初中数学教学中数学抽象的概念理解与实践

[摘  要] 数学是研究数量关系和空间形式的科学，在看待现实世界的时候，应当看到其中的数量关系和空间形式，这意味着除了数量关系和空间形式外的其他内容，很有可能在“数学的眼光”下被剥离，这就是数学抽象. 数学抽象的过程重在学生体验感的获得，结果重在准确的表达. 将数学抽象的过程进一步细化为情境创设、深度学习以及实践体验，可为数学抽象的实践提供一条更加清晰的路径. 数学抽象过程的最大价值，在于让学生认识到生活中的很多等量关系，最终都可以借助数量关系来体现，而这能培养学生“用数学的眼光观察现实世界”的能力. 如果学生能够在这样的体验过程中认识到“数学是认识和探究现实世界的观察方式”的话，那么就意味着学生养成了“数学的眼光”.

[关键词] 初中数学;数学抽象;概念理解;实践

作者简介：康登银（1980—），本科学历，中小学一级教师，从事中学数学教育教学工作.

“数学是研究数量关系和空间形式的科学. 数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系;基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律. ”这是《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于课程性质的描述. 从这个描述中可以发现，“抽象”是一个高频概念，反映着数学研究与学习的本质. 同样是课程标准，当描述义务教育数学学科核心素养组成要素的时候，明确提到了一句话，这就是“用数学的眼光观察现实世界”. 在笔者看来，这段话的内涵十分丰富，现实世界是多姿多彩的，同时也是纷繁复杂的，用不同的眼光去看待现实世界，得到的结论会有所不同. 既然数学是研究数量关系和空间形式的科学，那么看待现实世界的时候，就应当看到其中的数量关系和空间形式，这也就意味着除了数量关系和空间形式外的其他内容，很有可能在“数学的眼光”下被剥离. 很显然这样的过程就是数学抽象过程！

在数学哲学的视野里，数学抽象就是指抽取同类数学对象共同的本质属性，除去其他非本质属性. 如果把数学抽象理解为一个思维过程，那么数学抽象实际上就是抽取同类数学对象共同的本质属性，除去其他非本质属性的过程. 对于初中生的数学学习而言，数学抽象过程的重要性一目了然，可以说只有经历过数学抽象，数学学习对象才会进入学生的大脑中;只有体验过数学抽象，学生才能真正了解数学学习过程的意味. 反之，如果离开了数学抽象，那么数学学习的过程将会寸步难行，其出现的结果无非两个：一是学生的大脑中无法出现数学学习所需要的抽象的数量关系和空间形式，而一旦学生的学习失去了可以加工的对象，其后的学习过程可想而知;二是学生接收的是教师抽象好了的数量关系和空间形式，由于学生没有建立数学抽象的过程，因此这样的教学一定是灌输式的教学.

下面就以苏科版初中数学“从问题到方程”这一内容的教学为例，谈谈笔者对初中数学教学中数学抽象的概念理解以及具体实践.

初中数学教学中数学抽象的概念理解

在理解数学抽象的时候，除了上述哲学视野下的理解外，站在数学学科本身的角度去理解数学抽象，更容易获得一线数学教师的认同. 站在数学学科的角度看数学抽象，可以认为数学抽象就是指从空间形式与数量关系中得到数学研究对象的思维过程. 进一步研究表明，初中生数学抽象一般要借助数学直观而达成，发展初中数学抽象有利于实现数学学科育人以及回归数学学科本位. 这些都是关于数学抽象的总体概括，作为一线数学教师，一定要形成关于数学抽象的个性化理解. 这里所强调的个性化理解不是指脱离数学抽象的精确阐述，而是指能够将数学抽象的学术阐述，转化为自身的、能够运用自己的语言去解释的理解. 只有有了这样的过程，对数学抽象的理解才不是被动的，才不是简单记忆似的，而是真正吸收消化了. 那么对于数学抽象这一概念而言，具体的理解应当是怎样的呢？笔者结合自己的教学经验以及思考，梳理出了如下两点认识.

