聚焦结构教学,打造高效复习

[摘  要] 初三数学的复习不再是简单的已学知识罗列、多种的解题方法总结，更多的是让学生通过真实情境的呈现，突破知识结构的界限，通过问题的真实解决架构方法与思想的桥梁，通过行、思、悟等思维深入的过程，提升数学素养，帮助打通初中数学的任督二脉，此时复习课的策略实施与达成至关重要.

[关键词] 初三数学;复习;策略;结构化

《义务教育数学课程标准（2022年版）》的实施昭示着中小学数学教育进入了“核心素养”时代，教师要始终秉承科学的发展观，坚持立德树人的教育理念，努力把学生培养成为全面发展的新时代优秀人才. 学习是将外部所接收到的信息进行吸收与重组，从而内化成自身完整的知识体系的过程. 新课标强调，教学要注重知识间的联系，知识是认知结构的组织，因此结构化教学更利于体现数学教学的价值.

对初中数学而言，结构化教学主要是从育人的价值角度出发，将知识进行整体架构，将长远的目标进行细致化，进而实施连续的过程性培养. 通过结构化教学，学生可以更好地体悟知识的生成过程，提高自身综合思辨能力，并对数学形成整体的认知，拓宽数学的“眼界”. 在整个初中阶段，初三一轮复习课的重要性不言而喻，因其是在学生学完了初中数学的所有内容后开展，所以在结构化教学的视角下推进复习非常必要. 基于结构化教学的复习课主要指从知识结构、方法结构、能力结构及思维结构这几个视角出发，从整体的角度去引导学生对已经学过的内容进行再现和回忆. 下面，笔者结合教学实际，就结构化教学视角下初三数学复习课的实施策略谈谈自己的看法.

知识结构：情境开放、激活结构

知识结构旨在让学生在情境中建构对知识的再认知和理解，并形成一定的系统化、体系化，提升知识与知识间的逻辑性、整体性. 情境开放主要指向知识结构，它是对课堂气氛的优化，为学生创造民主、轻松的学习环境，激发学生的主动意识，诱发学生的创新欲望. 初三数学复习课相对“质朴”，没有过于丰富的导入形式，通常由问题引入，鉴于此，教师可以将单一封闭的问题设计成开放型问题，设计成“找问题”的问题，学生的思维在情境的开放下启航，知识结构随之被激活.

1. 基于知识的连续性来开放

例1  如图1，一次函数y=ax+b的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）.

问题引导：结合图象可知，其解析式为______.

自我提问：你能利用上述条件自己提出一个问题并解答吗？

学生展示：

（1）求一元一次方程ax+b=0的根.

（2）在直线l上是否存在一点C，使得S=3？

（3）将直线l绕着B点逆时针旋转90°至l，求l的解析式.

（4）将直线l进行平移，使其经过点C（2，2），求在平移过程中线段AB扫过部分的图形面积.

设计意图  该问题是一轮复习中“一次函数”的典型问题，开放性问题的设置也是如今所大力提倡的有效形式，将问题的主动权交给学生，引导学生在自己能力的“最近发展区”进行思考，体现了个性化教学的实质. 学生所提出的问题内容涉及一次函数与一元一次方程的关系、平面直角坐标系内三角形的面积、直线的旋转、直线的平移等. 这些内容将原本独立的数学知识串联成完整的知识体系，让学生体悟到知识的连续性.

2. 基于方法的多元性来开放

例2  如图2，在正方形ABCD中，点E是边BC上的中点，过点E作AE的垂线，交正方形的外角平分线CF于点F，AE和EF有何数量关系？

学生展示：

方法（一）：如图3，取AB的中点G，连接GE，易证△EAG≌△FEC，从而AE=EF.

方法（二）：如图4，连接AC并取其中点G，连接EG，可证△AEG≌△FEC.

方法（三）：如图5，过点E作BC的

设计意图  众所周知，一题多解是发散学生思维的直接途径，也是激发学生探索精神的有效方式. 上述问题是正方形内经典的“十字架”模型，由全等来证边相等是解决该问题的方向，同时也是几何证明中常用的方法，通过该问题的复习可以引导学生从多个角度去构造和证明全等三角形，启发学生领悟几何证明方法的多元性.

方法结构：反思悟学、再生结构

方法是数学学习的关键，方法结构不仅让学生在学习过程中达成对方法的理解和感悟，更多的达成对方法应用的反思与再应用，实现方法与方法之间的触类旁通、由此及彼形成一定的方法结构，实现方法的灵活运用. 反思是复习中不可或缺的重要过程，学生唯有通过反思才能对自身已掌握的知识提供查漏补缺的依据，从反思中可以深入看透原有知识的内涵，从反思中可以领悟出新的发现，并在此基础上促发更新、更完整的方法结构. 以几何复习教学为例，一图多变、一图多问是几何所具备的独特性. 教师在教学中可以从图形本身出发挖掘条件，引导学生不断思考、质疑，使思维流畅、变通，以此助推新方法结构的再生与发展.

1. 几何中挖掘图形的特征，基于图形的特征来创造

如图6，☉O是△ABC的外接圆，∠B=60°，CD是☉O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC.

思考1：直线PA与☉O有怎样的位置关系？

思考2：若PA=3，求☉O的半径.

思考3：若BC=2，AB=3，求PA的长.

