微调教材,提前渗透数学知识的尝试

[摘  要] 随着“双减”政策的有序推行，对所有教育工作者的教学能力提出了更高的要求. 实践证明，潜心研究教材与学情，结合教师自身的教学经验，微调教材教学内容，适当提前进行知识的渗透，会有意想不到的教学成效. 文章从提前渗透类似概念、规定、公式、配方变形与函数图象等方面展开分析.

[关键词] 教材;提前渗透;概念

作者简介：黄国云（1976—），本科学历，从事初中数学教学工作，曾获福州市教育系统先进工作者、市骨干教师等荣誉称号，曾获市优质课一等奖、市教学技能赛二等奖.

教材源自编者的精心设计与编排，是教学的依据，亦是学习的主要资源，具有学术性、规范性与科学性等特征[1]. 然而，教材虽好，但它的设计与编排都是根据大众水平安排的，受地域、教育等综合因素的影响，在实际应用时，难免会出现与学情不匹配的情况. 作为教师，可结合学生的实际情况进行微调，以提高教学效率.

提前渗透类似概念

概念是数学学习的基础，是建构认知体系的基石. 若想践行“双减”政策，夯实概念基础是首要条件，那究竟该如何让学生快速、准确地深入理解数学概念呢？经实践探索，笔者发现在概念教学时，顺势引导学生了解与之类似的概念，能加强学生对概念的体验，为后继教学奠定基础.

概念本身是对数学事物的抽象，若单独教授某一概念，常会让学生感到枯燥、乏味，缺乏学习兴趣，而引入与之相关的概念，常能激发学生的探索欲，让学生对未来将要学习的概念产生兴趣. 这种情感基础的奠定，不仅为后继教学提供支持，还让学生对当下概念的理解更加深刻.

案例1  “一元一次方程”的教学

一元一次方程的概念为：等式的两侧均为整式，式子中仅有一个未知数，未知数的指数为1的方程为一元一次方程. 为了深化学生对一元一次方程概念的理解，笔者引导学生参与了以下教学过程：

用PPT展示问题：观察下列各式，说一说一元一次方程有哪些.

A. 3x=0           B. 3n+2=1-n

C.+m=2      D. =14

E. m+y=9        F. x2+x-4=0

学生一致认为A，B，D三个式子为一元一次方程，其他几个式子都不属于一元一次方程的范畴.

师：既然大家一致认为m+y=9与x2+x-4=0这两个式子并非一元一次方程，那你们觉得这是什么方程呢？我们能否赋予它们一个名称？

生1：式子m+y=9中含有两个未知数，最高次数为1，是不是可以称为二元一次方程？

生2：同理，式子x2+x-4=0中只有一个未知数，最高次数为2，是否可称为一元二次方程？

大部分学生都赞同这两位学生的观点.

虽然这两种方程并非本节课的教学内容，与本节课的教学要求、目标等毫无关系，但这几个概念之间存在共同之处，笔者让学生在研究一元一次方程的时候，接触并尝试认识这两类方程，很快就激发了学生的探究欲，让学生在自主分析中获得了良好的成功体验.

鉴于这三类方程之间存在显著的共性关系，教学一元一次方程时，教师可鼓励学生自主揣摩其他两类方程的定义，深化学生对判定方程类型的三个条件（未知数个数、代数式类型以及未知数的次数）的认识. 学生因自主获得结论，形成良好学习体验的同时会产生较大的成就感，不仅对自身的学习能力产生自信，也为形成举一反三的学习能力奠定了基础.

想要理清概念的内涵与外延，必须对概念的纵深与横向联系产生深刻的认识，尤其在“双减”政策的扶持下，除了凸显学校为教学主体外，对教师的教学能力与学生的学习能力都提出了较高的要求. 因此，教师进行概念教学时，应站到一个宏观的角度，带领学生感知数学为一门系统性学科，知识与知识间有着紧密的联系.

提前渗透相关规定

从概念间的关联性出发，不难发现数学是一门系统、周密、严谨的学科，但在系统的运行与建立过程中，难免会出现一些约定俗成的东西，教材将这些东西统称为“规定”. 规定与数学知识同样具有由浅入深的特点.

如今的学生生活在信息化时代，不仅有着丰富的知识储备，还有着灵活的数学思维. 教学过程中，常会遇到学生提出一些超前的看法与想法. 作为教师，应积极回应学生所提出的看法与想法，尽可能多地加以鼓励与肯定，让学生乐于提出看法，勇于表达想法，形成爱问、乐学、善学的良性循环. 对于学生超前看法与想法的回应，一般是对将来会涉及的一些规定作初步介绍，让学生感知数学的博大精深，体验数学学习带来的无限乐趣.

案例2  “同底数幂除法”的教学

教材在本章节对“零指数幂”和“负整数指数幂”作了以下规定：①任何不为零的数的零次幂均为1，也就是a0=1（a≠0）;②任何不为零的数的-p次幂（p为正整数），均为该数p次幂的倒数，也就是a-p=（a≠0，p为正整数）.

面对这个规定，学生获得了指数可为零，也可为负整数的认识. 一些思维较灵活的学生会提出：从以上规定来看，指数可以是零、正负整数，就是说指数可以为整数，那么指数是否可以为分数呢？这是一个超前的想法，教师若以“将来你们会知道”的话语将学生随意打发掉，则会挫伤学生的学习兴趣. 为此，笔者在此处提前渗透相关规定，以增强学生的学习乐趣，让学生从中感知数学的魅力.