一是数学抽象的过程重在学生体验感的获得.

数学书上的主体是学生，数学抽象的过程应当是学生面对现实世界中的事物时，通过自己的思维活动，去寻找其中的数学要素，也就是空间形式和数量关系，将与空间形式和数量关系无关的要素去除. 从数学的角度来看，这是一个去伪存真的过程;从学生的角度来看，这就是一个螺旋上升，或者是出错、修改进而成功的过程.

这个过程必须让学生亲自去体验，要让学生在体验的过程中显现自己的思维方式和思维能力，要给学生足够的试错、出错的机会. 在学生体验数学抽象的过程中，教师所起的作用一定是在学生遇到困难的时候. 学生遇到困难的时候跟出错的时候是有所区别的，如果学生在出错后没有想着进一步解决问题，那么就无法表现为学生遇到了困难，也就是说，只有学生在出错的情况下，想进一步解决问题但又无法解决问题的时候，才表现为数学抽象遇到了困难，这个时候教师才应当出手相助.

二是数学抽象的结果重在准确的表达.

数学抽象的过程实际上是内隐的，教师很难直接把握住学生的数学抽象过程，通常情况下，只能根据学生的数学抽象结果，来判断学生的数学抽象过程是否科学. 与此同时应当注意到的是，学生数学抽象的结果需要借助具体的载体来表示，这里所说的载体包括数学符号及表达式、图形与语言——其又与完全精确的符号、图形与语言有所不同，具有模糊、不完善的一面，最常见的形式就是学生借助不完善的式子、粗糙的图形或生活语言进行表达.

认识到上述两点后，教师在具体实施教学时，就应当结合这样的理解，并面向具体的数学知识，去设计一个科学的数学抽象过程，以供学生体验与表达.

初中数学教学中数学抽象的实践分析

上面已经指出，数学抽象过程的主体是学生，因此教师要站在学生的角度看数学抽象，要让学生形成数学抽象能力. 初中数学抽象的培养关键点包括：情境创设，即从生活情境走向数学情境;深度学习，即从循环类比走向结构生成;实践体验，即从系统关联走向综合解决[1]. 可以发现这样的数学抽象能力培养思路，与上述数学抽象的理解是一致的，而将数学抽象的过程进一步细化为情境创设、深度学习以及实践体验，则为数学抽象的实践提供了一条更加清晰的路径.

“从问题到方程”是苏科版初中数学七年级上册第4章“一元一次方程”第1节的内容. 对于学生学习一元一次方程来说，这是一个基础知识，但是从数学学科核心素养培育的角度来看，这又是一个重要的让学生体验数学抽象的机会. 教材一开始就指出，“在现实世界的许多实际问题中，通常有已知的量和未知的量，这些数量之间常常有相等的关系”. 其实这是一段比较抽象的描述，也是一段概括性比较强的描述，由于没有具体的实例支撑，如果直接将这句话告诉学生，那么学生学习起来是有一定困难的. 因此在具体教学时，教师可以先从教材设计的“议一议”入手，让学生去观看一些实例，比如用天平测量物体质量时，三个球的质量与砝码的质量相等. 某次篮球联赛制定的规则是胜一场得2分，负一场得1分. 某篮球队比赛了12场，共得了20分，那么如何描述其中的数量等量关系？还可以将教材中的“想一想”同时呈现出来：“这是我国古代的一个问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺;若将绳四折测之，绳多一尺. 则绳长、井深各几何？”

事实证明这三个问题出现在学生面前时，学生的思维更容易加工，直接原因就在于这三个问题涉及的素材都是学生比较熟悉的，学生容易借助自身擅长的形象思维来加工. 而这正是数学抽象的基础，可以说当学生的形象思维无法被有效激活时，数学抽象是没有基础的. 教师应当给学生足够的时间与空间，让学生用自己擅长的表达方式去加工这三个实际问题（同时也是现实世界中容易出现的问题）.

