理解数学、理解学生、理解教学:变式教学的三大关键

[摘  要] 好的教学是面向全体学生的，注重启发引导和因材施教. 变式教学是一种常见的教学方法，其在教学中的地位是很高的，价值是很大的. 教学中为了避免为变式而变式的情况，教师应认真研究数学、认真研究学生、认真研究教学，依据教学重难点、易错点，合理设计变式，以此让学生加深对知识的理解，提高学习效率.

[关键词] 因材施教;变式教学;教学有效性

随着教学改革的不断深入，教学方法的创新与实践已成为提升教育质量的关键. 变式教学可以通过问题的多样性、灵活性和挑战性，激发学生的数学学习兴趣，帮助学生理解数学知识、数学规律，提升数学素养，发展数学思维[1]. 在初中数学教学中，教师应提高对变式教学的重视程度. 不过值得注意的是，若教学中教师对“度”把握不准确，不能因材施教，只是单纯地为了变而变，这样不仅难以发挥变式教学的积极作用，而且会增加学生的学业负担，使学生产生厌烦情绪，影响课堂教学效果，事倍而功半. 那么，教学中如何把握“度”呢？教师要理解数学、理解学生、理解教学，通过适度的问题提高学生的参与度，激发学生的探究欲[2]. 笔者以“三角形三边关系”教学为例，谈谈如何在“三个理解”的基础上设计变式，发展学生的“四基”与“四能”，提升学生的“三会”素养.

教学分析

1. 教材内容分析

在学习本课内容前，学生已经学习了一些三角形的相关知识，比如知晓三角形有三条边、三个角，具有稳定性. 在此基础上，学生进一步研究三角形的概念、分类、性质和应用，从而为研究其他多边形奠基.

2. 学情分析

在小学阶段，学生虽然了解了一些三角形的知识，但大多是感性认识，缺乏一定的系统性. 在本课教学中，教师既要从学生已有知识经验出发，调动学生参与的积极性，又要引导学生操作、猜想、验证，从而通过理性分析让学生全面、系统地理解知识，完善个体知识体系.

3. 教法分析

学生具有一定的研究三角形三边关系的基础，为此在本课教学中，教师可以放手让学生自己探究，充分暴露学生的思维过程，促进知识的深化和能力的提升. 结合已有教学经验发现，学生在学习本章节知识时容易出现以下问题：①对三角形三边关系理解不够透彻，解题时容易出现以偏概全的现象;②缺乏分类讨论意识，使得因考虑不周而引发错误. 基于以上常见问题，教师在课堂教学中可以尝试通过变式教学加以强化，让学生认清问题的本质，掌握解题的方法，培养思维的严谨性和深刻性.

4. 学法分析

有效的数学学习是学生自主分析、自主建构的过程，而不是单纯地依赖于教师的讲授. 在本课教学中，教师应以学生已有知识和已有经验为基础，着重引导学生通过自主探究发现三角形的三边关系，并灵活应用三角形三边关系解决数学问题，提高学生的自主学习能力.

教学过程

1. 复习巩固，激发兴趣

问题1：回忆三角形的定义、表示方法及三角形的三个要素.

问题2：三角形如何分类？等腰三角形和等边三角形具有怎样的关系？

回顾旧知，深化对已有知识的理解，从而为新知的探究创造条件. 在按边分类三角形时，学生常常将等腰三角形和等边三角形分成两类，基于这一现象，教师通过问题诱发学生思考，从而让学生明晰等边三角形属于等腰三角形的特例.

2. 自主探究，获取知识

游戏活动：请各小组从5根长度分别为10 cm、12 cm、14 cm、22 cm、24 cm的小棒中任意挑选3根，将其围成三角形.

根据实验结果，请回答如下问题：

（1）是不是任意长度的3根小棒都能围成三角形？

（2）用3根小棒围成三角形，它们应该满足怎样的条件？

教师让学生动手操作，汇报操作结果，并让各小组合作交流，总结概括，从而归纳出三角形三边关系的定理及推论.

3. 变式训练，深化理解

在数学课堂教学中，适当练习是必不可少的，它是巩固与强化基础知识和基本技能，积累基本活动经验，感悟基本数学思想方法的重要途径. 此环节教师可以结合已有教学经验和学生课堂反馈设计变式，从而通过适度的变式应用帮助学生深刻理解知识，提升分析和解决问题的能力.

例1  已知△ABC是等腰三角形，其中AB=AC=5，BC=6，求△ABC的周长.

该题起点较低，学生口算给出答案：△ABC的周长为16.

这样通过低起点的问题让所有学生都能参与其中，提高课堂参与度. 接下来，教师让学生以例1为原型，将题目进行改编. 学生积极思考，给出如下变式.

