简教深学：“一致性”理念下“数与运算”教学实践

［摘要］基于“一致性”的“数与运算”教学时，教师应引导学生充分经历知识发生、发展过程，让学生从知识本源上、关联上感悟、体验知识的一致性。计数单位是“数的认识”简教深学的抓手，运算规律是“数的运算”简教深学的抓手，数理算理是“数与运算”简教深学的抓手。简教深学是“一致性”理念下“数与运算”教学实践的应然教学范式。

［关键词］小学数学；数与运算；“一致性”理念；简教深学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出“一致性”的教学原则。“数与运算”的一致性包括三个层面：一是“数的认识”的一致性，二是“数的运算”的一致性，三是“数的认识与运算”的一致性。为了体现“数与运算”的一致性，教师可以采用结构化教学方式——简教深学，即简化地教，促进学生深刻地学。简教深学是一种整体性、系统性、迁移性、方法性、结构性、思想性教学，追求“用最少的时间获得最大教学效能”，是“双减”政策背景下数学教学改革的应然追求。

一、计数单位：“数的认识”简教深学的抓手

引导学生认识“数”，关键是引导学生理解、掌握“数”的建构、形成过程。传统的数学教学对整数、小数和分数的认识是分割的、分离的，导致学生对“数的认识”的认识是碎片化、割裂化的。为了让学生深入认识数，教师在教学中着眼于“数”的构成的内在载体——计数单位引导学生认识整数、小数和分数。在教学中，教师还从“数”的起源、“数”的构成等方面引导学生认识整数、小数和分数，从而让学生感受、体验“数的认识”的“一致性”。

在教学“认识数”的时候，教师不仅要从学生的生活经验背景出发、从具体的数量中抽象、概括、提炼出“数”，还要从“数”的组成、“数”的建构等方面来引导学生认识“数”。比如，在引导学生认识整数的时候，教师就可以引导学生从人类结绳计数时代的“一个个地数”（非进位制）转向“一组组地数”（进位制），从而帮助学生感悟数的基数意义和序数意义，引导学生认识具体的个、十、百、千等计数单位，这是人类在认识“数”的历史进程中的关键步子。

在教学“认识分数”的时候，教师要将分数的平均分本质与计数单位结合起来，让学生认识到分数计数是分数单位的一种累加、叠加，这一点与整数计数是一致的。

在教学“认识小数”的时候，教师同样要以计数单位作为载体，引导学生认识小数的意义。以计数单位为载体，教师可以关联整数和小数的“满十进一”“退一作十”等，从而建构完整意义上的“十进制”，建构完整意义上的数位顺序表等；以计数单位来引导学生认识数、探究数、建构数，能凸显数的本质。借助计数单位，学生能深刻地认识到“小数计数单位是整数计数单位的自然延伸”“小数是不带分母的十进分数”等。“计数单位”将“数的认识”领域的相关知识集结、统整起来，能让学生感受、体验“数的认识”领域相关知识的一致性。这样的基于计数单位的教学，就是一种“大概念”“高观点”统摄下的简教深学。

简教深学不仅能提升学生的数学学习效能，还能将相关知识串接、勾连到一体，从而有助于学生建构、完善知识结构。简教深学时，教师要引导学生在“数与运算”学习过程中能抓住体现“一致性”的核心知识、关键知识、本质要素等，从而发挥“牵一发而动全身”的作用。“数的认识”一致性教学有利于学生感悟数学学科的本质，有助于提升学生的数学学习能力，有助于发展学生的数学核心素养。

二、运算规律：“数的运算”简教深学的抓手

“数的运算”是“数与代数”领域中一个较为重要的组成部分，在小学数学“数的运算”领域的相关内容的教学中，教师要以“一致性”作为教学原则，引导学生对“数的运算”进行自主思考、探究。以“一致性”作为教学的基本原则能让分数、小数、整数的加减乘除法运算的内在算理得到有效揭示，进而让学生更深刻地理解算法。在教学中，教师要以运算规律作为内在支撑实施“数的运算”的一致性教学，正所谓“算律决定算理，算理决定算法”。

在“数的运算”的简教深学过程中，教师要着重体现关联、沟通的教学特性，让学生感受、体验“数的运算”的内在本质一致性。在加减乘除运算中，加法运算是基础，减法运算是加法的逆运算，乘法是加法的简便运算，而除法又是乘法的逆运算。在进行加法计算教学时，教师要以计数单位作为基础，引导学生进行计算，如“整数加减法”“小数加减法”“分数加减法”，其内在的一致性原则是“只有计数单位相同才能直接相加或相减”。

