APOS理论指导下的初中数学概念教学

［摘  要］ 概念教学是数学教学的重中之重，概念教学的质量直接关系着学生数学思维能力的发展和学生学习能力的提升. 研究者以“实数”概念教学为例，将APOS理论与实数概念教学相结合，通过经历“活动—过程—对象—图式”四个阶段呈现概念的形成、展示与深化过程，在建构与完善概念的过程中提升概念教学品质，发展学生数学思维能力.

［关键词］ 数学概念教学；教学品质；思维能力

在传统数学概念教学中，教师容易忽视概念的形成和发展过程，使得学生对概念的本质把握不清，影响学生数学应用能力的提升和数学思维能力的发展. 为了打破这一局面，基于APOS理论的概念教学应运而生. 基于APOS理论的概念教学倡导自主探究学习，以期通过自主探究唤醒已有知识和新知联系，逐步完善学生知识结构，提升学生分析和解决问题的能力.

APOS理论概述

APOS理论将数学概念教学分为四个阶段，分别为：活动、过程、对象、图式. 所谓“活动”，指的是借助教学情境直观感知概念的过程；所谓“过程”，指的是通过自主探究，提炼概念共同特征的过程；所谓“对象”，即抽象概念本质属性，形成概念的过程；所谓“图式”，指的是沟通新知与旧知的联系，建构数学知识体系的过程. 这样通过经历以上四个阶段的建构，可以让学生对概念形成更深刻、更系统的理解，促进学生思维能力的发展与提升.

教学案例

在“实数”概念教学中，教师结合APOS理论四个阶段的特征，引导学生经历概念抽象的全过程，实现APOS理论与实数教学的有效融合，培养学生勤于思考、乐于探究的学习品质，提升概念教学质量.

1. 活动阶段

该阶段教师结合教学实际创设有效的教学情境，以此化抽象为直观，让学生更好地走近新知，提升学生参与课堂的积极性. 在本课教学中，教师结合教学内容引导学生“动手做”，让学生在做的过程中感受新知.

课前准备：两张面积为1的正方形卡纸（要求：两张卡纸颜色不同）；剪刀.

问题1  将两张卡纸拼在一起，可以拼成什么图形，图形的面积是多少？请写出关于面积的等式.

学生回答：可以拼成一个长方形，其面积为2，令两张卡纸的面积分别为S，S，则长方形的面积为S+S=2.

追问1：若将两个正方形拼成一个大的正方形，可以怎么拼（可以裁剪）.

师生活动：在教师的启发和指导下，学生沿正方形的对角线将正方形卡纸平均分成两份，得到四个面积相等的等腰三角形，从而拼出如图1所示的正方形.

追问2：如图1所示的正方形面积是多少？边长是多少？

学生回答：正方形面积是2；边长是.

追问3：到底有多大呢？

师生活动：教师引导学生利用计算器计算.

追问4：根据计算结果，你认为是一个怎样的数呢？

学生回答：它是一个无限不循环的小数.

问题2  请利用计算器将如下各数转化为小数：，-，，.

追问5：这些数是什么数？转化为小数后呢？

学生回答：以上各数都是有理数，转化后有的是有限小数，有的是无限循环小数.

教学说明：从学生已有的学习经验出发，引导学生通过动手操作获得无理数的直观感. 教学中教师没有直接给出无理数的概念，而是引导学生借助计算器计算的大小，发现它是一个无限不循环小数，在此基础上，教师引导学生与有理数相类比，发现无理数均可以转化为有限小数和无限循环小数，由此引发认知冲突，学生自然会形成这样的困惑“到底是一个怎样的数？”这样通过经历如上探究活动，使学生的情感态度发现转变，即由“要我学”向“我要学”转变.

问题3  我们把，等这样无限不循环小数称之为无理数. 说说无理数有何特征？

学生回答：无限不循环小数.

问题4  无理数与有理数有何区别与联系？

师生活动：教师引导学生从性质、结构、范围等方面进行比较，进一步理解无理数.

