尊重学生差异 彰显教育智慧

[摘  要] 学生的智力水平、学习特点、兴趣爱好、能力等，受遗传、家庭、社会、教育等综合因素的影响会呈现出显著差异，一线教师应充分尊重学生的个性特征，包容学生的差异性，在尊重与理解的基础上实施个性化教学. 研究者以一道题的解题教学为例，分别从学生在“信息提取、解题思路、课堂生成、编拟变式、学习感悟”五个方面的差异着手，展开教学实践与思考.

[关键词] 差异;解题;感悟

义务教育阶段的数学教学对培养公民的基本素质具有普及型、基础性与发展性特征. 从数学内容本身来看，数学具有多元并存、内容兼容等特征. 教师应面向全体学生，应用适应学生个性化发展的教学手段，以提升课堂教学质量，彰显教育智慧，发展学生数学核心素养. 为此，本文以一道题的解题教学为例，具体谈谈如何尊重学生差异，凸显教育智慧.

教学简录

原题 如图1，已知△ABC中的∠C为直角，AB=10，AC=8，点P位于线段AC上，且AP的值为2，如果圆O的圆心O位于线段BP上，AB，AC分别和圆O相切于点E、D，那么☉O的半径是多少？

（一）尊重信息提取的差异性

师：通过审题，你们从题设条件中可以获取哪些信息或想法？

生1：我获得的信息有Rt△ABC以及Rt△PBC的三边，还有AB，AC分别和圆O相切.

生2：切线和过切点的半径之间为垂直的关系，借助这个关系可以构造直角三角形，再通过勾股定理实施解题.

生3：根据题目所给条件可知圆心与切线的距离恰好为圆的半径，那么用面积法列方程就能获得问题的解.

生4：根据AB，AC分别和圆O相切的条件，可知AO平分∠CAB，通过角平分线所提供的信息可尝试解题.

评析 面对同一个问题，不同学生提取到的信息有较大差异. 其实，我们所接触的数学问题一般由题设条件与结论两部分构成，这两部分在知识、语言结构以及思维逻辑上都有一定的关联. 其中，有些信息隐含在条件中，而这些隐含信息又是思维的方向标. 基于学生认知差异的存在，每个学生对问题的理解与认识有较大差别，作为教师应充分尊重学生的这种差别，鼓励学生从不同的角度与层次来提取解题信息，并以语言表达的方式呈现，让学生汲取同伴的优势思维，将已经掌握的概念、方法与解题策略有序连结，为形成关于问题的内在表征模型奠定基础.

（二）尊重解法探索的差异性

师：从刚才的审题来看，大家都很仔细，也很全面，对于切线的性质掌握得不错. 现在请借助切线的性质分析怎样利用好“AO平分∠CAB”这一条件.

生5：如图2，根据“AB，AC分别和圆O相切于点E、D”的条件，分别连接DO，EO，有DO⊥AC，EO⊥AB. 若DO=EO=r（☉O的半径），AD=AE=r+2，EB=8-r，OB=6-r，于是在Rt△EOB中，根据勾股定理有（8-r）2+r2=（6-r）2，解得r=1.

生6：如图3，根据“AB，AC分别和圆O相切于点E，D”的条件，可知圆心O和直线AB，AC的距离均与圆的半径r相等，也就是△OAB中AB边上的高等于△OAP中AP边上的高（均为r），根据面积法思考，连接AO，有S=S+S+S，即×6×8=×r×10+×r×2+×6×6，解得r=1.

生7：根据“AO为∠CAB的角平分线”这个条件，可知==，=，因此==5. 因BP=6，所以OP=，那么r的值为1.

生8：延长AO与BC边相交于点F，综上可知==，故FC=. 根据△DOA∽△CFA，有=，经计算可得OD=1.

