关于线段最值模型的分类解读与示例探究
作者： 郑华
[摘 要] 线段最值模型问题的类型众多，探究解析需要重点解读模型，根据类型来确定思路构建方法、破解最值原理. 研究者通过开展问题综述，确定探究环节，再对三大模型进行分类探究.
[关键词] 将军饮马;模型;对称转化
探究综述
将军饮马模型是初中几何的重点模型，该模型由轴对称性质衍生，结合最值原理来构建，以其为背景构建的最值问题在中考或模考中十分常见. 具体考查时涉及众多类型，教学探究关注解读模型，总结类型，归纳策略. 探究时可分为三个环节：环节一，模型解读，解读模型特征，可结合直观的图象进行;环节二，探索最值原理，确定破题策略;环节三，实例探究应用，总结归纳解法.
教学探究中要注意模型细节，深度挖掘特征;示例探究时要注意思路引导，分析问题，构建过程，引导学生思考评析.
模型探究一
两条线段和最值是将军饮马的基础模型，该模型涉及两点、一线，是关于两线段之和的最值问题. 教学探究中，可绘制图象，结合图象探究分析.
1. 模型解读
点A和B是两个定点，求解在一条直线m上找一点P，使得PA+PB的值最小. 有两种情形：情形一，点A和B在直线m的两侧，如图1-（a）;情形二，点A和B在直线m的同侧，如图2-（a）.
上述为两条线段和最值的两种情形，其构建思路存在差异. 对于情形1，可利用“两点之间，线段最短”的最值原理，直接连接点A和B，线段AB与直线m的交点即为点P，如图1-（b）. 而对于情形2，由于两点位于直线的两侧，需要采用“对称转化+共线定理”的策略，即任意选定一点，作关于直线m的对称点，再连接对称点与另一点，图2-（b）选定的点为A.
2. 示例探究
例1 如图3-（a）所示，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC，点C在直线MN上，∠BCN=30°. 点P为直线MN上的一个动点，现连接AP和BP，则当AP+BP取得最小值时，∠CBP的度数为______.
思路分析：本题目属于两线段和的最值问题，点A和B均位于直线MN的同侧，属于上述的情形2，可采用“对称转化+共线定理”的策略，确定点P的位置以及具体的模型，再利用几何特性进行角度分析.
过程详解：如图3-（b）所示，作点B关于直线MN的对称点，设为点D，再连接AD，其与MN的交点即为线段和取得最小值时点P的位置，连接BP和CD.
由于点B和点D关于直线MN对称，且∠BCN=30°，由对称特性可推知BC=CD，∠BCD=60°，所以△BCD为等边三角形. 又知∠ACB=90°，AC=BC，所以AC=CD，∠ACD=∠ACB+∠BCD=150°，从而可得∠CDP=15°. 由等腰三角形的轴对称特性可知∠CBP=∠CDP=15°，即∠CBP的度数为15°.
策略总结：对于两线段和最值问题，探究突破的基本原理为“两点之间，线段最短”，问题突破时可分三步进行：
第一步，确定问题中的动点、定点和关联直线，从而确定最值情形;
第二步，根据问题情形来确定解题策略，若两定点在关联直线的异侧，则直接连线确定动点位置;若两定点在关联直线的同侧，则采用“对称转化+共线定理”的策略;
第三步，确定动点问题及具体模型后，再结合对称特性、几何特性、问题条件进行线段或角度的解析.
模型探究二
两条线段差的最值在初中数学几何中也较为常见，该类问题模型同样涉及了两定点、一动点和一条固定直线. 难点是处理其中的线段差关系，解析探究可采用数形结合的方法策略，构建具体模型，利用线段之间的关系来进行差减.
1. 模型解读
两线段差的最值问题，即在一条直线m上存在动点P，常见求解PA与PB差的最大值. 同样存在两种情形：情形一，点A和B在直线m的同侧，如图4-（a）;情形二，点A和B在直线m的两侧，如图5-（a）.
图4为定点A和B位于直线m同一侧的情形，求解PA-PB的最大值，根据三角形的三边关系进行解析. 具体过程：延长AB，与直线m交于点P，如图4-（b）所示，因为“三角形两边之差小于第三边”，即P′A-P′B<AB，所以此时PA-PB=AB取得最大值，此时的点P即为所求点.
图5则为定点A和B位于直线m异侧的情形，该情形求解线段差最大值时同样用的是三角形的三边关系，不同的是需要借助对称转化. 具体过程：过点B作关于直线m的对称点B′，再连接AB′，其与直线m交于点P，此时PB=PB′，PA-PB取得最大值，且最大值为AB′.
2. 示例探究
例2 如图6-（a）所示，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12 cm，△BMC的周长是20 cm，若点P在直线MN上，则PA-PB的最大值为______.
