浅析如何应用数形结合开展有效的概念教学

作者简介：曹丹丽（1982—），本科学历，小学高级教师，从事小学数学教学与研究工作。

[摘  要] 在小学数学概念教学中引入“数形结合”方式，有助于学生掌握概念的本质，有助于发展学生的思维能力，有助于建立完善的概念体系。通过“数”与“形”的有机结合，能够使学生对概念的理解更加清晰化、系统化，促进学生数学抽象、数学应用、直观想象等数学能力和数学素养的提升。

[关键词] 概念教学;数学能力;数学素养

数学概念的理解与运用是数学最本质的内容之一，其关系着学生思维能力的发展和解题能力的提升，值得引起师生的足够重视。然而在实际教学中，部分教师追求结果教学，并不重视概念教学，在概念教学中常常是“蜻蜓点水”，不重视概念的形成和发展过程。教学中教师常常将文字内容抛给学生后就进行大量的强化练习，以期通过“练习”来深化对概念的理解。但是练习往往很难展示概念的方方面面，难以让学生把握数学概念的本质，这样势必会影响概念的应用。概念教学时教师可以采用数形结合的教学方式，将文字表征和图形表征有机地结合起来，以此为学生提供感悟知识、理解概念的机会，帮助学生形成清晰的、丰富的表象特征，进而形成关于数学概念本质的心理表征，便于学生更好地理解概念、应用概念。

不过，数形结合的教学方式在概念教学中并没有得到广泛的应用，还存在几个误区：

首先，主观上不重视数形结合。在功利教育的影响下，大多数教师只重视概念的定义教学，忽视了概念的形成过程，从而使学生的头脑中缺乏概念形成的过程的表象和表征。这样，学生虽然能够将概念背得滚瓜烂熟，但是难以理解其真正的内涵，而在没有理解的情况下进行死记硬背，学生对概念的记忆难以长久，会影响概念的灵活应用，最终影响解题效率。

其次，数与形的联系不紧密。数与形本一家，但在教学中却分而治之，从而使直观图形、概念表象、概念定义相分离，这样就难以形成一个有机联系的整体，难以实现不同形式之间的转化，难以实现概念的深化。

再次，忽视概念的建构过程。在教学中，部分教师会借助一些直观的图形或具体的操作让学生获得直观感知，但没有带领学生经历概念的抽象过程，而是直接上升至概念的定义，这样表面上看似乎带领学生经历了概念的形成过程，但因缺乏由概念到定义的中介环节，使得前面的经历失效，学生难以真正形成概念的特征。

最后，不重视数形结合在概念巩固、深化和运用中的价值，从而使得学生对概念的表征停留在一个较低的水平。

那么如何在教学中合理地应用数形结合来形成一个关于数学概念本质的心理表征呢？笔者结合教学经验，谈了几点浅见，仅供参考！

一、借助数形结合，揭示数学概念的本质

在新课改的推动下，大多数教师已开始关注过程教学的价值，在数学概念教学中开展过程教学，便于学生在经历的过程中认清数学概念的本质，建立恰当的心理表征。在经历的过程中，教师如果能够将形与数有机地结合在一起，引导学生经历数与形的转化过程，定能达到事半功倍的效果。

比如，教学“质数和合数”的概念时，笔者设计了如下的教学过程。

师：你们还记得自己的学号吗？

生（齐声答）：记得。

师：很好，你能写出自己学号的所有因数吗？（学生积极思考）

师：请1～12号的同学分别说一说。（教师让学生按照学号顺序依次作答）

生1：1。

生2：1、2。

生3：1、3。

生4：1、2、4。

……

（教师板书）

师：结合以上结果，请大家按照每个数的因数个数“分一分”，有哪几种情况？（学生独立思考后并交流）

生5：可以按照3种情况来分，有1个因数的：1;有2个因数的：2、3、5、7、11;有3个或3个以上因数的：4、6、8、9、10、12。

然后，教师让学生进行对比观察，理解质数和合数的概念。从以上教学过程来看，在问题引领下学生积极参与其中，进行了友好的师生互动。然而过一段时间后发现，学生对概念遗忘得很快，在概念应用时“张冠李戴”。出现这一现象的原因是由“数”到“数”的分析并没有让学生形成深刻的印象。可见，少了“形”的支撑，难以让学生对质数和合数概念的本质形成清晰、深刻的认识。基于以上教学环节，教师可以进行一些教学改进，让学生经历数形结合建立概念的过程，从而通过“数”与“形”的结合来揭示概念的本质。

