融知于境 二次建构
作者： 王伟燕 王宝亮
［摘 要］ 文章用生活情境统摄二次根式整章复习，明确二次根式研究内容以及研究路径，构建二次根式章节知识框架. 从算术平方根到二次根式，由整式加减运算到二次根式加减运算，由分式化简到二次根式乘除，通过类比迁移打通数与式之间的联系，由点带面，深化学生对“数式通性”的理解，从宏观角度构建数与式部分的知识体系.
［关键词］ 数式通性；结构化；整体观；二次根式
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）在教学建议条目二整体把握教学内容中指出：在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系. 数学知识的结构化落实于教学实践，要注重教学内容的结构化. 对于复习课而言，邢成云团队提出的“整体化教学”在文章《“整体统摄·快慢相谐”的整体化教学》中是这样定位的：复习课是对整章内容进行再次整体认知，加固并重构已有的知识结构，多角度形成对本章“终端”的认知［1］. 下面以人教版八年级下册“二次根式”为例，谈一下如何在复习课中落实数学知识的结构化.
厘定教学内容
本单元章起始课已从宏观和微观的角度分析了本章的主要内容，并进行了宏观规划，将本章分为7个课时，本节课属于第6课时统摄复习课. 统摄复习课是以大单元教学设计为根基，以结构化教学方式为手段，强化知识之间的内在关联，形成知识脉络体系，促进学生深度学习，从而提升学生的学习力. “数”与“式”是初中代数的两大内容，教材编排是以交叉螺旋上升的方式呈现的. 二次根式是学生学习了有理数、实数，整式、分式之后的一章，属于“数与式”部分的最后一章，学生已积累了一定的学习经验，通过类比、迁移运用等学习策略，形成了数与式学习的基本套路，对数式通性有了较为深刻的认识. 基于统摄复习课的定位以及学生已有认知经验，可确定本复习课基本内容为：借助情境复习二次根式的定义、性质、运算以及应用等基础知识，其重点在于加固二次根式章节的知识结构，厘清“数与式”部分的知识脉络，形成“数式一致性”的整体观，进一步体会数式通性，促进学生数学核心素养的形成，为后续学习勾股定理、一元二次方程等知识奠定基础.
确定教学目标
基于《课标（2022年版）》分析和学生已有认知经验，以及复习课的功能定位，可确定本节课的教学目标为：
（1）通过创设生活情境，再次经历从数（数的算术平方根）到式（二次根式）的知识生长过程，厘清其本质联系，巩固二次根式的定义、有意义的条件、性质、运算以及应用等知识. 通过支架问题，建构二次根式的知识框架，体会类比、从特殊到一般的数学思想.
（2）经历建构二次根式知识结构过程，完善“数与式”部分的知识框架，进一步明确“数与式”研究的路径和研究方法，理解数式通性，巩固研究“数与式”的基本经验，发展抽象能力.
教学过程设计
1. 以境为绳，串联贯通
情境1 为加强劳动教育，让教育返璞归真，某学校七年级六班在班主任的带领下开垦了96 m2的试验田作为本班的劳动基地.
（1）若试验田为正方形，那么试验田的每条边长为______m.
（2）为便于管理，现对试验田进行分割，每块小试验田的长为大试验田的长，宽为 m，那每块小试验田的面积为多少平方米？小试验田的长是宽的多少倍？
（3）（2）中小试验田的周长为多少米？长比宽长多少米？
数学思考 （1）在问题（1）中，你是怎样求试验田的边长的？若把96换成字母，边长又怎样表示呢？你能说出数的算术平方根与二次根式之间的关系吗？二次根式的性质有哪些？什么是最简二次根式？
（2）问题（2）体现了二次根式的哪些内容？相对应的法则是什么？这部分内容你是怎样开展研究的？
（3）根据问题（3），请说出如何进行二次根式加减运算，它与整式加减运算之间有什么区别与联系？
功能分析 以实际问题情境引入，让学生再次体会二次根式在生活中的应用. 通过三个支架问题的设置，贯穿二次根式的定义、性质、运算以及应用等知识，引领学生进一步体会二次根式与数的算术平方根、整式、分式之间的关系，厘清知识发展脉络，建构“数与式”部分的知识框架，深化学生对数式通性的理解. 对于“数学思考（1）”，根据算术平方根的意义得x2=96，则x=，进而得，学生再次体会了从数到式的自然过渡（用式的眼光看待），同时体现了从特殊到一般的数学思想，感受由数到式的生长与发展. 通过追问二次根式的性质有哪些，进一步明确了二次根式的定义与三个性质的内在联系. 另外，在求解正方形边长时，若学生把化简为4，教师可顺势复习最简二次根式的概念；若学生没有化简，教师就通过追问把这一概念调出来. 对于“数学思考（2）”，把二次根式的乘除运算摆出来，在追问运算依据的基础上唤起二次根式乘除运算法则，继而在“怎样开展研究的”的追问中突出乘除运算法则之间的联系以及二次根式与分式运算的同构关系. “数学思考（3）”的设置是为了引导学生复习二次根式的加减运算，进一步体会它与整式加减之间的关系. 二次根式的加减是在化简之后合并同类二次根式，实际上相当于合并同类项，从中能体会式与式之间的关联，同时类比分式研究能进一步明确二次根式的研究路径和研究内容（如图1所示）.