评析 从学生探索问题的过程来看，每个学生的思维发散点与信息提取点均有所区别，因而形成的解题思路也各不一样. 为了尊重学生思维的差异性，教师构建了和谐、民主的氛围，在不改变学生原有思维的前提下鼓励学生大胆思考，促使学生从不同的角度挖掘出各种解题方法. 这种教学方式，从真正意义上拓展与灵活了学生的思维，达到了发展学生求异思维的目的.

一花独放不是春. 尊重学生的个体差异，鼓励学生集思广益，拓展解题思路，便是“百花齐放”之美景. 以上教学过程，不仅巧妙地规避了教师“唱独角戏”的尴尬局面，还进一步调动了学生的学习积极性，使得课堂生机盎然.

（三）理解课堂生成的差异性

关于上一个问题的探索，教师正准备结束时，一位学生提出这样一个想法：如果能发现∠DAO的对边DO以及邻边AD之间具有怎样的联系，即∠BAC的正切值，问题也能迎刃而解.

师：这个想法有点意思，将已知的切线问题转化成大家所熟悉的角平分线问题来探索，这是转化思想的应用. 关于这个思路，老师也没有想到，现在我们一起从这个角度来探讨.

生9：如图4，三角形的内心为角平分线的交点，作内切圆☉N，该圆与△ABC的AC边形成的切点为M，则☉N的半径r==2，tan∠PAO=tan∠BAC=tan∠MAN==，因此=，计算得r=1.

生10：如图5，延长CA至点F，使得FA=AB，连接BF，∠F=∠BAC，tan∠F==，因此=，解得r=1.

生11：如图6，关于∠CAB，从本质上分析就是“以∠CAB为顶点的等腰三角形的底角是90°-∠CAB”，据此，联想到延长AC至点F，让FA=BA，∠AFB=90°-∠CAB，所以∠FBC=∠CBA，tan∠CBF== ，由此获得r=1的结论.

评析 课堂预设与生成是相辅相成的关系. 初中阶段学生已经具备一定的抽象逻辑思维，他们常能在课堂中提出一些意料之外的问题，这些问题往往是促使课堂有效生成的催化剂. 教师在精心预设阶段所设置的问题本身就蕴含了丰富的策略性与程序性知识，这些精心预设的问题常能扩大学生的心理空间，沟通学生的认知结构，实现新旧知识的关联.

由于学生存在显著的知识结构差异与思维方式差异，导致思维角度存在很大差别. 此处，这位学生所提出的“探寻∠CAB”的正切值，符合学生认知发展规律与化归思想提炼的流程. 此问的提出，一方面反映了学生真实的想法，另一方面彰显了课堂的机动性、灵活性与生成性. 教师顺应学生的思维，组织学生从这个角度对问题进行探索，成功地将课堂推向了深刻的境界，这是促使教育高质量发展的表现.

实践告诉我们，尊重学生的差异性，可让课堂在各种思维的碰撞下迸发出绚丽的火花，使得学生形成新的更有价值的见解. 以上教学过程中，不论是从内切圆的作图，还是从直角三角形与等腰三角形的构造来看，都体现了不同学生的不同思路，这些殊途归一的解题方法不仅体现了数学逻辑整合的统一性，还凸显了学生思维的开阔性与课堂的智慧性.

（四）发挥问题变式的差异性

师：大家对本题形成了丰富多彩的分析过程与解题方法，对解决这一类问题也产生了自己独有的理解. 对于数学学科而言，一个好问题往往孕育着新问题，我们作为当下的研究者，有没有办法通过对问题条件、结论或图形的变化，提出一些新的具有探索价值的问题呢？

生12：可以在原问中添加“☉O的半径”的条件，在其他条件均不变的情况下，求PA的长度.

生13：可以将原问中的PA=2更换为PA=3，在其他条件不变的情况下，求☉O的半径r的值.

生14：将原问中“点P位于线段AC上”的条件，更换成“点P位于线段AC的延长线上”，在其他条件不变的情况下，求☉O的半径r的值.

