数学文化视角下基于“大概念”的勾股定理教学

[摘  要] 数学文化是传播与传承人类数学思想的重要方式，属于现代文明的表现，亦是链接社会与自然的重要工具. “大概念”体现的是数学核心思想. 将“数学文化”与“大概念”深度融合，可碰撞出怎样的火花呢？文章以“勾股定理”的教学为例，分别从“史料引入，揭露主题”“多元证明，发散思维”“情境展示，自主探索”三个环节展开研究，并从勾股定理的探索意义、数学文化的渗透价值及勾股定理的研究前景等方面谈一些思考.

[关键词] 数学文化;大概念;勾股定理

作者简介：武培培（1985—），硕士研究生，中学一级教师，从事初中数学教学与研究工作.

勾股定理的形成过程，体现了人类伟大的创造力. 如何从数学文化的视角基于“大概念”的维度来设计勾股定理的课堂教学呢？实践表明，在以核心素养为导向的当下，在“以生为本”理念的驱动下，通过师生、生生积极的互动与交流，并借助现代化的信息技术手段展开探索，可取得不错的教学成效. 学生在充满文化底蕴的课堂中能够切身感受到勾股定理的璀璨历史.

核心概念界定

1. 大概念

国内外给予了“大概念”不同的说法，我国学者张丹提出：大概念是指数学学科中处于核心地位的思维方式或思想方法概括而来的一种核心观念. 查尔斯（Charles R.I.）认为大概念是关于数学学习的观念陈述，即将数学学科视为连贯的整体，此为数学的核心. 结合当下的各类研究文献，可确定大概念是数学学科中重要的思维方式或思想方法的概括，可从内容与过程两个维度去细分大概念，其中“内容大概念”涵盖了与数学核心思想有关的知识原理及其下位概念;“过程大概念”涵盖了学生在建构核心思想过程中，因亲历知识形成过程而获取的能力，这些能力是核心素养的集中体现.

2. 数学文化

人类社会经历了数年的积淀形成了文化，其中数学文化属于人类文化的重要组成部分之一. 从狭义的视角来看，数学文化是指和数学相关的精神、观点、符号、语言、思想等;从广义的视角来看，数学文化不仅涵盖了与数学相关的知识发展历程、科学故事、数学美等，还与人文科学有着高度关联. 正如郑毓信教授所言：数学文化是数学共同体特有的态度、观念与行为，既属于数学传统文化的统称，又是数学家行为的表达[1]. 简而言之，数学文化就是“数学”与“人文”的组合，其中数学思想方法是数学文化的重要体现.

教学过程设计

1. 史料引入，揭露主题

课堂伊始，教师用多媒体展示这样一段话：与“陈子测日、商高量地、方砖地板”相关的一个数学知识是什么？

生：勾股定理.

师：不错，勾股定理被誉为千古第一定理，本节课我们将基于数学文化的视域，从“大概念”的维度与大家一起探索勾股定理. 课前大家已经做过预习，现在请一位同学说说什么是勾股定理？

生1：勾股定理就是直角三角形中的斜边平方等于两条直角边平方的和.

生2：用数学符号表达，记三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2.

师：非常好！看来大家都认真预习了，古代人们将直角三角形的斜边定义为“弦”，短直角边为“勾”，长直角边为“股”. 根据勾股定理，该怎么形容“勾、股、弦”之间的关系？

生3：勾2+股2=弦2.

师：现在请大家一起来看勾股定理的发展历程. （多媒体播放）

设计意图  在大众的认知中，总觉得勾股定理由毕达哥拉斯发现，因为勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理. 事实上，从勾股定理的历史发展进程来看，我国的商高至少比毕达哥拉斯学派早了五六个世纪发现特殊情况下的勾股定理;陈子发现普遍性的勾股定理也要比毕达哥拉斯学派早了两百年左右[2]. 显而易见，我国才是历史上最早发现勾股定理的国家. 以数学史料作为课堂导入的起点，不仅成功激发了学生对勾股定理的探索兴趣，渗透了数学文化，还有效激发了学生的民族自豪感，为“大概念”教学奠定基础.

