题外生枝，别有风情

［摘  要］ 几何直观是现代人认识世界所必备的素养，它能给人以强烈的直观印象. 在数学教学中，几何直观的作用在于将抽象的逻辑规律体现在具体的图形中，让抽象的数学逻辑关系变得具体生动. 几何作为培养学生逻辑推理能力课程的践行，最早可追溯至古希腊时期的柏拉图学园，之后一直延续到现代数学的教学.

［关键词］ 新课标；几何直观；核心素养

以几何图形为载体来发展学生的逻辑思维能力是新课标对发展学生核心素养所提出的目标之一. 从学生角度来看，学习几何知识可以为数学知识的探究与推理提供便利，并且能为其理解与洞察更为抽象的数学内容与结构搭建桥梁. 从教师的角度来看，对学生几何直观素养的发展需要落实到常态课中，让学生将图形学习作为感知几何图形、理解图形性质、探究几何规律的认知工具，以此来发展学生的核心素养，让几何教学更加贴近新课标的要求. 如何在新课标旗帜的引领下更好地发展学生的几何直观素养是教师们热议的话题，笔者以为，几何直观素养的形成关键是“识图”，即认识基本图形，知道基本图形的变换及组合，能够自行推导出由简单图形到复杂图形的变化. 本文以“正方形经典问题的深入探究”为例，就如何在新课标的背景下发展初中生的几何直观素养谈谈自己的理解：

在初中几何教学中，线段、多边形、圆等基本图形是组成所有几何图形的基本单位. 在错综变化的图形中，几何模型的重要性不言而喻，一切复杂图形都是由简单模型变化而来，因此培养学生的几何直观素养可以从认识并探索经典几何模型来切入.

我思故我在：基础切入、课前热身

直观性是几何图形最明显的特点，发展学生的几何直观素养也应从简单的图形入手. 在常态课教学中，以基础问题作为几何教学的切入点，不仅可以给学生树立学好本节课内容的信心，而且能够强化学生对基本几何模型重要性的认识.

引例：如图1，△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF于点F，AE和EF有何数量关系？

问题分析  该问题有多种解法，如方法1：如图2，连接AF，易证△AEC≌△AFC，进而证得△AEF是等边三角形使问题得到解决. 方法2：如图3，等边三角形是图中的基本图形，由等边三角形的外角平分线易得60°的角，结合等边三角形的内角及已知的∠AEF=60°，可以通过截取CG=CF来实现在直线BC上再作一个60°的角，构造“一线三等角”模型来解决问题. 方法3：如图4，通过等角可知AB∥CF，延长AB与FE，交于点G，构造“8字型”全等来证得EG=EF，再通过“等角对等边”得到EG=AE，从而使问题得到解决.

设计意图  上述图形中的模型较为明显，图2中的“手拉手”模型，图3中的“一线三等角”模型及图4中的“8字型”均为常见的几何模型，因此以该问题作为正方形经典问题的铺垫，一方面给学生指引思考问题的方向，另一方面让学生体会多边形之间的相互联系及区别.

我在故我想：呈现经典、积极思考

由简单问题过渡至对经典问题的探究，符合学生的认知梯度，也能遵循学生的素养形成规律. 同时，以“经典”来定义探究对象，可以引起学生对该问题的重视，加深其印象，并有效调动其自主参与、主动思考的积极性.

经典问题：如图5，已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，AE和EF有何数量关系？

问题分析  以上述等边三角形问题的解答作为铺垫，该问题也有多种解法. 方法1：如图6，取AB的中点G，连接GE，利用“ASA”证明△EAG与△FEC全等. 方法2：如图7，连接AC，过点E作BC的垂线，交AC于点G，可证△AEG≌△FEC. 方法3：如图8，首先过点E作BC的垂线，交FC的延长线于点H，接着过点F作BC延长线的垂线，垂足为G，证明时，可先由△CEH与△CGF的“8字型”全等得出EC=GC，接着可利用“一线三等角”证明△ABE≌△EGF，也可在这两个直角三角形中借助∠BAE=∠GEF，用锐角三角函数去证明边边之比相等.

设计意图  此题是人教版八年级下册“第十八章 平行四边形”的章节复习题，图为正方形经典模型“K字型”，将此问题作为引例后的例题让学生展开探究，能够体现出三角形与正方形之间的关联，给学生指明解决问题的方向. 同时，该问题难度适宜，适合学生开展深入探究，也有利于培养学生对几何问题多方位观察与思考，以求一题多解的习惯.

我想故我变：一题多变、勇于尝试

几何图形的魅力在于它的“变”，几何直观素养的形成不仅要求学生具备“变”的能力，还要求学生拥有“应变”的技能. 一题多变是几何教学中常用的方法，特殊点位置的改变、条件和结论的互换等都是常见的变式，它可以打开学生的思维，让学生体会“变”中的“不变”，从而能够主动思考. 在此，笔者建议教师在教学中尽量让学生自主尝试去“变”，这样才能有效激发学生的高阶思维，让学生形成自己的几何直观素养.

