提出真问题，促进真理解

［摘  要］ 研究者以“分数与除法的关系”一课为例，通过鼓励学生提问、对学生的回答进行追问等措施，促进学生对分数与除法关系的理解。

［关键词］ 真问题；真理解；分数与除法在数学教学中，学生只有在提出真问题、带动真思考、促进真理解后，才能创造性地解决数学问题。数学真问题通常具有一定的复杂性和抽象性，教师要引导学生运用数学知识和技能进行分析、推理和解决，因为这些问题可能没有明确的答案或者存在着多种解法。学生在解决真问题过程中需要真思考，这种思考不是公式和方法的死记硬背，而是要理解数学的本质。因此，在教学中教师要激发学生的想象力和创新能力，培养他们在面对未知情境时的灵活性和应变能力。

笔者在教学“分数与除法的关系”时，先让学生在独立思考中提出自己的疑问，再让学生一起解决这些疑问，促进学生对分数与除法关系的探索和理解，帮助学生进一步理解分数的意义。

一、解决“把1块饼平均分给4个人”的问题

在三年级时，学生学习了将1个物体（或图形）、多个物体组成的整体平均分成若干份，并用几分之一、几分之几来表示一个或多个部分。在这节课中，教师从分1块饼开始，让学生把1块饼平均分给4个人，求每个人分得了多少。有的学生根据分数的含义直接推断出结果：每个人得到这块饼的，是块；有的学生根据已学的除法知识思考计算方法：找出每个人得到的块数，即计算1÷4，结果为0.25；还有的学生结合直观图，利用分数的含义得出正确的结果。

1. 鼓励学生提出真问题

师：（出示1÷4）同学们，我们在二年级的时候学过除法。看这个除法算式，你们有什么要问的？

生1：1除以4，除不够怎么办？

师：会提问的同学说明在思考问题，老师为你敢于提问的勇气点赞。还有问题吗？

生2：1除以4的结果是多少？

生3：我们二年级学的除法都是大数除以小数，今天的除法怎么是小数除以大数？1除以4这道题的竖式怎么写？

生4：1除以4表示什么意思？

师：你们敢于说出困惑，非常棒，掌声送给自己。

2. 组织学生解决真问题

师：同学们，1÷4等于多少？

（有的学生认为是0.25，有的学生认为是）

师：刚才很多同学都知道这个算式的结果是0.25，大家有什么要问的？

生5：为什么这个算式等于？

生6：我们可以把“1”看作1个蛋糕，把单位“1”平均分成4份，每份就是。

生7：（出示所画图形）我是把1个圆平均分成4份，每份就是。

师：我们可以用画图或者说理的方式来说明这道题的思考过程，其实就等于0.25。（出示1÷3=）这道题等于多少？

生8：1÷3=。

在这个教学片段中，教师由数学旧知导入，引出这节课要学习的分数除法，从而在学生的提问中引发认知冲突，点燃他们的学习热情。学生在探究1÷4的结果时，用画图和说理等方法找到了用小数或分数表示运算的结果，沟通了分数与除法之间的联系。

二、解决“把3块饼平均分给4个人”的问题

数学学习是学生将学过的旧知经验迁移到新知学习中，比如学生探究了1÷4后，他们就尝试用分数表示3÷4的商，进一步感悟分数与除法算式的联系。在探究3÷4这道算式时，教师鼓励学生自主探索，用画图和说理等方法推导每人分得的块数。教师引导学生回顾学习过程，让他们从数学现象中发现规律，学会用不同形式表达分数与除法的关系。

师：刚才我们解决了1块饼平均分给4个人的问题，现在我们要解决把3块饼平均分给4个人，每人分得多少？请你们在练习本上写一写。

生1：我是这样想的，刚才我们知道了把1块饼平均分给4个人，每个人分到1÷4=（个）。我们在这个算式的两边同时分别乘3，3×1÷4=×3个，所以3÷4=（个）。

师：你们都听懂了吗？不懂的同学有什么要问的？

生2：我没有听懂这个算式的意义，不知道为什么两边要同时乘3。

生1：刚才我们解决的问题是1÷4，就是1块饼平均分给4个人；现在我们要解决的问题是3÷4，是把3块饼平均分给4个人。我们要把1块饼乘3就变成了3块饼，就能算出3块饼平均分给4个人，每个人能分到多少块饼了。

生2：哦，原来是这样，我明白了，谢谢。

生3：我是用画图来做的，3÷4表示把3块饼平均分给4个人，我画了3个圆形，每个圆形都平均分成4份。每个人分到第1个圆形的个，又分到了第2个圆形的个，又分到了第3个圆形的个，所以3个相加等于（个）。

生4：我也是用画图来做的，我前面画的图和生3一样，我还画了1幅图：把每个人分到的3个拼在一起，这样大家一眼就能看出3÷4=（个）。

师：同学们，通过上述三种方法的学习，有什么收获和发现？

生5：我们可以用不同的方法解决同一道数学题目。

生6：我发现了这道除法算式中的被除数就是答案中的分子，除数就是答案中的分母。

在这个教学片段中，教师引导学生自己探索算式3÷4的结果，有的学生结合分数的意义得到了答案，有的学生通过数有几个得到了答案。最后，教师组织学生复盘了整个学习过程，让学生不仅知道分数和除法的关系，而且清楚地知道它们是如何建立这种关系的。

三、解决“把m个单位平均分成n份”的问题

数学学习是一个从具体到抽象的过程。当学生经历前面两道分数除法的计算后，他们积累了丰富的实践经验，为探究抽象的m÷n提供了经验，也为后续学习“求一个数是另一个数的几分之几”的实际问题奠定了基础。

师：（出示m÷n，其中n≠0）同学们，我们刚才解决了具体数字的分数除法。如果变成字母的算式，想一想m除以n会等于多少，我们既要知道是多少，又要讲出道理。

生1：刚才有同学说被除数就是这个得数的分子，除数就是这个得数的分母，所以m÷n=。

生2：我们还是把这道题目看成分饼，把m块饼平均分给n个人，取其中的m份，所以每个人分到m块饼的。

生3：我也是把这道题目看成分饼，把m块饼平均分给n个人。如果把1块饼平均分给n个人，那么每个人分到这块饼的。现在有m块饼，所以每个人分到m块饼的。

生4：我是先假设m÷n=这个算式是正确的，然后在这个除法算式左右两边都乘n，这个算式就变成了m=m，因为这个等式是正确的，所以前面这个算式也是正确的。

师：同学们，今天我们学习了分数与除法的关系，你们还想知道什么？

生5：今天我们研究的都是被除数比除数小的情况，如果m大于n，会出现怎样的结果？我猜答案可能是整数，或者是带分数。

在这个教学片段中，学生先尝试用数学语言描述或用相应的数量关系式来表达，在充分交流中理解新知识；然后探索由字母组成的等式，并从除数不能为0，推断分数分母不能为0，从而建立新知识的数学模型，使理解逐渐抽象。

总之，在教学中教师从旧知导入，引导学生提出真问题，让学生在真探究中经历从具体到抽象的过程，能促进学生对分数与除法关系的真理解。教师从被除数小于除数的情况延伸到被除数大于除数的情况，很好地打通了真分数、整数、假分数和带分数之间的联系，有助于学生深刻理解真分数、整数、假分数和带分数的联系，促进了学生的真理解。