就乘法的运算而言，教师既可以将其还原成加法，进而引导学生洞察乘法的源头，也可以独立探寻属于自己的算理、算法，对于整数乘法、分数乘法和小数乘法都是如此。在教学中，教师以运算规律作为“数的运算”简教深学的抓手，尤其是“乘法分配律”在“数的运算”的一致性教学中有着广泛的应用。比如，整数乘法是“计数单位相乘”，如24×3=20×3+4×3=2×3×10×1+4×3×1×1；小数乘法也是“计数单位相乘”，如0.24×0.3=（0.2+0.04）×0.3=0.2×0.3+0.04×0.3=2×3×0.1×0.1+4×3×0.01×0.1；同样，分数乘法也能体现“计数单位相乘”等。除法同样可以探索出以计数单位为基础的运算规律、运算法则、运算算理等，如60÷3可以看成6个10平均分成3份，每一份就是2个10，也就是20；90÷30就可以用9÷3，计数单位“十”除以计数单位“十”，结果就是3。在“数的运算”的教学中，教师一方面要引导学生洞察数与运算的内在关联，另一方面要引导学生充分经历数的运算的意义、算理和算法的探索过程，让学生掌握加减乘除运算意义之间的关系。在这个过程中，教师要渗透、融入相关运算律、等式的基本性质等内容。教师只有让学生认识、理解、感悟到数的运算的内在一致性，才能使学生学得得心应手，使看似纷繁复杂的数的运算内容得到有效的统整。

在“数的运算”的内在一致性教学时，教师应引导学生用整体性、系统性和结构性的眼光来打量、考量。简教深学要求教师不能采用传统的“各个突破”的策略，必须立足“数的运算”的根本，引导学生体会不同数的运算的内在一致性，从而引导学生开展迁移性、结构性的学。在“数的运算”的一致性教学中，教师要有意识地培育学生的科学思维习惯，提升学生的运算能力、推理能力。在“数的运算”的一致性教学中，教师引导学生感受、体验数学学科知识之间的关系，能使学生有效迁移、运用相关的方法。

三、数理算理：“数与运算”简教深学的抓手

数理算理是数学学科课程的内在道理。在“数与运算”的教学中，教师不仅要让学生“知其然”，更要让学生“知其所以然”。教师不仅要让学生掌握“数的认识”“数的运算”的本质，更要让学生把握“数的认识”与“数的运算”的内在关系。要通过数理和算理教学，让学生把握“数的认识”与“数的运算”的内在关系，让学生感受、体验“数与运算”的内在一致性。数理是“数与运算”一致性教学的基础，算理是“数与运算”一致性教学的关键。数理和算理构成了“数与运算”一致性教学的两个锚点。具体而言，在“数的认知”的教学中，教师要引导学生认识数理；在“数的运算”的教学中，要引导学生认识算理。不仅如此，在简教深学的过程中，教师要有意识地引导学生沟通数理和算理，深化学生对数理和算理的直观感知。

教学的最高境界应是“以简驭繁”“以少胜多”。在简教深学的过程中，教师要帮助学生建构“数的认识”“数的运算”的一致性框架，让学生认识数与数之间、运算与运算之间、数与运算之间的内在关系，引导学生感悟“数与运算”的内在一致性。从“数的认识”和“数的运算”的核心概念上来看，计数单位应是“数与运算”的内在算理的基石。从计数单位的视角来看，分数、小数和整数都是由一定的计数单位构成的；而加减法就是让若干个计数单位相加减；乘法就是让计数单位和计数单位相乘，让计数单位上的数和计数单位上的数相乘；除法就是让计数单位和计数单位相除，让计数单位上的数与计数单位上的数相除等。

在教学中，教师可以先从“数与运算”的一些基本性的事实出发，如运算的一些法则、口诀等，引导学生比较计算的相同点，从而提炼相关的“大概念”“高观点”等，如计数单位、运算规律、等式的性质等。然后教师可以从基本规律、基本运算出发，在运算的一些基本事实教学中渗透、融入这些“大概念”，从而提升学生的数学学习效能，深化学生的数学认知，因为这些内容是学生理解“数与运算”的基础。简教深学，不仅要让“数与运算”领域的相关数学学科知识“立”起来，更要让“数与运算”领域中的相关知识“长”起来。在“数与运算”这一领域的教学中，教师不仅要结构性、关联性地引导学生“学”，还要迁移性、应用性地引导学生“学”。在教学中，教师要引导学生充分应用已有的知识经验，借助“大概念”“高观点”，自主建构、创造相关的知识，如自主认识数、自主建构算法等。

数理、算理是“数与运算”的内核，是简教深学的重要抓手。教师要自觉地、理性地抓住内核，引导学生认识数、理解数，引导学生建构算法。教师通过“数与运算”的一致性教学，能有效地引导学生经历学科知识“数学化”的过程（包括从现实世界到数学世界的横向数学化，也包括数学世界中的符号被使用，即纵向数学化）。在“数与运算”这一数学学科知识领域，简教深学是一种结构化的教学，它追求“教深刻”“学透彻”。为此，教师要联系数学学科知识“做勾连”，这是简教深学的一种常态研究工作。“简教”与“深学”相互融合，能让学生的数学学习走向深刻、走向深度。

基于“一致性”追求的“数与运算”教学，应引导学生充分经历知识发生、发展的过程，让学生从知识本源上、关联上感悟、体验知识的一致性、整体性、结构性。在教学中，教师要让学生在充分经历知识建构、发展过程中，形成数感、符号意识、运算能力和推理能力。简教深学不仅要立足数学学科知识，而且要立足数学思想、方法。为此，教师在引导学生探索数理、算理的过程中，要及时跟进、主动介入，对学生“数的认识”“数的运算”等进行有效的启发、点拨、引导。“简教”推动着“深学”，“深学”又催生着“简教”。“简教”“深学”相辅相成、相互促进、相互融合、相得益彰。