聚焦知识本质 感悟数学思想发展核心素养

［摘  要］ 研究者以“三角形的面积”教学为例，从“复习导入，感知数学思想”“实操活动，感悟数学思想”“关系探索，推导数学公式”“巩固练习，发展应用意识”“梳理知识，完善知识结构”五个方面开展教学设计与思考。

［关键词］ 本质；数学思想；教学

郑毓信教授提出：真正意义上的数学教学要超越知识本身所拥有的知识与技能，应引导学生深入思维层面，实现数学思想方法的提炼与一般性思维品质的发展。这句话不仅阐述了数学教学的本质，还诠释了核心素养背景下的终极教学目标。“三角形的面积”是小学阶段重要的基础内容之一，是后续几何教学的基础，在整个数学体系中具有重要地位。本节课教学的重点与难点在于引导学生自主探索和掌握三角形的面积推导过程，并能用公式计算三角形的面积。

一、教学过程

1. 复习导入，感知数学思想

师：本节课之前，我们学习了平行四边形的面积计算公式，大家还记得当时是如何获得公式的吗？

生1：将待求面积的平行四边形先转化成长方形，推导平行四边形的面积公式。

师：不错，此为重要的数学思想——转化思想，本节课咱们将要探索三角形的面积公式，大家觉得可以从何处着手开始研究？

生2：类比平行四边形面积公式的推导过程，我们可以将三角形转化成熟悉的图形，如长方形、正方形、平行四边形等，然后进行研究。

设计意图：回顾平行四边形面积公式的推导过程，意在唤醒学生的记忆，激活学生的思维，让学生调动自身已有的活动经验，初步感知转化思想，为本节课的教学奠定方法基础。

2. 实操活动，感悟数学思想

（1）以图促猜想

师：结合你们已有的认知经验，大家觉得三角形面积公式可能与三角形本身的什么条件相关？

生3：应该与三角形的底和高有一定关联。

师：这个想法是否正确呢？现在我们一起来观察图1，逐渐延长三角形的底，该三角形会发生怎样的变化？

生（齐声答）：变大。

师：由此可初步获得什么结论？

生4：说明三角形的面积与它的底边长度相关。

师：很好！如图2，现在我们将这个三角形的高逐渐延长，那么该三角形会发生怎样的变化？

生（齐声答）：面积变大了。

师：从中有什么发现？

生5：三角形的面积与它的高有关系。

设计意图：两幅直观图的应用，让学生很快就形成初步猜想，即三角形的面积与它本身的底和高存在一定的联系。显然，这个猜想为探索三角形的面积公式提供了方向。

（2）交流验证猜想

师：通过以上探索，大家一致觉得三角形的面积与它的底和高存在联系。现在请大家看图3，此为三种不同类型的三角形置于边长为1的方格纸内，我们一起来探索它们的面积。大家想先研究哪个三角形？

大部分学生表示想要先探索直角三角形，因为它最特殊。顺应学生的思维，教师要求学生在独立思考的基础上，以合作学习的方式借助“画一画”来研究直角三角形。经讨论，各组学生呈现不一样的方法。

组1：如图4，沿着底边的中点剪开三角形，将剪下来的部分补充到三角形的上半部分，即形成一个长方形。该长方形的长为6÷2=3，宽为2，那么长方形的面积就是3×2=6。这个长方形是由直角三角形割补而来，从三角形的角度来分析，其面积就是（底边÷2）×高。

组2：我们组是在直角三角形的上方添加一个与它一样大小的直角三角形，形成了一个大长方形。如图5，该长方形的面积为6×2=12，那么原三角形的面积就是该长方形面积的一半6×2÷2=6，即底×高÷2。

组3：我们组也是将三角形转化为长方形，只是转化的方法有所区别，如图6，沿着垂直方向的直角边中点位置把三角形一分为二，将切来下的三角形补到原图中，形成一个宽为1，长为6的长方形，该长方形的面积为6×1=6，即长×（高÷2）。

组4：如图7，将两个大小形状一样的直角三角形拼接成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式可知拼接而成的图形面积为6×2，那么原直角三角形的面积则为（6×2）÷2，即（底×高）÷2。

组5：如图8，在原图的下方添加一个与原三角形一样大的三角形，形成一个新的平行四边形，其面积为2×6=12，那么原三角形的面积就是2×6÷2=6。

师：各组的方法都非常好！现在我们将各种方法罗列到一起分析，它们之间存在哪些共同点？

生6：不管用哪种方法进行探索，都是将未知的三角形面积转化成已知的图形面积进行分析。而且获得的结论都一样，即三角形的面积为底和高乘积的一半。

设计意图：让学生从三种不同类型的三角形中择取一种图形进行研究，意在渗透数学分类讨论思想与特殊到一般的数学思想。按照常规思维习惯，学生选择最特殊的直角三角形作为第一个研究对象，在方格纸的辅助下，在“画一画”过程中充分暴露了思维过程，形成了丰富的转化方法。教师通过不同方法的展示，能使学生在类比分析中提炼转化思想，抽象出三角形面积的概念。