教学说明：通过问题1和问题2的探究，学生对无理数已经建立了初步感知，而借助问题3和问题4的探究可以进一步加强学生对无理数概念的理解. 另外，在此过程中引导学生与有理数概念相类比，通过区别进一步加深对无理数概念的理解，通过联系自然引出实数的概念.

2. 过程阶段

该阶段是学生对活动阶段的深度思考过程，通过对现有问题的反复思考与实践探究，提炼概念的共同特征. 该阶段教师不妨以学生的已有认知为出发点，设计由浅入深，环环相扣的问题，引导学生通过问题的解决知晓实数概念的特征，提高学生数学概括能力.

问题5  你是否能够在数轴上表示无理数呢？

结合已有的有理数学习经验，学生认为无理数也能在数轴上表示出来，不过该如何表示，学生感觉一片茫然. 为了解决这一问题，教师设计了这样一个实验活动，首先画一个数轴，在数轴上找到“2”，记为点A，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取AB=1，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径作圆，圆O与数轴的正、负半轴分别交于点C和点D，问点C和点D表示的数是什么？

学生根据以上过程分别得到点C和点D，并根据勾股定理知晓点C表示的数为，点D表示的数为 -.

追问1：点C到原点和点D到原点的距离分别是多少？

学生回答：.

问题6  根据以上结果，你有什么发现？

师生活动：教师预留时间让学生回顾问题5的探究过程，并对探究结果进行总结归纳，形成结论：无理数也能在数轴上表示，无理数有绝对值和相反数.

教学说明：该环节教师引导学生与有理数相类比，通过由表及里，由浅入深的逐层探究引导学生参与概念的生成过程，提炼概念的共同特征，发展学生数学抽象素养. 该环节教师充分利用学生的茫然与困惑，通过动手操作帮助学生将新知与旧知搭建互通的桥梁，引导学生通过实际操作知晓无理数也可以在数轴上表示，在此基础上进一步推广，得出结论：数学上的点与实数是一一对应的.

3. 对象阶段

该环节教师要预留足够的时间让学生进行反思、交流，明晰概念的本质属性和非本质属性，发展学生数学抽象能力及思辨能力. 在具体设计中，教师可以结合教学实际设计多样化的操作活动，引导学生进行思考辨析，以此让学生深刻地理解知识，促进知识的内化.

问题7  请按照要求将表1的内容补充完整. （教师PPT出示表1）

师生活动：教师让学生独立完成表格的填写，然后展示学生的结果.

问题8  结合表1所填内容，你有何发现？

师生活动：教师让学生以小组为单位展开讨论. 该问题为开放性问题，其答案并不唯一，有的学生提出无理数和有理数的相反数是一样的，若无理数为正数，那么它的相反数就是负数，反之依然成立；有的学生提出无理数和有理数的绝对值也是一样的.

教学说明：数学概念的形成是一个过程，而学生对概念的理解同样需要一个过程. 在实际教学中，学生虽然已经经历了实数概念的形成过程，但是若想让学生理解和掌握概念依然需要一个过程，因此教师有必要创造机会让学生进行深入的探究，以此进一步加强对概念的理解. 该环节，教师充分借助表格直观的优势，引导学生在类比归纳中逐步掌握实数的本质特征，从而让学生真正理解和掌握概念，为概念的灵活运用打下坚实的基础.

4. 图式阶段

周知，概念具有高度的抽象性和概括性，学生在图式阶段很难做到一步到位，因此图式阶段可以理解为一个不断完善、不断发展的过程. 如在本课教学中，在活动阶段，学生头脑里储存的是实数可以分为有理数和无理数；在过程阶段和对象阶段，通过对第一阶段的发展，学生知晓无理数是一个无限不循环小数，其与有理数相同，有正负之分，也有绝对值. 这样通过一步步探索，一步步细化，使学生对实数概念的理解更加详尽，逐步形成更复杂、完整的图式.

问题9  你能用图形来表达本课所学内容吗？

师生活动：教师提供时间让学生对以上阶段的探究结果进行归纳总结，形成个体完善的认知.

追问1：请将图2和图3的内容补充完整，并简述一下自己的理解与发现.

