章起始课统领下的“深度探研课”教学实践
作者： 陈娟 王红夏
［摘 要］ 文章以“二次根式的乘除”为例，探讨了章起始课统领下“深度探研课”的教学内容与方法、效果评价，以及遇到的问题与解决策略. 研究者通过类比推理和逻辑推理，引导学生独立思考、积极参与，加深对二次根式乘除运算的理解，为后续研究二次根式的加减运算做好引领.
［关键词］ 深度探研课；二次根式的乘除；教学设计
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）指出：“在义务教育阶段，数学思维主要表现为运算能力、推理意识或推理能力. 通过经历独立的数学思维过程，学生能够理解基本数学概念和法则的发生与发展，数学基本概念之间、数学与现实世界之间的联系［1］”. 对此，邢成云老师在《“化归思想”应用举隅》［2］一文中已给出了很好的展示与解读. 本文在以上研究背景下，对“二次根式的乘除法”这一深度探研课［3］进行了设计.
教学背景分析
本节课顺承章起始课，是教育部中小学“双名”领航工程邢成云名师工作室提出的“立足市域·走向全国：初中数学章起始课统领的大单元整体教学”之“1+n”结构（“1”指章起始课）中“n”的第一节课，是立足起始课，对二次根式运算进行的“深度探研”课. 在起始课中，教师已引导学生利用二次根式的概念得出二次根式的性质，再通过性质探究出积的算术平方根的性质，接着由等式的对称性得到二次根式的乘法法则. 本节课立足起始课，引导学生在类比乘法法则的基础上完成对二次根式除法运算法则的推理证明，以及对最简二次根式的理解，帮助学生建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，为后续勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好铺垫.
教学目标
1. 类比二次根式乘法，完成二次根式除法法则的推理验证，从不同角度理解二次根式的乘除运算法则.
2. 借助具体例子，总结并得出最简二次根式的概念，能准确利用积（商）的算术平方根对二次根式进行化简.
3. 通过对二次根式乘除运算法则的推理验证，提高推理能力；从不同角度理解二次根式的乘除运算法则，提高概括与抽象能力.
教学过程及设计
1. 复习回顾，体现本质
问题1 上节课我们学习了二次根式的性质，并猜想出=·（a≥0，b≥0），你们是如何证明的？
教学预设 （）2=ab，（·）2=（）2·（）2=ab，所以=·（a≥0，b≥0）.
追问：根据等式的对称性，由=·（a≥0，b≥0），得·=（a≥0，b≥0）. 你能用文字语言描述一下二次根式的乘法法则吗？
教学预设 两个数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.
追问：如果是，又会有什么样的结果？请说明理由.
学生探究活动略.
设计意图 通过回顾章起始课对二次根式乘法法则的推导过程，再次激发学生对数学本质的思考. 并借助对的探究，加深对积的算术平方根的理解，为下一环节研究商的算术平方根的性质与二次根式的除法运算做好铺垫.
2. 类比迁移，探索新知
问题2 前面已经证明出=·，回顾上一节课的学习过程，你能对=这一猜想进行证明吗？
教学预设 类比前面所学，分别对等式的左、右两边进行平方，即可得出.
追问：还有其他的证明方法吗？
教学预设 可以把除法变成乘法进行验证.
追问：这是从另外一个角度认识商的算术平方根的性质. 由等式的对称性，就会得到=，你现在对二次根式的除法有什么新的认识？对于上面的式子，你们还有补充吗？
教学预设 应该加上a，b的取值范围. 因为b在分母位置，所以a≥0，b>0.
追问：尝试用文字语言描述一下.
教学预设 两个数的算术平方根之商等于这两个数的商的算术平方根.
设计意图 这里二次根式乘除运算法则的探究过程与教材不同. 教材是通过具体实例由特殊到一般总结出规律，这样做虽然大部分学生容易接受，但是不能帮助学生理解运算规律背后的本质，学生也不知道如何利用演绎推理对其进行证明. 本环节通过类比积的算术平方根的性质得到商的算术平方根的性质，并推理证明，这样不仅能加深学生对“平方与开平方”互逆运算的理解，而且能提高学生的类比能力，拓展学生的思维，培养学生的代数推理能力.