变1：改变特殊点的位置

我是命题人：已知四边形ABCD是正方形，______，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，结论还成立吗？

生1：如图9，如果点E是边BC上的任意一点，结论仍成立.

生2：如图11，如果点E是边BC延长线上的一点，结论仍成立.

生3：如图13，如果点E是边BC反向延长线上的一点，结论仍成立.

问题分析  如图10，当点E在BC边上时，在AB边上截取BG=BE，用“ASA”证明△AGE≌△ECF，即可证得结论；如图12，当点E在BC延长线上时，可延长BA至点G，使AG=CE，用“ASA”也可证明△AGE≌△ECF，结论成立；如图14，当点E在边BC的反向延长线上时，可延长AB至点G，使得BG=BE，同样可用“ASA”证明△AGE≌△ECF，结论依旧成立.

变2：将条件和结论互换

生4：如图5，已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AE=EF，且EF交正方形外角平分线CF于点F，求证：∠AEF=90°.

生5：如图5，已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，AE=EF，求证：CF是正方形外角平分线.

问题分析  在上述两个变式中，如图15，对于问题1，可以过点F作BC延长线的垂线，垂足为G，根据条件易证AB=EG，再结合题干条件AE=EF，可用“HL”来证得Rt△BAE与Rt△GEF全等，进一步证明∠AEB+∠FEG=90°即可；问题2是典型的“一线三等角”，可以作出与问题1同样的辅助线，用“AAS”可证△BAE≌△GEF，进而证出CG=FG即可.

变3：变“静态”为“动态”

师：如图16，在正方形ABCD中，点E是BC边上的动点（不与点C、B重合），∠AEF=90°，AE=EF，连接AF，DF，已知AB=4，求△ADF周长的最小值.

问题分析  在几何图形中，解决动态问题的原则是化“动”为“静”、“动”中取“静”，由图17可知，△ADF的三边中，AD为定值，当AF+DF的值最小时，△ADF的周长最小，问题即可化为“将军饮马”模型. 由上述变式可证CF是∠DCG的角平分线，因此过点D作CF的垂线，交BC延长线于点G，则点G为点D关于CF的对称点，从而DF=GF，AF+DF=AF+GF，当A、F、G三点共线时周长最小，根据正方形的边长求出最小值即可.

设计意图  由改变特殊点的位置到条件与结论的互换再到变“静态”为“动态”，体现了思维的上升及发散. 在常态课的变式练习中，改变特殊点的位置较为常见，所以让学生自主变形与探讨；将条件与结论互换是思维的升华，学生在教师的引导下进行变形与解答；变“静态”为“动态”则是思维的一次跳跃，学生可以在教师的引导下体悟其与上述问题之间的内在联系，以此来形成对几何图形之“变”的直观感受，内化“模型”与“结论”的依存关系，提升几何直观素养.

我变故我乐：开拓创新、挑战自我

学生的潜力总是超乎我们的想象，学生对知识的认知程度同样不可估量，因此初中数学教师在常态课教学中应尽量给课堂“留白”，给学有余力的学生以充足的空间，让其不断发展与超越.

师：请你仔细领悟梳理例题与变式的变换思路及解题过程，并尝试以此为依据，在正五边形中推广一个类似的真命题.

如图18，在正五边形ABCDE中，G为BC边上任意一点，______，则：AG=GF. （请补全图形并解答）

猜想：如图19，在正n边形ABCDEF…中，N是BC边上任意一点，CI是正n边形的角平分线，当∠ANI=______度时，AN=NI成立.

问题分析  如图20，将前面证明AE=FE的方法迁移到该问题中来，构造全等三角形即可得证，因此在AB上取点H，使得HB=GB，在构造该三角形的过程中会发现，∠FGC=180°-∠AGF-∠AGB，∠GAH=180°-∠B-∠AGB，若∠FGC=∠GAH，则需∠AGF=∠B，由此可以猜想在正n边形中，若结论成立，则∠ANI与多边形的内角相等.

设计意图  由正三角形到正方形再到正五边形乃至正n边形的变式，在知识上是一个阶梯上升、逐层递进的过程，可以让学生很直观地体会到多边形之间的联系，从而领悟到几何图形的一致性与连续性，助推着学生几何直观素养的形成；而在思维上，该过程引导学生不断深入思考、深层探究，正是由低阶思维向高阶思维转化的实现过程.

人对空间与图形的视觉是一种本能，因此几何的教学应立足于低起点，让学生在简单的基本图形中形成最初的几何直观素养. 同时，几何直观素养的形成也有赖于图形的各种性质及内在的逻辑素养，所以几何课程是形成素养的必要途径，同一图形的多角度变换及不同图形之间的共性需要教师引导学生学会从多角度、多方位来审查问题. 几何有着双重性质：既可以作为探索空间关系的工具，又可以作为一套公理系统来学习演绎推理. 几何直观素养是高阶思维的体现. 低起点、多角度、高落点是发展初中生几何直观素养所应遵循的基本原则和依据，以基本图形作为“树干”，让其全方位伸展出多个“枝节”，长成“参天大树”来承载孩子的不断成长. 题外生枝，别有风情.