（3）类比优化思维

师：经过合作交流，大家呈现了多种研究方法，如果将这些方法进行归类，可归为几类？理由是什么？

生7：可分成两大类，组1与组3的方法为一类，即将直角三角形拼成长方形；其他三组的研究方法归为一类，即将两个形状大小都一致的三角形拼接成平行四边形或长方形。

师：非常好！这两种转化方法，会导致图形面积出现什么特点？

生8：剪拼形成的图形面积与三角形面积相等，而增加一个完全一样的直角三角形后，图形面积增加了一倍。

师：不错，剪拼成长方形的方法与《九章算术》中所记载的图形面积研究方法一致（多媒体播放史料中记载的转化过程）。

师：类比这两类转化方法，你们觉得剪拼法简便，还是添加图形的方法更简便？

生（齐声答）：添加法更简便一些。

设计意图：将学生自主探索而来的方法进行梳理、归类，能使学生从本质上掌握不同方法之间的异同点。史料“以盈补虚”获取三角形面积法的渗透，即培养学生数学文化素养，又增强了学生的民族自豪感。剪拼法与倍拼法的类比，让学生感知数学思想的精妙之处，为接下来探索其他两类三角形的面积公式夯实基础。

3. 关系探索，推导数学公式

师：我们探索了直角三角形的面积公式为“底×高÷2”，那么锐角三角形与钝角三角形的面积公式是怎样的呢？可从什么角度进行探索？

生9：结合以上探索经验，用一个完全一样的三角形拼接上去，形成平行四边形即可。

师生活动：教师展示图9，学生以小组合作的方式在方格纸上画图、拼接，形成结论：①是锐角三角形，面积为7×4÷2；②是钝角三角形，面积为4×3÷2。拼接而成的平行四边形的底为原三角形的底，高为三角形的高。由此可确定，不论哪种类型的三角形，其面积计算公式均为“底×高÷2”，用字母S表示三角形的面积，a、h分别表示三角形的底与高，那么三角形的面积公式就是S=a·h÷2。

设计意图：应用类比思想将研究直角三角形面积的经验，迁移到其他两类三角形的面积探索中，能够促使学生自主归纳出三角形的面积公式。如此设计，不仅凸显了推理的协同作用，还有效发展了学生的转化思想、类比思想与理性思维。

4. 巩固练习，发展应用意识

问题：如图10，求各个三角形的面积。

师生活动：学生独立完成面积的计算，第一个三角形面积列式为8×5÷2=20，理由是该三角形为直角三角形，根据三角形面积公式S=a·h÷2而获得；其他几个三角形的面积不能直接用两条边相乘再除以2的方式运算，因为其他三角形中的边并不能代表三角形的底与高。同时，值得注意的是在知道底的情况下，要知道对应的高才能获得相应的面积。在此基础上，教师引导学生探索在一个平面内，底边一样长，但顶点位置不一样的三角形面积都一样，原因在于这些三角形的高相同。

设计意图：展示各种三角形，提供不同的条件让学生结合三角形面积公式进行面积计算，不仅还原出各个三角形相对应的平行四边形，还强化了学生对三角形和它所在平行四边形关系的认识。最后一个三角形提供的条件比较多，意在让学生学会在众多条件中辨伪求真，深化对公式的应用意识。

5. 梳理知识，完善知识结构

要求学生回顾本节课研究的内容、方法以及涉及的数学思想等，将它们罗列在一起，借助思维导图搭建知识架构，为完善学生认知结构、建构知识体系奠定基础，

设计意图：在课堂总结环节教师引导学生将目光转回三角形面积公式的研究过程，让学生回顾本节课所学内容，总结运用的数学思想方法等，为学生完善思维结构、形成良好的研究意识与迁移能力奠定基础。

二、几点思考

1. 转化思想深化学生的数学思考

转化思想贯穿本节课的始终，学生不仅通过教学活动感知了转化思想的力量，还进一步发展了数学逻辑思维。课堂伊始教师引导学生回顾平行四边形的面积推导过程，唤醒学生已有的转化经验，为探索三角形的面积公式作铺垫；探索三角形面积公式时，教师引导学生将三角形转化成自己所熟悉的图形，即化未知为已知，从而获得结论。转化思想的应用，使学生的思维能力得到进一步发展。

2. 借助学具可有效突破教学难点

方格纸的应用有效开启了学生的思维，突破了教学难点。因为方格纸的存在，学生在实施剪拼与倍拼时一目了然。尤其是在“画一画”环节，会带给学生直观的视觉体验，让学生对三角形的面积公式从真正意义上做到“知其然且知其所以然”。

3.特殊到一般的思想促进思维发展

特殊到一般的数学思想是数学教学中常见的一种思想方法，教师结合学生的认知习惯展示三类三角形，让学生从中挑选一个先行研究，能够成功将学生的思维带进特殊的直角三角形中。随着直角三角形面积公式的形成，教师引导学生探索锐角与钝角三角形，就水到渠成了。如果让学生从课堂伊始就想到构造一个完全相同的三角形与原三角形“倍拼”成平行四边形，显然大部分学生都不具备这样的能力。

数形结合思想、分类讨论思想与特殊到一般思想的辅助，使得学生的思维在逐步探究中螺旋式上升，自然地完成“倍拼”构想，三角形的面积公式也随之形成。由此可见，数学思想对发展学生的数学思维具有重要意义。

总之，聚焦知识本质，提炼数学思想方法是新课标背景下数学教学的核心任务，也是发展学生数学核心素养的必经之路。实践证明，数学思想方法的提炼可有效发挥数学教学的育人价值，让学生学会用数学的眼光、思维与语言观察、思考和表达现实世界。