问题10  求实数a的绝对值.

a=a（a>0），

0（a=0），

___（a<0）.

教学说明：通过生生和师生互动交流的方式构建和完善知识网络图，体会各部分知识之间的区别与联系，帮助学生形成清晰的知识脉络图. 在此过程中，教师要扮演好课堂组织者和指导者的角色，在学生遇到障碍或出现遗漏时进行及时的指导和补充，以此帮助学生形成完整的图式.

5. 巩固练习

通过前面四个阶段的学习，学生对本课内容已经形成了清晰的知识脉络，接下来教师有必要通过练习帮助学生进一步巩固知识，以此增强学生解题信心.

练习1：请按照要求将下列各数填写到括号内.

，3.1415926，，-8，，，

无理数（                           ）；

有理数（                ）.

练习2：求下列各式中的x值.

（1）x=；（2）x=；（3）x=0；（4）x=；（5）x-3=1.

该阶段教师以生为主，让学生独立完成求解，以此让教师更好地了解学生、了解教学，以便教师结合学生的实际反馈调整教学预案，优化教学策略，提高教学水平和教学质量.

教学说明：针对本课学习内容，教师设计针对性练习，这样一方面可以检测本课教学效果，另一方面可以借助练习帮助学生巩固知识，提高学生应用知识解决问题的能力.

6. 课堂小结

该环节教师预留时间让学生对所学内容进行归纳总结，并提供机会让学生提出自己的所想、所惑，以此进一步优化学生的认知结构，逐步将知识内化为能力.

教学说明：个体差异是客观存在的，不同的认知水平对新知的理解程度也会有所不同，因此在课堂小结环节，教师既要提供时间让学生独立归纳反思，又要创造空间让学生互动交流，以此让不同思维碰撞出火花，拓宽学生的视野，升华学生的认知.

教学思考

1. 循序渐进，逐步建构

数学概念教学关注概念形成、发展及应用的全过程，其为概念教学提供了新方向. 在四个阶段的教学中，教师分别从学生最近发展区出发，创设符合学生认知规律的问题情境，让学生在问题的解决中逐渐认识、理解、掌握和应用概念，逐步提高学生的认知水平和思维能力. 例如，在本课教学中，在活动阶段，教学结合学生的认知特征与概念内容特征创设情境，让学生通过动手做获得对无理数的直观感知，从而建立对实数的初步认识；在活动阶段和对象阶段，教师结合教学内容精心创设问题链，让学生在问题的引领下体会有理数与无理数之间的区别与联系，进而通过迁移让学生明白无理数和有理数一样，也有相反数和绝对值；在图式阶段，教师启发学生进行新旧对比，逐步将新知识纳入原有认知体系中，自然完成对本课所学知识的整体建构. 在整个概念教学中，没有机械的灌输，也没有生拉硬拽，而是通过创设符合学生认知规律的探究活动引导学生进行实数概念的自主建构，有效沟通新旧知识的联系，抽象概念的本质属性，以此让学生掌握研究概念的方法，提升学生数学素养.

2. 自主探究，逐步完善

课堂教学的主体是学生，只有学生参与的课堂才是有价值的、有意义的，因此在课堂教学中，教师应适当地学会放手，让学生体会数学发现的乐趣，感悟数学魅力，树立正确的情感态度和价值观. 教师作为课堂教学的主导者，应结合教学内容创设符合学生认知发展规律的探究活动，让学生在探究中逐渐理解概念，逐步完善个体认知体系. 例如，在实数概念教学中，教师没有直接将概念抛给学生，而是借助有效的问题串引导学生经历概念形成过程，让学生理解引入新数的重要性和必要性，让学生学会用发展的眼光看待数学学习. 相信经历以上探究过程后，学生势必还会有这样的疑惑，是否存在实数以外的数呢？这样不仅为后面虚数的学习埋下伏笔，而且可以让学生体会知识的建构是一个逐步完善的过程，以此帮助学生树立正确的学习观，提升学习品质.

总之，在数学概念教学中，教师应以发展学生为目标，倡导独立思考与合作探究，让学生在探究中理解概念本质并建构概念知识体系，落实数学核心素养.