思路分析：本题目核心条件是三角形的周长，问题求解需要构建周长模型，将其转化为线段和条件，后续求解最值时利用共线定理，结合三角形三边关系来求解.
过程详解：由于MN垂直平分AC，则MA=MC. 构建△BMC的周长模型，即C=BM+MC+BC=20 cm，则BM+MA+BC=20 cm，从而可得BM+MA=AB=12 cm，BC=8 cm. 如图6-（b），在MN上取一点P，连接PA，PB，PC，则PA-PB=PC-PB. 在△PBC中，PC-PB<BC，当P运动到P′位置时，即P，B，C三点共线时，PC-PB有最大值，此时PC-PB=BC=8 cm，即PA-PB的最大值是8 cm.
策略总结：对于线段差最值问题，探究突破的核心原理有两个，一是三角形三边关系;二是共线定理. 问题突破可分三步进行：
第一步，解析问题条件，确定问题类型;
第二步，作图构建三角形，利用三角形的三边关系来构建模型;
第三步，分析三点共线，确定最值情形，结合条件求解最值.
“三角形三边关系+共线定理”是破解线段差最值的常用策略，而该类问题的类型较为多样，常涉及三角形周长、翻折对称、点运动等，问题求解时需要结合条件灵活构建思路. 两大定理使用时可综合运用，构建三角形，分析三边差值关系，再进行三点共线分析.
模型探究三
三线段最值问题是几何中较为特殊的问题类型，涉及了三条线段，有双动点. 问题类型有三种，探究解析同样需要先确定三线段最值问题的类型，再构建思路破解.
1. 模型解读
三线段的最值，即点P和Q分别在直线m和n上，使得PA+PQ+QB取得最小值，分析的关键是确定两动点的位置. 该问题有三种情形：一是两定点均在直线的外侧，如图7-（a）;二是一个定点在内侧，另一个定点在外侧，如图7-（c）;三是两个定点均在内侧，如图8-（a）.
对于上述三种三线段最值情形，可将其归为双动点问题，破解的核心策略为“对称转化+共线定理”，即求解时将位于同侧的定点异侧化，再进行共线定动点. 对于情形一，两定点均在直线外侧，则可以直接连接两点，该线段与两直线的交点即为动点的位置;对于情形二，其中一个定点在直线的内侧，则需要进行一次对称转化，再共线分析;对于情形三，两个定点均在两直线的内侧，此时则需要进行两次对称转化.
例3 如图9-（a），点A在y轴上，G，B两点在x轴上，且G（-3，0），B（-2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH=60°，P，Q分别是AG，AH上的动点，则BP+PQ+CQ的最小值是______.
思路分析：问题中的点B和C均位于三角形的内部，于是需要进行两次对称转化，后续再利用共线定理来确定动点位置.
过程详解：分别作点B和C关于AG和AH的对称点B′和C′，连接BP，CQ，B′P，C′Q，PQ，如图9-（b）所示.
由于HC与GB关于y轴对称，可得GO=HO，BO=CO. 又知x轴⊥y轴，则AG=AH，B′、C′关于y轴对称，所以当B′，C′，P，Q在同一条直线上时，BP+PQ+CQ=B′P+PQ+C′Q=B′C′最小，此时B′C′∥x轴.
因为∠GAH=60°，则△AGH为等边三角形，∠AGO=60°. 因为B′C′∥x轴，B，B′关于AG对称，所以∠BPG=∠B′PG=∠PGB=60°，B′P=BP. 所以△BPG为等边三角形，过点P作PM⊥GO交x轴于M.
因为G（-3，0），B（-2，0），所以BG=1，BO=2，从而可推得PB′=PB=BG=1，BM=BG=，则B′P+PN=BP+MB+BO=1++2=，同理可得C′Q+QN=，即B′C′=7，则BP+PQ+CQ的最小值是7.
策略总结：对于涉及三线段和的最值问题，解析突破的关键是构建两点共线的条件，即对称转化. 思路构建同样可分为三步：
第一步，分析问题条件，根据动点、定点的位置来确定问题情形;
第二步，进行对称转化，将定点转化到两直线的外侧，利用共线定理确定动点位置、最值情形;
第三步，结合问题条件求解线段长，求得线段和的最值.
三线段和的最值问题又称为双动点问题，该类问题的核心策略为“对称转化，共线定理确定最值情形”. 实际考查时有多种方式，也可作为压轴题出现，常见于以抛物线为背景探究其中的三线段和的最值. 探究解析时可利用数形结合的方法，充分结合抛物线的性质，分析其中的直线与曲线的位置关系，联系解析式来求解点坐标.
结束语
上述对几何中的最值模型进行了分类解读，探究教学中要引导学生解读模型，关注问题类型，总结破题的方法策略. 同时注意解题引导，让学生关注解析思路、构建过程，并适度拓展，开阔学生的解题视野. 线段最值模型的探究过程中要注意思想方法的渗透，提升学生的综合能力.