基于整体建构的概念自然生成探究

[摘 要] 整体建构下的概念教学注重通过类比发现数学关系和一般规律，以分式概念课（第1课时）的教学活动为载体，对“数与式”的概念教学中如何通过一条主线引出知识结构、一类思想引领课堂、一个结构搭建课堂来展开概念教学，把握数与式的整体性，从而在课堂生成中掌握技能，领悟类比迁移的数学基本思想，提升和发展数学学科素养.

[关键词]整体建构；概念课；自然生成；类比迁移

基金项目：江苏省十四五规划课题“基于学习时空重构的初中数学创新实验的开发与研究”（C-c/2021/02/26）.

问题缘起

概念教学是使学生对数学形成基本和概括性的认识.教师在教学中要注重学生对概念“从0到1”的生成过程，而不是一味地注重“从1到n”的巩固或运用过程，要帮助学生了解概念之间的关系，对知识进行结构化整合，形成概念系统.在概念教学中经常会出现以下三种现象：一是引入过程固态化，基本上都是通过生活情境去发现问题或产生疑惑，弱化数学情境；二是课堂模式化倾向严重，具体表现为情境引入、问题抛出、探究课堂和巩固运用“四步走”；三是探究过程分散化，出现“先拆模、再建模”的套路.

以上三种现象，说明概念教学过程中还存在着泛教育、摆形式、固态化等误区，有效的数学概念教学需要从已有经验或知识出发，让学生积极主动地参与探究过程，通过探究概念的本质，了解概念在本章、本学段乃至整个学习过程中的作用及运作规律，形成大概念，在参与探究的过程中，进一步发现、理解、应用、融合概念，并不断创新内容，从而完善个人在学习中的认知，为终身学习打下基础[1].笔者于2022年5月作为评委参与了评优课评比活动，共听了八节同题异构课，内容为苏科版教材八年级下册“分式概念课（第1课时）”，而后又实践于自己的课堂中.本节课作为概念课具有典型性，故以此为例，就如何通过一条主线、一类思想、一个结构开展概念教学进行探讨，让学生学会归纳和类比提出数学猜想，发现数学关系与规律，并加以验证.

通过三个“一”，让概念自然生成

概念起始课教学可通过类比发现数学关系和一般规律，在课堂生成中掌握技能，领悟类比迁移的数学基本思想，提升和发展数学学科素养.下面以分式概念课（第1课时）的教学活动为例进行概念课教学阐述.

1.一条主线引出知识结构，引领“数与式”的整体性

本节内容是学习分式的起始课，是继整式的学习后对代数式的进一步研究，也是对分数的进一步从具体到抽象，从一般到特殊.通过分数概念、基本性质、运算等类比得出分式的相关概念、研究思路、研究方法，让学生经历从数到式，对“式”的概念由整式扩充到有理式.本节内容为后面学习分式的基本性质、解分式方程、分式的应用奠定基础.

片段1 复习分数，形成结构（环节一）

活动1：请你用分数的形式表示下列除式：3÷4，10÷3，12÷11，-7÷2，请你回忆一下小学的分数，把你知道与分数有关的知识和大家一起分享出来.

生3：……

师：同学们能用分数来解决实际问题，所以说分数可以表示现实生活中的部分数量关系.请同学们一起回忆分数的研究是如何开展的？

教学分析 通过直观的分数呈现，让学生理解体会“两数相除就可以用分数表示”，接着让学生回忆大家所理解的分数知识点有哪些.通过集体智慧把小学时学习分数的主线突出来，特别是回答问题时让不同层次的学生都能回答.最后师生一起总结分数学习包括：定义、意义、基本性质、约分、通分、计算等内容.回顾复习分数，符合学生的认知规律，体现分数学习的一条主线.（板书主线设计如图1）

2.一类思想引领课堂，感悟数学结论的一致性

本节课是在小学学习过分数和初一学习过代数式、整式这些知识的基础上拓展推广到分式概念的.针对八年级学生“基础相对较为扎实、学习能力较强”的情况，可采用从分数类比学习分式的方式，从数到式进行转化，利用类比思想，将分式的学习结构建立起来.对于分式的值何时为零这一问题，部分学生会忽略“分母不能为零”这一条件.特别是有些问题中，分母甚至需要分解因式后才能得出分式有意义的条件，这使得学生接受起来更加困难.因此，需要通过类比分数，加强对分式中分母为何不能为零的意识的培养，在安排上应由浅入深，同时强化对开放题的探究，化解难点[2].

