关于中考几何面积问题的考查探究

[摘  要] 中考对几何面积的考查方式较为多样，注重考查知识关联、面积模型、转化分析技巧，涉及了反比例函数、二次函数、三角函数、动态几何等内容. 研究者立足2023年江苏省各市的中考面积问题，深入探索剖析，总结知识与模型并提出相应的教学建议.

[关键词] 面积;几何;综合;模型;函数

面积是几何图形的重要属性，是几何探究的重要内容，中考实际考查时形式多样，常从综合角度命制考题，考查面积公式、模型构建、知识融合处理等内容. 问题常涉及三角形、矩形、曲线以及动态几何等内容. 下面结合考题具体探究，总结知识内容.

实例探究

1. 动态融合，面积比值

考题1：（2023年扬州市中考卷第18题）如图1所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在边AD，BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3 ∶ 5，那么线段FC的长为________.

命题分析：本题目为以矩形折叠为背景构建的面积比值问题，设定了两四边形的面积比值，求解线段长，属于动点几何面积问题. 问题有两大特点：一是涉及了折叠，需要理解折叠过程，充分利用折叠特性;二是设定了面积比值条件，需要分别构建面积模型，进而转化为线段条件.

过程解析：如图2所示，连接BB′，过点F作FH⊥AD于点H.

因为正方形ABCD的边长为1，四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3 ∶ 5，所以S=×1=. 设CF=x，则DH=x，BF=1-x，从而可得S=（AE+BF）×AB=，即（AE+1-x）×1=，可解得AE=x-，于是可得DE=1-AE=-x，EH=ED-HD=-x-x=-2x.

根据其中的折叠特性可知BB′⊥EF，则∠1+∠2=∠BGF=90°. 又知∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3. 结合FH=BC=1，∠EHF=∠C，从而可证△EHF≌△B′CB（ASA），于是可得EH=B′C=-2x. 在Rt△B′FC中，由勾股定理可得B′F 2=B′C 2+CF 2，代入线段长可得（1-x）2=x2+

-2x2，解得x=，即线段FC的长为.

解后评析：上述为动态几何面积问题，求解线段时经过了两个阶段，阶段一，构建面积模型，设定参数转化面积比值条件;阶段二，常规几何分析，把握折叠特性，提取三角形特殊关系，利用几何性质定理构建方程求解线段长. 整个解析过程涉及了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的性质与判定等.

2. 双曲线融合，几何意义转化

考题2：（2023年连云港市中考卷第15题）如图3，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=（x<0）的图象上，顶点B，C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D. 若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC=，则k=______.

命题分析：本题目是以反比例函数为背景命题的面积问题，其中涉及了矩形面积、三角形函数等知识，求解反比例函数的特征参数k的值. 问题有两大特点，一是设定矩形面积值，显然可结合反比例函数k的几何意义模型;二是设定三角函数值，主要考查的是三角函数的模型构建.

过程解析：已知cos∠OAC=，则在Rt△AOC中，有cos∠OAC===，可设AD=2a，则AO=3a，所以AC=a.

因为矩形OABC的面积是6，AC是对角线，所以△AOC的面积为3，即AO×OC=3，所以OC==. 在Rt△AOC中，由勾股定理可得AC 2=AO2+OC 2，代入线段长有

a2=（3a）2+

2，即a2=，可解得a2=. 在Rt△AOC中，由勾股定理可求得DO==a. 因为对角线AC∥x轴，则AD⊥OD，结合反比例函数k的几何意义模型可得

k

=2S△AOD=2a×a=2a2 =2×=. 由于反比例函数的图象位于坐标系的第二象限，故k=-.

解后评析：上述反比例函数k的求解中涉及了面积模型的构建，具体构建时要充分利用对应的几何意义，利用k的几何意义进行面积转化. k的几何意义模型较多，与图形定点的位置有着紧密的关联，探究时需要重点关注.

3. 抛物线融合，综合构建

考题3：（2023年苏州市中考卷第27题）如图4，二次函数y=x2-6x+8的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴. 点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与☉M相切，切点为T.

（1）求点A，B的坐标;

（2）若以☉M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且☉M不经过点（3，2），求PM长的取值范围.

命题分析：本题目为抛物线综合题，融合了抛物线、圆、三角形等，涉及了相交、相切、垂直等特殊关系. 第（2）问为核心之问，设定正方形与三角形的面积相等，属于典型的几何面积问题，解析突破则需要把握图形特征，分别构建面积模型.

过程解析：（1）令y=0，则有x2-6x+8=0，解得x=2或x=4，所以点A（2，0），B（4，0）.

（2）抛物线过点A（2，0），B（4，0），所以抛物线的对称轴为直线x=3，可设P（m，m2-6m+8）. 因为PM⊥l，则点M的坐标可表示为（3，m2-6m+8）.