3. 学以致用，提高能力
问题3 计算：（1）×； （2）2×； （3）÷； （4）÷.
学生尝试解答，过程略.
设计意图 本题是二次根式乘除运算的直接应用，被开方数由简单的数字到字母，题目设计由易到难，能帮助学生加深对二次根式乘除法的理解. 其中，第（2）题学生在做的过程中可能会展示两种不同的做法，一种是2×=××==2，另一种是2×=2×=2. 教师让学生体会两种做法，在“择优”中实现深度学习.
问题4 化简：（1）；（2）；（3）； （4）.
学生尝试解答，过程略.
追问：请观察问题4的化简结果20，，4c，，它们有什么共同特征？给它们起个什么名字比较合适？
教学预设 被开方数是整数或者整式，被开方数中所有能开方的数都要被开出来. 满足这样特点的二次根式叫最简二次根式.
设计意图 本题是用积（商）的算术平方根的性质对二次根式进行化简，性质服务于运算，运算依赖于性质. 通过让学生观察化简后的结果，总结这些二次根式的共同特征，引出最简二次根式的概念.
问题5 结合本节所学，自己编写一道二次根式乘除混合运算的题目，小组展示并解答所编题目.
设计意图 通过开放性问题的设计，加深学生对二次根式乘除运算法则的理解. 学生在编题过程中对所学内容融会贯通，有助于提高创新能力. 对所编题目进行计算，能提高计算能力.
4. 课堂小结，升华新知
问题6 这节课学习了二次根式的哪些内容？我们是通过什么方式获取这些知识的？如何证明二次根式乘除运算法则？在学习过程中用到了哪些思想方法？对于二次根式，你还想学什么？
归纳总结 积（商）的算术平方根的性质：=·（a≥0，b≥0）； =（a≥0，b>0）；
二次根式的乘（除）运算法则：·=（a≥0，b≥0）； =（a≥0，b>0）.
设计意图 通过问题提出，引导学生自主总结本节课的相关知识，在梳理知识的同时感悟用到的思想方法，逐步形成指向理解的立体结构，以提高学生的数学核心素养. 最后的问题“你还想学什么”给出了学习展望，以此突出学习的连贯性.
教学设计立意阐释
1. 基于推理，走向逻辑
《课标（2022年版）》中指出：课程内容特别强调的代数推理和几何直观，需要体现螺旋上升. 初中阶段，学生要学会用数学的符号表达数学道理，并会基于这样的道理证明一些数学命题. 推理能力作为数学核心素养的主要表现之一，是数学思维的基础. 在章起始课的统领下，类比积的算术平方根的性质得出商的算术平方根，并类比积的算术平方根的证明方法得出商的算术平方根的逻辑推理过程. 这些都是对学生代数推理加强的体现，从猜想到证明，能使学生更好地理解二次根式乘除运算法则的本质.
2. 立足整体，乘除统一
本节课是在理解二次根式概念、性质以及学习了实数的平方和开平方运算基础上，进一步研究二次根式的运算，密切了它与整式和分式的运算关系，为后续的相关学习奠定了基础. 二次根式乘除法若按照原来的点对点教学，要用两个课时完成（一节乘法、一节除法），而本节课循章起始课的全景布局，立足整体，顺承而下，把二次根式的乘除运算有机地结合在一起，用一个课时即可完成. 通过引导学生类比归纳得出商的算术平方根，再类比积的算术平方根性质的证明方法证明商的算术平方根的性质，体现了乘除的对立统一性. 如此设计，降低了学生的认知负荷，有助于学生更好地理解二次根式的运算法则.
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.
［2］邢成云. “化归思想”应用举隅［J］. 中学数学教学参考，2015（29）：23-26.
［3］邢成云. “整体统摄·快慢相谐”的整体化教学［J］. 中国教师，2021（10）：38-41.