2. 多元证明，发散思维

师：据统计，世界上关于勾股定理的证明方法高达四百多种，现在请大家结合课前预习情况，说说你们所知道的证明方法.

生4：公元3世纪，我国数学家赵爽所提出的证明方法，至今都令人惊叹，他的证法可用一张简单的图来诠释（见图1）. 这张图被誉为一篇无字论文，图形构思巧妙，通过图示就能看到简洁、严谨的推理过程，即正方形ABCD被分割成1个黄实与4个朱实，列式为4·ab+（b-a）2=c2，计算可得a2+b2=c2.

[图1][B][D][C][A][E][b][a][a][b-a][朱实][朱实][朱实][朱实][黄实]

师：太棒了！表述得非常完整. 现在请大家来看赵爽在“勾股圆方图”中所记载的原文（多媒体展示），请大家读一读，感受其创意. 有没有同学知道，这张图在近代数学家大会上还应用到了？

生5：如图2，2002年在中国举办的数学家大会上，就以这张图为背景设计了会徽.

师：赵爽通过截取、切割、拼接等方法证实了代数之间所存在的恒等关系，这种将抽象的数用直观图形展示的过程，充分体现了数形结合思想的弥久留香，此为科学创新的表现. 还有其他比较经典的证明方法吗？

生6：古希腊数学家欧几里得（Euclid）所提出的证法具有代表意义，具体过程如下，如图3，分别以Rt△ABC的三条边为正方形的三条边，向三角形外侧分别作三个正方形，并将CD，BF连接起来.

因为CA=FA，AB=AD，∠FAB=∠CAD，所以△ABF≌△ADC. 再作CL与AD平行，并与AB边相交于点M. 因为S△ABF =AF·AC=SHFAC，S=AD·LD=S，所以SHFAC=SDLMA. 与之类似，易证得S=S. 所以SADEB=SHFAC+SKGCB，AB2=BC 2+AC 2，也即c2=a2+b2.

师：欧几里得在《几何原本》中记录了这种方法，该方法广为流传，法国的“驴桥问题”，希腊的“已婚妇女定理”，阿拉伯的“新娘的座椅”，欧洲的“大风车”均为该方法的延伸. 有兴趣的同学，课后可以查阅资料，看看两千多年来的世界不同文字对这一证法的阐释，以从不同的视角发现该证明过程的趣味.

为了进一步深化学生对勾股定理的认识，教师借助多媒体展示中外其他各种经典证明方法，如我国的刘徽、梅文鼎、项名达等人，意大利的Leonardo da Vinci，日本的关孝和，英国的T.Simpson等，他们都用了不同的方法求证了勾股定理.

设计意图  想要真正渗透数学文化，就要充分调动学生的学习兴趣. 此环节，教师并没有做过多引导，而是在学生自主预习的基础上，鼓励学生说说勾股定理的证明方法. 学生从最经典的赵爽弦图与欧几里得证法出发，进一步感知了勾股定理的历史之悠久，以及勾股定理对现代数学的影响，这对学生发展严谨的逻辑推理能力等具有重要意义. 同时，“大概念”下的勾股定理教学，应将数形结合思想作为教学的核心，因此教师借助多媒体展示了中外不同学者求证勾股定理的简图与方法，进一步提升了学生对数形结合思想的认识.

3. 情境展示，自主探索

师：以上不同学者、专家所应用的证明方法均与“等面积原理”相关，通过构图与变图实现了求证. 现在请大家思考一下，如果在不构造其他图形的基础上，直接用直角三角形可否证明勾股定理？

随着此问的提出，学生积极开动脑筋，通过合作交流，分别提出从内切圆半径、锐角三角函数、射影定理等角度进行求证.

证明方法1：通过内切圆半径定理进行求证.

如图4，在Rt△ABC的内部作一个半径为r的内切圆，那么三角形的斜边c=（a-r）+（b-r），易求得r=. 因为S=ab=r·=·，所以2ab=（a+b）2-c2=a2+2ab+b2-c2，也就是a2+b2=c2.