通过对学生学习过程的观察，教师可以发现学生在解决这三个问题时，会下意识地采用自己最熟悉的方式去理解问题. 比如对于天平测质量的例子，学生就会在草稿纸上画出两个托盘，然后在左边画上3个球，画的时候还特别注意天平是平衡的，而这个细节非常重要，因为等量关系就建立在这一认识基础上. 在解决第二个问题时，绝大多数学生都会在草稿纸上写上“胜：+2;负：+1”这样的字样，然后部分学生会去慢慢试胜多少次、负多少次（实际上就是试错）;也有部分学生会借助此前学过的方程知识，初步设出一个未知数，然后列出等式求解. 对于第三个问题，刚开始学生会感觉到有一些抽象，但是学生会尝试画图解决，即在草稿纸上画出三折或四折的一根线，画的时候学生心里就想着，无论是三折还是四折，绳子拉直后的长应该相同——这个情形是发生在学生大脑中的，但可以从学生修改草稿纸上的图形来判断……

上面的过程对于学生来说就是数学抽象的过程，将实际问题转化为抽象的等量关系，对于学生而言需要经历一个过程. 这个过程就是从形象走向抽象的过程. 伴随着学生比较复杂的心理历程，无论是学生在此过程中收获的成功感，还是因为种种原因出现的挫折感，对于数学抽象本身而言都是有意义的. 作为数学教师，在这个过程中应当在学生个体或小组中积极巡视，尽可能在第一时间发现学生的优点与不足，然后有针对性地进行指导，确保学生最终能够将三个等式都列出来.

其实列出等式意味着学生的数学抽象过程已基本结束，学生对自己所列等式的认识是否到位，反映着此前数学抽象的过程是否高效. 根据笔者的教学实践，大多数学生都能在自主努力的基础上完成绝大部分数学抽象的过程，因此对个别学生的指导也是有必要的，毕竟学生个体之间存在着差异，这里涉及分层教学的思想，限于篇幅不再赘述. 但必须强调的是，这里的分层指导，本身也是为了让学生体验数学抽象的过程.

初中数学教学中数学抽象的教学思考

在上面的例子中，学生在教师给足的时间与空间里进行充分思维，思维的对象逐步由实际物体转化为数量关系，而这也就意味着数学抽象过程的真实发生. 除了最终建立起来的数量关系外，这样一个数学抽象过程的最大价值，在于让学生认识到生活中的很多等量关系，最终都可以借助数量关系来体现，而这也就培养着学生“用数学的眼光观察现实世界”的能力. 如果学生能够在这样的体验过程中认识到“数学是认识和探究现实世界的观察方式”的话，那么就意味着学生养成了“数学的眼光”. 所以从这个角度来看，数学抽象的过程对于学生的发展而言，意义是非常大的. 要将这种意义体现出来，最好的方法之一就是让学生拥有一个可体验的过程.

进一步讲，通过对数学测算过程的体验，学生更容易知道数学知识的来龙去脉，这种知其然且知其所以然的获得心理，对于他们而言至关重要. 尽管学生习惯的是形象思维方式，但是学生的抽象思维能力也处于急速发展的过程中，并且对很多数学知识都追求逻辑上的自洽，如果某一数学知识只知其然但不知其所以然，那么学生就容易产生怀疑心理，而这显然不利于学生数学知识的完整建构.

所以，在初中数学教学中，教师要充分认识到数学抽象的价值，利用可能的教学机会去培养学生的抽象思维能力，是教师必须具有的教学视角. 只有建立了这一视角，数学抽象的实施才有了必要的前置性条件[2].

参考文献：

[1]吴小兵. 初中数学抽象的要义与培养关键点[J]. 教学与管理，2021（07）：39-41.

[2]张本陆. 谈初中数学教学中如何培养学生的抽象思维能力——以“变量与函数”的教学为例[J]. 数学教学通讯，2014（01）：9-10.