片段2 类比分数，构建新知（环节二）

（1）问题情境

①一张长方形书桌的面积为3600 cm2，如果长是80 cm，那么宽是 cm；如果一边长是x cm，那么另一边是 cm.

②小蔡同学用x元买了y本笔记本，那么笔记本的价格是 元.

③学校农场的两块果园都种植了桃子，面积分别为0.5亩和1亩，产量分别为1200kg和2000kg.这两块果园的桃子亩产量分别是多少？

④学校农场的两块果园都种植了桃子，面积分别为x亩和y亩，产量分别为a kg和b kg.这两块果园的桃子亩产量分别是多少？

学生活动：学生通过刚才分数的复习基本都能回答出来.

教学分析 以学生生活中的例子入手，引导学生过渡到用字母来表示数，并用分数的形式表达出来.从具体到抽象，从一般到特殊，用式的形式表达，为下面的概念学习提供生活实例.

（2）讨论探究

活动3：上述式子哪些是分数？哪些不是分数？不是分数的式子有什么共同点？

师：第2列的式子的被除式与除式有什么异同点？

生4：被除式与除式都是整式，但是除式必有字母.

师：追问，那么被除式呢？

师4：不一定.

师：根据刚刚的比较，你可以为这些式子命一个名称吗？

生5：因为分数是两个整数相除，那么这些式子是两个整式相除，所以称为分式.

师（追问）：你认为怎样的式子称为分式？

生5：除式含有字母，看成分数的形式的话，是分母含有字母.

小组间讨论，总结得到分式的基本概念，教师补充完善.

教学分析 设计此探究环节，引导学生认识这些式子都有分数的形式，且分母中都含有字母.通过问题串的形式打开学生的思维，学生在与分数的比较中，看到两者的异同点，从而使得分式的特征自然生成.

通过对分数与分式的类比，让学生亲历从分数到分式概念生成的过程中渗透了类比推理思想.培养学生从具体到抽象、从特殊到一般的思维能力，给分式中的字母赋值后，领会分式变成分数、从数到式，再从式到数，渗透函数思想，最后让概念通过类比无痕生成.

3.一个结构搭建课堂，凸显知识间的关联性

章节起始课，承载引领学生搭建整章学习内容结构的作用.数学内涵是数学概念下的数学对象的本质属性，因此内涵凸显数学本质.教学时对内容进行结构化整合，抓住知识间的联系，架构整体，把握本质.如本节课，通过对分式的整体架构，对分式“具有分数的形式”和“表示两个整式相除”两个本质展开，抓住数学内涵，通过分数与分式的横向联系，类比学习.结构设计让学生审视数学知识间的关联，以发展的视角去探究，在关联性概念学习中拓展学生的思维，将思维由无序走向有序，由低阶走向高阶，由感性走向理性[4].通过开放性问题的设置，让课堂自然生成，让难点自然分解，形成框架，搭建结构图；通过开放题，从单课教学到单元、学期课程结构性变革，促进个体独立深入思考，促进学生间挑战性开展讨论，使知识间的联系成结构化，在结构化中形成大单元，进行知识迁移.

片段3 开放生成，深化结构（环节三）

生5：……

教学分析 概念的巩固需要学生用概念去解决具体问题，但是直接通过题目去加深，学生是为解题而做题.通过一个开放性问题，教师调动了学生的积极性，学生通过构造不同的分式，并提出不同问题，从而将本节课的内容全部串联起来，特别对分式值为零的条件，学生容易遗忘分母不能为零，再次加深对此的理解记忆.让学生在出题和解题中发现自己的错误，增强对该知识点的理解，让概念巩固无痕生成.

板书设计如图2.