如图5所示，连接MT，可推得MT⊥PT，则PT 2=PM 2-MT 2=（m-3）2-r 2，所以以切线PT为边长的正方形的面积可表示为（m-3）2-r 2.

过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则△PAB的面积可表示为S△PAB=AB·PH=m2-6m+8，根据等面积关系可得（m-3）2-r2=m2-6m+8. 因为r>0，所以r=1. 假设☉M过点N（3，2），则有以下两种情形：

情形一：如图6-（a）所示，当点M在点N的上方时，即M（3，3），所以m2-6m+8=3，可解得m=5或m=1. 因为m>4，所以m=5. 此时，PM=m-3=2.

情形二：如图6-（b）所示，当点M在点N的下方时，即M（3，1），所以 m2-6m+8=1，可解得m=3±. 因为m>4，所以m=3+. 此时，PM=m-3=.

综上可知，当☉M不经过点（3，2）时，1<PM<或<PM<2或PM>2.

解后评析：上述为抛物线综合题，核心之问涉及了等面积条件，故探究时分别构建面积模型，将面积条件转化为参数值条件. 该问题中三角形面积模型的构建方式较为特殊，高和底具有水平、竖直的特点，可直接构建. 对于具有斜线特点的三角形面积模型，可以借助铅锤模型构建.

透视考点，模型探索

几何面积是中考的重要考点，实际考查时有多种方式，涉及了常规几何折叠、与反比例函数融合、与抛物线融合. 其中，后两种融合方式对学生的解析能力有着较高的要求，学生需要掌握对应背景问题中面积模型构建与转化的策略. 下面具体总结探索.

1. 借助几何意义建模

对于反比例函数中与特征参数k相关的面积问题，模型构建时要深刻理解其几何意义，掌握利用几何意义进行面积转化的策略.

（1）几何意义释义

常规情况中，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k，如图7-（a）;而所围成三角形的面积为，如图7-（b）.

（2）特殊转化探索

如图8所示，直线AB与反比例函数y=（k≠0）交于A，B两点，与x轴、y轴的交点分别为C，D，对于该模型中的面积关系推导可以借用几何意义，如下：

过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F，则根据k的几何意义可得S=S，而S+S=S+S，所以有S=S.

2. 借助铅垂模型建模

对于抛物线中一般三角形的面积问题，可以借助铅垂模型来构建，进而将面积问题转化为与点坐标相关的一般代数问题.

对于图9所示的平面直角坐标系中的△ABC，其面积可以表示为S△ABC=，其中A，B两点之间的水平距离称为“水平宽”，过点C作x轴的垂线与AB交于点D，线段CD即为AB边的“铅垂高”.

若设定点A（x，y），B（x，y），C（x，y），D（x，y），将点坐标代入其中，可进一步将△ABC的面积表示为=，具体求解时可结合线段条件灵活变化该模型公式.

教学反思，备考建议

几何面积作为中考重要考点，其考查方式较为多样，综合性强，教学探究中需要对其考查方式进行梳理，总结解题模型，生成相应的解题策略. 下面结合教学实践提出几点备考建议.

1. 总结考查方式，探索命题特点

几何面积考查方式较多，常见一般几何面积、与曲线相结合、融合动态几何、涉及三角函数等. 具体探究中建议立足近几年的中考真题开展考查方式的探索，可分为两个阶段：阶段一，对问题类型进行分类，包括常规面积求解、面积比值转化、面积最值分析等;阶段二，探索命题构建特点，分析探讨所涉及的知识内容，剖析问题本质，深度挖掘问题的考查重点，包括知识、方法、思路构建等. 教师在教学引导中要精选真题，全面覆盖考点，指导学生深刻理解问题的命制思路.

2. 总结破解方法，探索模型构建

面积问题的破解方式不一，针对不同类型的问题需要选用对应的方法策略，构建合理的面积问题模型. 常规问题可直接借助面积公式求解，但对于涉及双曲线、抛物线的面积问题，则借助模型构建解题更为简捷. 以上述总结的知识内容为例，反比例函数面积问题中建议利用k的几何意义，直接将面积问题转化为与k相关的代数问题，抛物线面积问题中建议借助铅垂模型，将问题转化为推导点坐标或相关线段长. 教学时教师要注意模型构建过程的讲解，指导学生掌握构建技巧，使学生理解模型内容和应用策略.

3. 思想方法教学，提升综合素养

几何面积问题的破解过程中会涉及众多的思想方法，最为常见的有数形结合、模型构建、化归转化、分类讨论等. 教学指导中建议立足考题，引导学生体验解题过程，感悟其中的思想方法，深刻理解其精髓内涵. 在此基础上进行思想方法使用策略的指导，包括问题解析、模型构建、条件转化、问题讨论等. 教师要注意培养学生的解析思维，关注解题探索中学生的思维变化，适时引导，逐步培养学生的数学思维，提升综合能力.