2. 乘胜追击，加固结构
情境2 （1）在情境1中，我们体会到了二次根式与数的算术平方根、整式、分式之间的关系，回忆曾经学过的数（有理数、实数），学过的代数式（整式、分式、二次根式），你能说出这些“数与式”之间的关系吗？
（2）根据它们之间的关系，尝试建构“数与式”部分的知识框图.
功能分析 基于本章是“数与式”部分的最后一章，所以本节课不但肩负着本章知识的复习，同时肩负着数与式整个板块的知识建构，需将分散在各个年级不同册中的相关知识之间的纵向联系勾勒出来，使这种隐形的大单元浮出水面，让学生见木见林，发挥复习课的价值，体现数学知识的整体性，发展学生“数式一致性”的整体观，促进学生数学素养的形成. 问题（1）引导学生回忆从数到式的研究历程，由整数到整式，分数到分式，从无理数到二次根式，加强知识之间的纵向联系，体会数式通性，以及运用的类比、转化、抽象、从特殊到一般的数学思想策略. 皮亚杰在《结构主义》中提出“结构就是图式体系”的论断，认为新知学习是新、旧图式体系相互作用的过程. 因此在新知的教学中，教师要把零碎的知识有效结成网、组成图式体系，让知识模块化［2］. 因此设置问题（2），引导学生把本章知识融入可视化的知识结构图中，形成“数与式”模块的知识网（如图2所示），厘清“数与式”部分知识的发展脉络，体会知识的生长过程. 教师有套路地教，学生有方向地学.
3. 以题为擎，深化认知
（1）如果ab>0，a+b<0，那么下列各式正确的是（ ）
A.=
B.×=1
C.×=a
D.
2 =-ab
（2）实数a，b在数轴上的对应点如图3所示，则化简+-a的结果是（ ）
A. 2a B. 2b C. -2b D. -2a
（3）计算：
①-+×；
②÷+（3-）.
（4）阅读下面的材料：
=
=
=
=-.
以上这种化简的方法叫分母有理化.观察上面的解答过程，回答下列问题：
①求的值，并直接写出=____________；
②利用上面提供的解法，化简：++++…+；
③化简：+++…+.
功能分析 为进一步深化认知，补白在上一环节复习时练习不够深入的问题，针对本章主要内容，设置了4道题，第（1）题主要考查二次根式的乘除运算法则，第（2）题则综合考查二次根式的性质，第（3）题考查二次根式的加减乘除混合运算，第（4）题通过阅读材料设置新情境——分母有理化，现学现用，迁移到二次根式的化简与运算中，让学生体会转化的思想. 4道题由浅入深，由易到难，层层递进，让不同层次学生的数学素养都能得以提升.
4. 类比迁移，聚焦整体
（1）通过复习你对二次根式有哪些新的认识？获得了怎样的学习经验？
（2）你是怎样研究二次根式的？运用到了哪些数学思想方法？
（3）请进一步完善“数与式”知识的框架图.
功能分析 通过支架问题引领学生对本节课学习内容进行回顾总结，加固“数与式”学习的路径与策略，知识框架的完善使学生形成对知识理解的可视化（如图4所示），实现知其然—知其所以然—何由以知其所以然的转变，最终达到纲举目张的整体效果.
教学设计整体立意
1. 融知现实情境，厘定研究路径
本节课以学生熟悉的生活情境引入，设置了几个问题，依次引导学生对二次根式的定义，性质以及加、减、乘、除运算进行复习. 每个问题针对不同的知识点，以点带面地进行整章知识的复习与巩固，帮助学生进行二次根式知识脉络的梳理，厘清二次根式的研究路径，体会由数到式的自然迁移. 本环节在处理上没有穿插具体的巩固练习，目的是为了保持知识系统的完整性，以利于知识的整体建构.
2. 基于数式通性，类比促成结构
“数与式”从整体性上看，“式”继承了“数”的运算法则与运算律；从思想方法上看，“式”是“数”的进一步抽象，是“数”的一般化，在式的运算中，数的运算本质不变. 关联数式通性，从“数”向“式”自然迁移，将“数”与“式”从认知上进行统一，有助于学生养成良好的思维习惯［3］. 本节课正是基于“数与式”之间的这种联系展开复习的，通过嵌入二次根式知识的情境创设，使学生在知识不断同化与顺应中完成二次根式的复习与巩固，通过支架问题的设置，由二次根式自然迁移到“数与式”大知识体系中，引导学生在宏观上对“数与式”进行整体的二次建构，深化数式通性，实现思维的高通路迁移.
3. 基于系统思维，落实首尾呼应
数学本然是整体的，自然需要整体地教. 小结课是《课标（2022年版）》所倡导的也是邢成云“整体化教学”团队所定位的“整—分—整”教学链条上的第二个整［1］，是在系统思维指导下，践行横向上从碎片到体系、纵向上从孤立到联结的规整与升华，是对章起始课之整体建构的进一步结构化、系统化，是帮助学生实现认知结构的再“生长”，从而落实好“生书熟讲”与“熟书生温”的首尾呼应.
参考文献：
［1］邢成云. “整体统摄·快慢相谐”的整体化教学［J］. 中国教师，2021（10）：38-41.
［2］刘世雄. 胸中有丘壑，方能绘山河——基于整体性和结构化的“二次根式”教学思考［J］. 数理天地（初中版），2023（7）：54-56.
［3］应佳成. 用好数式通性，从“数”向“式”自然过渡［J］. 中国数学教育，2020（23）：8-12.