改进后的教学过程：

师：课前老师为大家准备了一些小方块，请你们用这些小方块摆出长方形或正方形，看看你们能得到几种设计方案？

采用分组实验，七个小组分别领取的小方块数量为4、5、7、9、11、12、24。

师：请各组将设计好的方案记录到表1中。

各小组完成实验后，教师让各小组汇报研究的成果。

第一组：4=4×1=2×2。

第二组：5=5×1。

第三组：7=7×1。

第四组：9=9×1=3×3。

第五组：11=11×1。

第六组：12=12×1=6×2=4×3。

第七组：24=24×1=12×2=8×3=6×4。

师：看来第七组最厉害，设计的方案最多，真了不起。（教师故意引发冲突）

生6：老师，这样不公平，他们的小方块的数量最多，当然设计的方案也就最多了。

师：是吗？小方块的数量越多，设计的方案个数也就越多吗？

接下来学生进行辩论，有的学生从奇数、偶数的角度去分析，有的学生从因数的个数角度去分析，课堂气氛活跃。

师：大家所说的都有一定的道理，不过方案的多少到底和什么有关呢？如果让你从46、59、36、32中任选一个数，你会选择哪个呢？

在教师的引导下，学生积极交流，最终发现影响设计方案多少的决定性因素是因数的个数。教师让学生再通过对比观察，引导学生归纳总结出质数和合数的特点，由此引出质数和合数的概念自然水到渠成了。

改进后，教师先是引导学生通过动手“摆”经历一系列的认知冲突，让学生发现设计方案的多少与块数的多少并无直接的关联，决定性因素是因数的个数。如果所给出的块数只有1和它本身2个因数，只能摆出1个长方形;如果有3个或3个以上的因数，则可以摆出2个或2个以上的长方形。借助“形”学生自主发现了质数和合数的特点，对两个概念的理解不仅有抽象的语言表述，而且还有图形表征，这样即使文字概念遗忘了，学生还可以借助“形”进行判断：若数量是质数，则只能摆出一种长方形;若数量为合数，则可以摆出两种或两种以上的不同的长方形。由此通过“数”与“形”的结合和转换，让学生更好地理解了质数和合数概念的本质，有效地避免了遗忘。同时，通过动手实践、对比观察、对比归纳，让学生经历了由图形操作到抽象建构的过程，有助于培养学生逻辑分析和抽象概括的能力，有助于提升学生的数学素养。

二、借助数形结合，建立丰富的概念表征

对于同一概念，从不同的角度出发，往往可以获得不同的表征。表征丰富代表学生对概念的理解越透彻，反之则代表学生对概念的理解不透彻，甚至可能还停留在一个较低的水平。如果学生在表征概念时不能想到各种情况，可能会影响概念的应用，因此教师教学时有必要采取一些有效的手段帮助学生建立丰富多样的心理表征。数与形有机结合起来，通过数与形的角色转换，往往可以使学生的认知更加丰富化、多样化，有助于学生形成丰富多样的心理表征。

比如，对于分数有四种定义：①份数定义;②商定义;③比定义;④公理化定义。初学分数时，对于份数的理解是理解分数的意义的关键。但是随着学生认知水平的不断提升，分数有了更深层的内容。不过学生对“份数定义”的理解根深蒂固，因为缺乏必要的迁移和拓展，使得学生对分数意义的理解不够深入、全面。在实际教学中发现，学生已经学过比和比例，但是学生却很少用比和比例的眼光去审视分数。对于图1，大多数学生能看到是，极少学生能看到是;大多数学生将图1看成是一个圆分为4份，其中一份为;极少有学生能看到图1中1块黑、3块白，其比值正是。为什么学生会对视而不见呢？究其原因就是学生已经习惯将一个大饼看作单位“1”。其实高年级学习分数的意义时，教师应该在分数定义的基础上进行拓展和延伸，让学生知道一个整体可以看成单位“1”，一个部分也可以看成单位“1”，分数既可以表示整体与部分的关系，也可以表示部分与部分的关系。这样，学生在看待时，就不会局限于部分与整体，可能会得到不同的图形，如图2、图3等。