生15：可把原问中“点P位于线段AC上”的条件，更换成“点P位于直线AC上”，在其他条件不发生改变的情况下，求☉O的半径r的值.

生16：把原问中“点P位于线段AC上，AP=2”的条件，更换成“点P位于直线AC上，PC=6”，在其他条件不发生改变的情况下，求☉O的半径r的值.

评析 思维的发展需经历一个由浅入深的过程，缺乏深刻思考则难以让学生成为一个真正有思想的人. 本节课若解决完原题就结束，学生的思维因为没有经历更多维度的锤炼，则难以在体验与感悟中变得更加深刻. 教师鼓励学生自主编拟变式的过程，不仅充分尊重了学生的个体差异性，让学生拥有自由发挥的空间与机会，还从很大程度上激发了学生思维的创造性，让学生在舒适、和谐、民主的环境下形成创新意识.

纵观各个学生所编拟的变式问题，每个问题都体现了知识的迁移与变化，不论是由表及里还是由此及彼，抑或是由点到面，都凸显了学生思维的深刻性与发散性. 实践发现，这种“以生为本”的思维训练法，可以成功克服思维定式带来的负面影响，对进一步促进学生从多维度、多层次发展问题意识具有重要意义，同时也是提升学生数学自我监控能力的重要方法.

（五）包容学习感悟的差异性

师：大家编拟的变式太出色了，我观察了一下，你们编拟的变式存在一题多解与一题多变，大家对于“解”和“变”在知识与方法上存在怎样的体会与感悟？

生17：当我们在读题、审题时，不能仅仅将目光放在问题的表面，应该从多角度、全方位地去审视. 就拿本题来说，该题从切线信息的提取与应用到∠CAB的角平分线以及∠CAB的正切值等，对于这些信息的处理与制作以及模型的建构与探索等，都体现了提取与整合信息对解题的重要性.

生18：我认为转化与化归思想是解决问题的核心思想，从本质上而言，解题实则为对问题进行观察、分析、类比与联想的过程，是将数学对象逐步转化成学生所熟悉的简单问题的过程.

生19：紧扣问题本质，发挥联想与猜想是解题的灵魂. 本题不论是从三角形内切圆的制作，还是外接三角形的构造，都遵循了基本图形为基底的原则，所构成的每一种图形都是我们所熟悉的模型，即将未知转化为已知是获得解题思路的重要方法. 直角三角形的构造，将我们原有拘泥于图形内部的思维拓展到图形的外部，充分体现了思维的发散性对解题的影响.

评析 学生是课堂的主人. 课堂感悟是学生将课堂教学内容、解题方法、数学思想内化为自身认知结构的过程. 从该交流片段不难发现，学生在本节课的收获颇丰. 教师作为课堂的引导者，为学生营造了一个良好的学习环境，让学生产生积极参与的欲望，促使学生从真正意义上成为课堂的主人，鼓励学生张扬个性、释放灵性.

教学思考

在以发展数学核心素养为目标的当下，走进每个学生的内心世界是践行新课标“生本”理念的基础. 学生的差异是客观存在的事实，作为教师，该从哪些角度，用什么方法包容学生的差异，组织好教学，彰显教育的智慧呢？客观对待学生的差异性、因材施教、创造性地设计教学，可进一步激发每个学生的潜能，让每个学生都能在学习中有所发展.

本节课从五个环节分别谈了学生的差异性表现以及教学措施. 从课堂预设与生成的角度来看，将学生放在课堂的首位，鼓励学生大胆猜想与表达，不仅能有效促进课堂的智慧生成，还能深化学生的思维，提高教学质量，发展核心素养.

总之，“整齐划一”的课堂模式已经无法适应时代发展的需求. 尊重个体差异、有序组织教学，促使学生和谐发展的教学活动是让每个学生都能在学习中获得不同程度发展的途径. 作为一线教师，应在尊重个体差异的基础上，应用好个性化的教学策略与技术，让每个学生都能找到适合自己发展的领域.