思考4：过点P作☉O的切线PM，过点D作☉O的切线分别交PA，PM于点E，F. 若△PEF的周长为8，求PA的长.

设计意图  上述问题全部基于图6而展开，笔者根据图形的特征编制了切线的证明、求半径、求切线长的问题，涉及的内容主要有切线的判定、勾股定理、特殊角的三角函数、切线的性质. 虽然以圆为主题的复习课，但是4个问题中的前3个均需要构造直角三角形，该题的复习也强化了学生用勾股定理解决线段长度问题的基本方法.

2. 几何应强化逻辑推理，越简单越规范

如图7，在等边三角形ABC的边AB上取一点D，在边AC上取一点F，连接DF并延长，与BC的延长线交于点E，若EF=FD，求证：AD=CE.

问题1：观察图形，求证这两条线段相等，你有什么想法？

问题2：图中有现成的全等三角形吗？如果没有，你如何去构造？有几种方法？

问题3：请陈述完整的证明过程.

设计意图  该问题是全等三角形一轮复习中的简单问题，学生基本上可以毫无压力地解决，似乎没有复习的必要，但笔者还是将这一简单问题拆分成3个小问题，旨在强调构造全等来证线段相等的重要性以及养成从“割”和“补”的两个不同方向来思考问题的习惯，这样可以让学生形成严谨的几何方法逻辑.

能力结构：问题导学、固化结构

能力结构是指构成能力的诸要素相互联系的方式，对初中数学而言，这里的能力结构就是学生的数学核心素养. 对初中生而言，所应具备的数学能力包括数学运算能力、数学语言表达能力、逻辑推理能力、数学建模能力、空间想象能力、抽象思维能力等. 数学能力在学生的数学学习中形成与发展，一轮复习的目标是帮助学生将这些能力进行固化. 上文已经提到，复习课常常采用问题引入的方式，快捷、实用. 在这个过程中，优化问题、挖掘问题即可帮助学生巩固知识、发展思维，从而促进能力结构的固化.

1. 优化问题，构建基本方法

如图8，在菱形ABCD中，AB=4，且∠ABC=60°，点M是其对角线BD（不含端点）上的一点.

问题1：N是BC上一动点，求AM+MN的最小值.

问题3：本题若要求2AM+BM的最小值呢？

问题4：本题若要求AM+BM+CM的最小值呢？

2. 厘清思路，生成能力结构

思维结构：审读引导、升华结构

新课标指出，数学课程要以发展学生的核心素养为主，教会学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界. 诚然，数学思维的发展有赖于学生不断地思考数学问题，其中审题是思考的前提，有效的审读是确保思路顺利发展的必要条件. 在复习课中，教师有效的审读引导对于发展学生的思维结构尤为关键.

1. 直观与思考相结合

数学是一门具有独特魅力的学科，它用美丽的图形与严谨的文字描绘着这个多彩的世界. 图形是直观的，文字是抽象的，因此在数学的审读中，要遵循“图形先行、符号相伴、淡化文字”的原则，让数学问题变得更形象而易于接受. 以新定义问题为例：

（1）函数y=x2-8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，请求出这个点;如果不存在，请说明理由.

（2）若二次函数y=ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”，则当a>1时，求c的取值范围.

（3）将抛物线y=x2-8（x≥m）的图象记为W，其沿直线x=m翻折后的图象记为W，由W和W组成的新图象记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围.

[引导]

问题1  你能换一种方式来理解“1倍点”和“2倍点”吗？

生：“1倍点”就是函数图象上横纵坐标相等的点，“2倍点”就是函数图象上纵坐标是横坐标的2倍的点.

问题2  在图象上如何体现出“1倍点”和“2倍点”呢？

生：“1倍点”就是函数图象与y=x的交点，“2倍点”就是函数图象与y=2x的交点.

设计意图  该问题的突破口就在于理解“1倍点”与“2倍点”的图象含义，所以引导学生从作图的角度去审题，借助图形去分析和理解问题中所给的条件，让问题变得直观.

2. 联系与拓展相结合

（2）若一次函数y=mx-3m+2的图象上存在唯一一个“近距离点”，求m的值.

（3）如果你是命题老师，你将会怎样设置该题的第（3）问？请尝试一下.

设计意图  该问题是上一问题的变式，联系上一问题的思路，学生即可找到方向，将“近距离点”转化成图形：以原点为中心的边长为2的正方形（图12），函数图象上存在“近距离点”就是函数图象与这个小正方形有交点. 问题（3）是对新定义问题的拓展，旨在给学生创造深入思考的机会，激发学生的高阶思维，让学生的思维结构得到一次升华.

“结构”的含义是组成整体的各部分的搭配及安排，结构化教学相对碎片化教学而提出，强力指向知识的连续性及整体性. 以新课标为指导，结构化教学视角下初中数学的复习教学是站在了系统的高度，以知识、方法、能力、思维四个方面的结构为抓手，以问题化的教学来驱动学生的自主思考，聚焦核心问题，辐射知识整体，不断发展问题链，在解决问题的过程中发现问题，在发现问题的过程中解决问题，使复习课发挥更大的价值. 复习的过程就是不断使得自身知识系统完善的过程，聚焦结构化教学，打造高效复习，让学生在复习课中温基础、促能力、提素养.