
师：结合已有经验和上式，谁来说一说，圆柱的表面积发生了怎样的变化？
生 3：横着切相当于增加了两个 底 面 ， 也 就 是 增 加 了 3.14 ×10 2 × 2 = 628cm 2 ，所以在计算时，可 以 直 接 用 3.14 × 20 × 180 +3.14 × 10 2 × 2 × 2 = 12560cm 2 。
师：非常好，竖着切又会发生怎样的变化呢？
生 4：竖着切就是将圆柱变成两个半圆柱，其表面积为 3.14 ×20 × 180 ÷ 2 + 3.14 × 10 2 + 180 ×20 = 9566cm 2 。
师：你能一步一步给出具体的解释吗？
生4：3.14 × 20 × 180 ÷ 2 是圆柱半个侧面积，3.14 × 10 2 是两个半圆的底面积，180 × 20 是切割后得到的长方形的面积，这样将它们合起来就是半个圆柱的表面积。
师：生4的解题思路非常清晰，将半圆柱进行分解，然后逐面计算。还有其他方法吗？如果从整体的角度去分析，你会得到怎样的结果呢？
生 5：这样竖着切就相当于增加了两个长方形的面积，即 3.14 ×20 × 180 + 3.14 × 10 2 × 2 + 180 ×20 × 2 =19132cm 2 。
师：非常好。除了以上两种切法外，还有其他切法吗？
生 6：还可以这样斜着切 （如图 3），不过这样切的截面是椭圆，我不知道该怎么求它的面积。
师：非常有创意的切法，椭圆的面积是我们后面学习的内容，感兴趣的同学可以查阅资料试一试。
教学思考：问题 7 具有一定的开放性，教师将切割的主动权交给学生，学生结合已有经验得到了不同的切割方法，以此将一题转化为多题，形成题组。通过不同切割方法的对比，能让学生感受物体表面特征的变化对表面积计算方法的影响。学生不仅深化了知识，而且发展了空间想象能力，提升了数学学习品质。从教学反馈来看，学生不仅想到了横着切和竖着切，还想到了斜着切。虽然学生应用已有知识和已有经验难以计算椭圆的面积，但是这种切法增加了探究性和趣味性，让学生感受了数学的魅力，增强了学习信心。
总之，在练习课教学中，教师要善于从教学实际出发，设计一些有效的题组，让学生通过对比分析达到巩固知识、强化技能、提高思维灵活性与变通性的目的。