教学分析 通过分数类比总结本节课的方法技能，对结构进行建构.分数和分式既有联系又有区别，借助两者的联系促使学生将原有的经验进行迁移，两者的区别又需要学生自主探究引起重视.类比学习让学生感受到分式比分数更具一般性，让学生自己感悟本节课的知识点，搭建知识结构，探索知识和技能，让学生感悟探索过程中运用了哪些学习方法，进行首尾呼应，其中问题2为学习分式的后续内容进行主线上的铺垫，同时激发学生学习的动机和兴趣.

整体建构下的概念教学的几点思考

1.从知识点到概念，撬动高阶思维

知识点是数学学科最小的知识单位，一般在课堂中直接讲授，因此是具体的.知识点是对所学事物的分解，因此具有零散和琐碎的特征.如果教师在教学中对所学的内容没有整体观，那么学生往往不能将这些知识点综合起来，不能形成整体运用.如本节课学生通过类比将分数的主线迁移到分式的主线，将知识点串联起来，处理好直接经验和间接经验，理解本质，形成结构化的概念[3].教师利用不同情境丰富学生对概念的认识，最后让学生运用概念为工具通过开放式学习解决新问题.通过一条主线统领课堂，教师上课多给学生留有思考、讨论、辨析等高阶思维的时间，促进学生对所学内容进行深度理解，进行知识迁移和创造新知识、新思维.

2.从分散到结构，构建核心知识网

对于概念课，一般有一明一暗两条主线，明线是研究概念的一般方法，即通法，暗线是探究概念过程中所蕴含的思想方法.如本节课的明线是用类比分数的方法去研究分式概念的一般方法，通过实际问题发现用分式表示的必要性，再类比引出分式的基本性质、约分和通分，最后运算.暗线是所蕴含的思想方法，比如类比思想、分类讨论思想、转化与化归思想方法，特别是类比思想始终贯穿整堂课，引领分式教学的整体性.

当学生在新情境中能够运用以往的经验产生出新知识，迁移知识的再构建，如果课堂上只是知识的应用、技能的呈现，那么素养就难以落地.在分式概念教学中，教师既要理解教材，又要用活教材，通过渗透数学思想方法，突出学生的主体地位，引导学生用对比的眼光观察比较[3]，用类比的思想思考解决方案，用转化的方法解决本质.教学中思想的深度与升华的高度将最终决定概念教学目标达成的程度，通过分散知识进行迁移、运用、转换，产生新知识，实现知识的再建构.

3.从“会学”到“素养”，实 现能力再建构

数学学习一是让学生学习关键概念和学科能力，二是学习融入社会的相关知识，让学生真实地发现知识和世界的关系.如本节课的重点不是陈述分式的概念，也不是机械式地判断一个式子是否为分式，而是通过分数的类比迁移，让学生自己去发现分式的本质特征，理解相关概念，并在探索过程中掌握知识与知识、知识与生活的联系，对分散知识点进行整合，实现能力的再建构，从整体上理解学科的关键概念和能力.素养的形成离不开知识的建构与转化，因此素养培养与知识、技能是分不开的，知识与技能是实现核心素养的基础，促进素养的整体实现[4].

总之，数学概念是静态的，但形成过程是动态的，要让学生在整体建构下在参与概念的形成、发展、巩固、应用和拓展的过程中，通过情境引入、体验活动、开放探究，抓住概念学习的本质，通过一条主线贯穿课堂，体会隐含在概念学习中的思想方法，形成结构化知识，促进学生知识、能力与态度的整合，从而使学生在知识结构生成、能力发展、素养养成等方面得到全面发展并终身受用.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 孙朝仁.关于“教思考”的思考——以“分式”教学设计为例[J].中小学教师培训，2020（12）：46-49.

[3] 张安军.从几个教学片断谈概念教学立意的三个层次——观市优质课“分式”有感[J].中国数学教育，2017（17）：22-25.

[4] 王飞兵.追溯概念本源 展现类比魅力——人教版《义务教育教科书·数学》“分式”教学设计[J].中国数学教育，2016（7）：72-75.