渗透“模型思想”的初中数学教学研究

[摘  要] 课堂是学生学习新知、发展思维的主要场所. 教师应致力于课堂，发展学生的模型思想. 研究者从模型思想研究的目的与意义出发，以“将军饮马”模型的教学为例，具体从以下几方面展开设计与思考：情境创设，感知模型;合作探究，建立模型;深化问题，应用模型;拓展延伸，总结模型;归纳提升，迁移模型.

[关键词] 模型思想;课堂教学;将军饮马

作者简介：耿敬之（1991—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学与研究工作.

模型思想是指学习者有意识地运用数学概念或原理等，来描述、理解并解决问题的思想. 掌握模型思想，就是在深刻理解客观对象本质与规律的基础上，用恰当的数学符号或语言将客观事物的数学模型刻画出来的过程. 实践证明，数学模型思想并不是通过刻意练习或考试而获得的，它是一种看不见、摸不着，却又真实存在的思想方法，是促使“三会”能力形成的基础.

研究的目的与意义

1. 研究的目的

初中阶段研究数学模型思想的目的是探索怎样将其应用到不同的课型中，以提升教学的实效性与深远意义，确保学生能够从中获得持久的益处，为其终身学习奠定坚实的基础. 随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》的落地，笔者认为模型思想的研究对象不再局限于引导学生如何学习，还要关注教师的教学设计与课堂的引导方向. 事实告诉我们，教师若持续拓宽视野，对模型思想有深入而透彻的理解，便能设计出促进学生终身可持续发展的教学方案. 他们通过不懈的探究、深刻的反思与持续的改进，能不断提升自身的业务水平.

2. 研究的意义

日本数学家米山国藏认为：学生在学校习得的知识若干年后都会忘掉，在工作中也鲜少会应用到这些数学知识，但不论从事什么行业，刻在学生内心深处的数学思想方法、推理与看待问题的角度以及数学精神等会发挥长效作用.

本文研究的主要意义在于思考数学新课改历程中模型思想的价值所在，分析怎样渗透模型思想来帮助学生更好地解决实际问题，反思怎样利用模型思想帮助学生获得终身可持续发展的能力. 模型思想的建立，仅仅凭借解题是无法完成的，更多是在活动过程中，基于对知识的深入理解而形成. 下面，笔者以“将军饮马”模型的教学为例，探讨如何帮助学生建立模型思想.

实践探索

1. 情境创设，感知模型

数学模型具有高度的抽象性与概括性，如一些概念、公式、定理等的形成与发展都需经历抽象、概括与归纳的过程. 因此，数学抽象是建立数学模型的基础. 良好的情境通常能够激发学生的自主抽象能力，促使他们积极主动地参与到多样化的情境中，从而深刻感知和理解模型. 课堂伊始，笔者将学生带入“将军饮马”的原始情境中，引导他们感受问题的生成过程，为数学抽象奠定基础.

情境  相传，古罗马的一位将军上门拜访精通数学与物理学的学者海伦，他提出了一个有趣的问题：“如果每天从军营出来的第一件事就是到河边饮马，而后再到河岸同一侧的其他军营开会，在此过程中应该怎样规划行走路线，使得路程最短呢？”海伦听完这个问题后，很快就给出了相应的解决方案.

师：各位同学，如果你是学者海伦，该如何从数学的角度理解并分析这个问题呢？

设计意图 情境创设，能够将学生深度融入真实的问题场景中，这对于激发他们的求知欲与学习兴趣具有深远的意义. 在笔者的追问下，学生迅速领悟了该情境的关键所在——探寻最短路径问题. 这一初步的数学抽象过程为模型的构建奠定了坚实的基石.

2. 合作探究，建立模型

自主探究、合作学习与实践探索是数学研究的重要途径. 一般情况下，学生在合作学习中能具体化或简单化一些数学问题. 本节课的实践探索与合作学习阶段，引导学生亲历实践操作，促使学生通过对问题的观察、作图、交流与思考，体验“将军饮马”模型的建立过程.

问题1  在一个平面上，用直线l表示河流，点A表示将军所住的军营，点B代表开会的军营. 结合题意可知点A，B位于直线l的同一侧（见图1），当点P位于直线l上的哪个位置时，AP+BP的值最小？

师生活动：学生分组合作作图，各组派一名代表对组内所得的结果进行展示，分享作图思路与过程，其他学生给予补充. 笔者根据学生呈现的成果，运用几何画板进行动态验证.

学生展示画图思路与过程：如图2，将直线l作为对称轴，作点B的对称点B′，连接AB′，与直线l相交的点P即待求的点，AB′的值就是AP+BP的最小值.

“将军饮马”模型的建立需遵循以下步骤：①确定直线与其同侧的两个点;②选取一点以直线为对称轴作对称点;③将另外一点与所作对称点连接起来，与直线相交于点P.

设计意图 带领学生从故事原型出发抽象出基本图形，同时自主思考、合作交流，在探索与反思中分析原理、获得模型. 在学生展示成果时，笔者借助几何画板进行动态演示，使整个教学活动变得更加丰富、生动，学生从中也获得了建模经验与体验. 此环节，学生通过合作探索发现问题背后的本质就是“根据对称轴作图”，由“两点间的距离最短”的性质解题. 此过程有效提升了学生对这一类模型的认识.

3. 深化问题，应用模型

想将“将军饮马”问题常态化与系统化，最佳途径便是借助变式拓展模型，引导学生深入探索其延伸内涵，从而更深刻地理解和把握相关知识. 同时，让学生亲身体验从现实生活情境中提炼出数学模型的过程，这不仅有助于他们更牢固地掌握“将军饮马”模型，还能为日后解决更为复杂的实际问题奠定坚实的基础. .