比如，在教学1立方分米的概念时，教师总是强调棱长为1分米的正方体体积是1立方分米。因此一旦谈到1立方分米，学生脑海里能够想到的模型就是棱长为1分米的正方体，可见这样的概念教学固化了学生的思维，影响了学生数学想象能力的发展。其实教学时，教师可以先让学生列举一些体积可能为1立方分米的长方体，学生会列举许多，比如长2分米、宽1分米、高0.5分米的长方体等;然后在教学1立方分米时，学生眼前不再是那个单一的棱长为1分米的正方体，还有其他多种多样的长方体，使其心理表征更加丰富化。

在教学中，教师通过以形思数，以数思形，合理地进行拓展和延伸，使学生对相关概念的理解更加丰富化，这对发展学生数学思维、提升数学应用能力尤为重要。

三、在数形结合的对比中，实现概念的巩固

对比既是一种思维方式，又是一种常用的教学手段，其在数学教学中发挥着积极的作用。比如，在概念教学中应用有助于揭示概念的本质;在解题教学中进行解法对比，有助于丰富学生解题的经验，优化学生的认知结构，提升解题效率;在新知教学中应用，通过新旧对比，有助于形成完善的知识体系。数学知识虽然是抽象的、复杂的，但是许多数学知识之间存在着密切的联系;如果教师在教学中能够充分运用对比，会使学生理解起来更容易，运用起来更自然。

比如，“普通计时法”和“24小时计时法”的转换一直是教学的难点，为了化解这一难点，教师在教学中引入了时间尺（如图4所示）。

通过这样的对比，“普通计时法”和“24时计时法”之间的对应关系一目了然，在此基础上学生可以熟练地进行转换。如果平时学生发生了遗忘，或者解题时遇到了困难，学生可以自己绘制时间尺，以此降低思维的难度。久而久之，学生的脑海中会自然地形成一把时间尺，可以灵活读取。可见，将“数”与“形”有机地结合在一起，不仅能顺利地完成转换，而且让学生掌握了数学的研究方法，有助于数学能力的提升。

四、在数形结合的运用中，实现概念的深化

数形结合在数学教学中的价值是不言而喻的，除了建构概念的价值外，教师也要重视其在解决实际问题中的价值。对于一些抽象的、复杂的问题，如果从数形结合的角度去分析，往往可以获得“柳暗花明”的效果。

比如，在学习了近似数的概念后，教师给出了这样一个问题：若一个数精确到万位后是1万，那么这个数最大是多少？问题给出后，很多学生给出的答案为9999。分析错因发现，学生之所以出现了错误，是因为不理解“四舍”在本题中的价值，认为最大的数一定是形如99、999这样数，由此引发了错误。其实对于本题所求的近似数，“四舍”的原数要比“五入”的大，因此应在“四舍”中寻找最大数。为了让学生能够理解、吃透，教师采用数形结合的方式帮助学生突破思维误区。

师：如图5所示，如果让这些数宝宝就近回家，你知道哪些数宝宝会回到40这个家吗？

生7：根据“五入”的原则，36～39这4个数会回到40这个家。

生8：根据“四舍”的原则，41～44这4个数也会回到40这个家。

师：说得很好，你们还有其他要补充的吗？（生表示无补充）

师：那么根据“五入”的原则，原数比40大还是比40小呢？

生（齐声答）：比40小。

师：那么根据“四舍”的原则，原数比40大还是比40小呢？

生（齐声答）：比40大。

师：很好，说一说这是为什么呢？

生9：如图5所示，若用“四舍法”，要得到近似数需要舍弃一些数，这样所得的近似数自然比原数小。

师：很好，那么对于刚刚的问题，我们在求近似数时，若求最大需要用“四舍法”还是“五入法”呢？

生（齐声答）：四舍法。

由此，学生通过一步步的分析，得到了最大数为14999。这样通过数形结合的方式，自然地化解了思维的难点，深化了学生对用“四舍五入法”求近似数的理解。

综上，数形结合在概念教学中有着重要的应用价值，其有助于学生建立、丰富、巩固、深化概念心理表征。教师在教学中合理开展数形结合教学，有助于学生形成完整的、结构优良的“概念系”。