证明方法2：根据比例中项求证.

如图5，过Rt△ABC的顶点C，作AB边的高CH，由此获得两个相似的直角三角形，即△ABC分别与△CBH，△ACH相似. 设AH=e，BH=f，根据相似三角形的性质，易得=与=，结合比例中项定理，发现a2=cf以及b2=ce，将两个式子相加，有a2+b2=c（f+e）=c2.

证明方法3：根据投影关系求证.

根据投影关系，有a=ccosB，b=ccosA，c=e+f=c（cos2A+cos2B），据此推导出cos2A+cos2B=1，那么a2+b2=c2（cos2A+cos2B）=c2. 值得注意的是，此处的cos2A+cos2B=1并非由勾股定理推导而来，此为第二种证明方法的变化.

设计意图  前两个教学环节的数学文化的渗透，成功激活了学生的思维，让学生对勾股定理的证明产生了浓厚的探索兴趣. 此环节，教师鼓励学生在不额外建构图形的基础上，从直角三角形本身去研究勾股定理的证明过程，成功启迪了学生的思维，让学生积极主动地讨论与分析，形成了三种求证方法. 如此设计，不仅凸显了“大概念”教学的趣味性，还发散了学生的思维，为核心素养的形成夯实了基础.

思考与感悟

1. 勾股定理的探索意义

勾股定理作为世界第一大定理，对数学史的发展具有重要的推动作用. 教师若在课堂中纯粹地与学生讨论勾股定理，而不带领学生深入其发展历程，不仅无法渗透数学文化，也无法促使学生提炼出核心思想方法，最终难以达到“大概念”教学的意义. 为了让学生感知勾股定理独特的美，教师还可在展示其历史资料时添加与勾股定理相关的邮票，提升学生的视觉效果，也可以借助几何画板展示精美的“勾股树”，促使学生从迭代变化中感知千姿百态的勾股树所带来的视觉盛宴（见图6），发展数学审美能力.

2. 数学文化的渗透价值

美国学者Bidwell认为：在数学教学过程中有机地渗透数学史，可成功救出孤岛上的学生，让学生到充满生机的陆地上感受数学的趣味. 数学文化反映的是人类文明的进步，蕴含了数学家们的心血. 在课堂中渗透数学文化，能让课堂充满生机，为“立德树人”创造条件，为学生形成良好的数学创造力奠定基础. 实践表明，“文化之魅”可体现在数学史的研究上. 教师在课堂上应用丰富的素材，为学生的思维提供丰富的养分，学生的思维之树因数学史的不断渗透而保持常青. 教师在每一个教学环节都有机地渗透了与勾股定理相关的数学史料，其中有很多史料由学生自主提出并分析，这有效激发了学生探索勾股定理的兴趣，为发展学生的数学核心素养创造了条件.

3. 勾股定理的研究前景

有学者认为，太阳系之外或许存在智慧的生命，想要探寻外星文明就要具备与外星人沟通的技能，或许“勾股定理”就是不同星球共同的语言. 正如华罗庚所言，想要让两个星球实现信息交流，最好的办法是用表示“数”的洛书将勾股定理图送给对方. 理由是该定理反映了最基本的数形关系，凡具备智慧的生物，必然能理解其所蕴含的意义. 因此，勾股定理体现了重要的数形关系，值得继续深入探索与研究，也许它能为我们打开通往宇宙的大门.

总之，带领学生切身感知勾股定理的形成与发展过程，体会其漫长且曲折的发展史，可让学生进一步体会人类的伟大，并对严谨的证明过程形成深刻理解，为发展逻辑推理能力夯实基础. 因此，数学文化视角下基于“大概念”的教学，是值得广大教育工作者深究的话题.

参考文献：

[1]孙翀. 再探初中数学勾股定理[J]. 理科考试研究，2014，21（12）：10.

[2]卞新荣. 多元文化下的勾股定理——数学文化研究性学习教学案例[J]. 数学通报，2011，50（12）：9-14.