问题2  某班举办元旦晚会时，将课桌摆成两条直线l与l（如图3），l桌面上摆满了橘子，l桌面上摆满了各种饼干，坐在P处的小明想先拿一个橘子，再拿一些饼干后回到自己的座位上，请为他设计一条路线，确保他行走的路程最短.

经探索，学生将这个问题转化成数学问题：如图3，如何在直线l，l上分别取点M，N，可使△NMP的周长最小？

生1：如图4，分别将l，l作为对称轴作点P的对称点P′，P ″，连接P′P″，与l，l分别相交于点M，N. 根据“两点之间线段最短”的原理，可知线段P′P ″的值即为待求的最小值.

设计意图 设计与学生生活息息相关的数学活动，一方面，激发学生探寻基础信息的能力;另一方面，促使学生掌握识别基本图形的技巧，进而在图形中洞察与现实生活紧密相关的数学规律. 在此基础上，学生需类比问题1，运用对称轴变换图形，从而构建出“将军饮马”模型. 这一过程不仅深化了学生对“将军饮马”模型的理解，还推广和强化了“将军饮马”模型的应用范围.

4. 拓展延伸，总结模型

随着探索的深入，师生共同研究，发现“将军饮马”模型还能应用在综合难度较高的几何图形问题中，例如等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形以及抛物线等具有轴对称性质的图形，“将军饮马”问题屡见不鲜. 在问题难度一般的情况下，仅需借助模型本身所具备的轴对称特性，即可轻松实现问题的转化，并依托“两点之间线段最短”的原理来解题;但面对难度系数较高的问题时，则需要灵活运用多次轴对称的转化或平移策略，虽然解题过程可能会稍显复杂烦琐，但仍是解决问题的有效途径.

问题3  如图5，在l1，l2上作点M，N，使四边形PQMN的周长最小.

作法：如图6，①分别以l1，l2为对称轴，作点Q，P的对称点Q′，P′;②连接Q′P′，与l1，l2分别相交于点M，N.

线段Q′P′+QP的长为四边形PQMN周长的最小值.

问题4  如图7，点A，B分别在l1，l2上固定不动，在l1，l2上分别取点N，M，使得AM+MN+NB有最小值.

作法：如图8，①分别以l2，l1为对称轴，作点A，B的对称点A′，B′;②连接A′B′，与l2，l1分别相交于点M，N. 线段A′B′的长为AM+MN+NB的最小值.

5. 归纳提升，迁移模型

“将军饮马”模型的应用范围颇为广泛，它不仅在数学领域内占据一席之地，在物理学科中也频繁亮相. 如数学史中记载，数学家费马运用“将军饮马”模型成功地解释了物理学科中的“光行最速原理”，即从点A射出来的光线，通过平面镜反射后，经过点B，据此作出光线路径.

问题5  如图9，以MN为对称轴作点B的对称点B′，连接AB′，与直线MN相交于点P，证明AP+BP的值就是光线行走的最短路程.

证明思路：直线MN上除点P以外的点P′恒有AP′+BP′>AB′=AP+BP，因此AP+BP的值就是光线行走的最短路程.

设计意图 增强学科间的联系是新课标对数学教学提出的要求. 此环节加强了物理学科与数学学科之间的联系，为课堂增添了浓厚的趣味性和学术氛围. 学生在此过程中深刻领悟了“将军饮马”模型的实用价值和广泛适用性.

教学思考

1. 解读课标要求是渗透模型

思想的基础

当教师拥有一桶水时，才能为学生提供一杯水. 想要在课堂教学中渗透模型思想，教师首先要充分了解模型思想的价值、内涵与作用，掌握课标要求. 众所周知，数学思想是数学的灵魂，虽然初中知识的难度系数不大，但也不能降低对学生的要求，会解题并非教学的终极目标，发展学生的数学品质与素养才是教学的主要目的.

因此，教师应全面细致地研读课标要求，理解模型思想在学生生活与学习中的普适性，以更好地帮助学生建立解决问题的基本模型. “将军饮马”模型是初中阶段的重要模型之一，笔者结合课标要求，从问题原型出发，引领学生深入探讨该模型的形成脉络与发展轨迹，同时在知识的拓展与延伸过程中，进一步加深学生对模型内涵的理解与把握.

2. 明确教学目标是建立数学

模型的关键

教学目标是教学活动设计与开展的导向，但在中考背景下，不少人依然以分数来衡量一个学生的能力. 殊不知，评判一个学生的优秀与否，不仅要看他知识与技能的掌握程度，还要观察他对数学思想方法的理解情况，尤其是模型思想的建立与应用对发展学力具有重要意义. 调查发现，当前仍有部分教师将教学目标锁定在知识与技能方面，忽略了生活与数学之间的联系，导致学生对知识的掌握只是浮于表面.

本节课的教学设计，笔者紧密围绕教学目标，引导学生从日常生活情境出发，深刻体验“将军饮马”模型的实际应用，并巧妙地与物理学科中的“光行最速原理”相联系，有效促进学生对于模型应用理解的深化与拓展.

总之，数学既是一门学科，也是一门科学，其中所蕴含的模型思想在各个板块中均有体现. 教师应立足于学情和教情，结合教材和课标要求合理制定教学方案，将模型思想有机地渗透在实际教学中，这是发展学生数学核心素养的重要手段.