变式1：已知△ABC是等腰三角形，其中腰长为5，周长为16，求底边的长.

变式1为例1的简单变形，结合已有知识经验易求得△ABC的底边长为6.

变式2：已知△ABC是等腰三角形，其中一条边长为5，另一条边长为6，求△ABC的周长.

该题看似简单，却比例1复杂很多，很多学生不加思索地给出答案：周长为16. 可见，这部分学生考虑问题不够严谨，没有分类讨论. 面对学生的错误，教师没有直接纠正，而是提出这样一个问题：边长为5的边一定是等腰三角形的腰吗？问题给出后，学生恍然大悟，给出如下解题结果：当腰为5时，△ABC的周长为16;当腰为6时，△ABC的周长为17.

变式3：已知△ABC为等腰三角形，其中一条边长为5，另一条边长为12，求△ABC的周长.

在变式2的基础上，教师给出变式3. 问题给出后，受思维定式影响，学生给出如下结果：当腰为5时，△ABC的周长为22;当腰为12时，△ABC的周长为29. 可见，很多学生掉入了教师预设的陷阱. 教师预留时间让学生思考，学生通过再思考、再交流，发现了问题的症结：根据三角形三边关系，腰长为5、底边长为12的三角形并不存在. 本题只存在一种情况，即腰长为12，所以△ABC的周长为29.

通过以上变式探究，学生对三角形三边关系已经有了深刻的认识. 为了进一步发散学生的数学思维，提高学生的数学能力，教师设计了如下变式.

变式4：已知△ABC是等腰三角形，其中AB=AC=x，BC=y，周长为10，求x和y的取值范围.

该题难度有所提升，教师让学生以小组为单位共同完成，根据已知条件及三角形三边关系可得：2x+y=10，所以y=10-2x. 因为x+x>y，所以2x>10-2x，解得x>. 又x-y<x，所以y>0，即10-2x>0，解得x<5. 故有<x<5，所以10-2×5<10-2x<10-2×，推得0<10-2x<5，即0<y<5. 所以x和y的取值范围分别为<x<5和0<y<5. 通过解决以上问题，学生体会了三角形三边关系在解题中的应用，激活了数学思维，并让思维从低阶走向高阶.

为了进一步彰显变式教学的作用，引导学生将新知与其他知识建立联系，教师在原有基础上进一步变式.

变式5：对于变式4，请尝试写出x，y的函数关系式，并在直角坐标系中画出函数图象.

教学中，教师引导学生从函数视角思考问题. 学生根据三角形周长公式得到x，y的函数关系式为y=10-2x. 而谈起函数，自然涉及函数的定义域，于是结合变式4的探究结果完善函数关系式，即y=10-2x

<x<5. 在此基础上，教师让学生画出函数图象，以此培养学生的数形结合思想.

教师结合已有教学经验，通过设计变式题目预设陷阱，激发认知冲突，让学生的思维随着变式的发展而逐渐深刻，也让学生充分体验成功的喜悦，增强解题信心.

教学思考

在初中数学教学中，若一直重复着“讲授+练习”的传统教学模式，势必影响学生参与课堂的积极性，进而影响学生思维能力和学习能力的提升. 对此，教师应更新自己的教育理念，积极学习数学新课标的教育理念，所设计的课堂教学内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律. 教师不仅要关注最终的数学结果，还要关心学生体验数学结果形成与数学思想方法渗透的过程. 教师的教学设计只有符合顺应时代要求的教学理念，实施的教学才会是有效的. 在实践教学中，教师应以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，通过有效的措施引导学生主动探索、合作交流，以此让学生在理解数学知识的同时获得数学能力，提升数学素养.

变式教学是一种常见的教学方法，将其应用到课堂教学中可以引导学生从不同视角分析和解决问题，从而让学生对知识形成全面的认识，帮助学生更加深刻地理解知识的本质与内涵，提高数学应用能力. 在本课教学中，教师通过在变式题目中设计“陷阱”，诱发错误，帮助学生形成深刻的认识，让学生体会探究的乐趣，发展数学核心素养.

总之，在课堂教学中，教师应充分地理解数学、理解学生、理解教学，只有这样才能真正创设符合学生认知水平，能够激发学生学习兴趣的数学活动，提高学生的可持续学习能力与数学能力.

参考文献：

[1]周发勇. 初中数学变式教学策略探讨[J]. 数理天地（初中版），2024（3）：83-85.

[2]侯卫东. 基于“三个理解”的教学活动实践与思考——以“完全平方公式”为例[J].安徽教育科研，2023（2）：20-23.