生3：指数是否有可能为分数呢？若有，我们该如何理解a呢？

师：这个问题非常好！说明你在积极地动脑思考. 与你所想的一样，指数确实可以是分数，将来我们会遇到这样的规定：a=（a≥0）. 举个简单的例子，如9=，较复杂的一些如a=.

生4：哇哦！乘方形式还可以转化成开方形式啊，有点意思.

此时，学生探究的积极性被完全调动起来. 原本枯燥的课堂瞬间就让学生觉得其乐无穷，尤其是外形差异如此之大的乘方与开方竟然具有互相转化的功能，这种转化就如同学生所熟悉的加减乘除的转化一样，令学生感到兴趣盎然.

虽然分数指数幂的内容要到高中阶段才会碰到，但提前介绍会让学生深刻体会到指数的取值范围还有扩大的空间，由此欣喜地发现两种新知间存在着必然的联系，这种提前告知的方式显然让学生的理解更加丰富，教学也显得更立体. 随着教师的解说，学生能感知到知识之间存在着千丝万缕的联系，体会到积极思考与勇于表达所带来的快乐，这为帮助学生建立学习信心，培养创新意识奠定了良好的基础.

提前渗透相关公式

公式是经过岁月的洗礼，历经千锤百炼而形成的. 它最大的价值在于让原本复杂的问题变得简便，尤其是计算类的公式，能减轻计算者的大量负担. 如乘法公式的学习，教材呈现给师生的是正向运用公式来简化复杂的运算，而事实上，只要以等式形式呈现的公式，都具有双向变形的功能. 教学中，教师可适当地提前展示公式的双向应用功能，以拓展学生的思维，让学生对公式形成更加成熟、理性的认识.

案例3  “乘法公式”的教学

教材中有这样一道例题：

简便计算下列算式，要求使用平方差公式：

（1）97×103;（2）60.2×59.8.

这道例题难不住学生，学生很快就解出相应的答案. 为了拓宽学生的视野，增强学生对乘法公式的认识，笔者借助PPT展示了以下练习，同样要求学生用平方差公式进行简便计算：

（1）81.52-78.52;（2）9992-9982.

补充练习虽然与教材的要求一样——让学生用平方差公式简便计算，但应用的方向却完全相反. 该练习有意让学生明白，应用平方差公式解决问题时，不仅可以正向应用公式，还可以反向应用公式，不论是哪种应用方法，均可达到简便运算的目的.

笔者展示的补充练习，涉及了下一章因式分解部分的内容，虽然这是学生尚未接触过的领域，但并没有带给学生不适感，反而让学生感知到公式正反应用的乐趣. 教师将两个方向的运算一起展示在学生视野中，能使学生真实、生动地感知到数学公式的双向应用特征. 这种提前渗透的教学方法，让学生对公式的掌握更加立体、全面，为后继学习奠定了良好的基础.

提前尝试配方变形

数学方法一般为解题的通性通法，它们的形成都是学习成果的提炼，对于学生掌握解题技巧、顺利解题起着决定性的作用. 然而，任何数学方法的掌握都不是一蹴而就的事情，即使一种数学方法，也有可能在不同学习阶段出现，但整体难度基本呈循序渐进螺旋式上升，同时还与时代发展相挂钩[2].

鉴于此，教学中遇到关于数学方法的授课时，如果教师适度提前为学生普及它的应用或特点，能让学生体验到数学方法独有的魅力，对学生连贯、深入地理解并应用数学方法提供保障.

案例4  “因式分解”的教学

教材中有这样一道例题：

因式分解下列各式：（1）-x2+4xy-4y2;（2）4a2+12ab+9b2;（3）3ax2+6axy+3ay2.

学生在解题中呈现出类似于（x-2y）2，（2a+3b）2的多项式平方类型，其实这是配方的成效. 笔者考虑到这种方法具有较强的学习意义与教学价值，便在本单元的复习环节中添加了以下练习：

（1）解方程x2+y2+6x+y+=0，并求出x，y的值;

（2）代数式m2-2m+7的最小值是多少？

（3）代数式-m2+2m-7的最大值是多少？

（4）求方程2x2-2x-4=0的解.

经历以上几道题的练习，学生对配方法的应用步骤、蕴含的本质以及配方的目标等有了更加明确的认识，为后继学习夯实了知识基础. 当然，这不能说区区几道题就能达到多么好的教学效果，此类练习并不在本节课的教学目标范畴内，对学生的掌握程度没有明确的要求. 因此，浅尝辄止即可，教师无须在此花费太多时间与精力引导学生进行深究.

配方法作为初中数学的教学难点之一，学生在掌握与应用上总存在一定的障碍，因此当学生初步接触这部分内容时，教师可适当地加以深化与渗透，让学生在思想上更容易接纳配方法的应用，这种未雨绸缪的教学方法为学生后期构造配方法的知识体系与理解其本质奠定了基础. 同时，教师在提前渗透时，可适当地展示配方法的使用背景，让学生理解“构造一个非负数”的实际意义，为不同情境下的实际应用做铺垫.

提前接触函数图象

函数是初中数学教学的重中之重，准确地描绘函数图象是研究函数最重要的手段，其中描点法贯穿学生整个函数学习生涯，从一次函数的学习开始，学生就有所接触，但因为一次函数的简单性（一条直线）与特殊性，往往让师生都忽略了描点法在绘图中的重要性. 若在一次函数授课时，微调教材内容，超前带领学生探索一些具有代表性的例子，引导学生从不同的角度去描点、连线，会让学生感知到学习的趣味性，暴露描点法的本质.

案例5  “一次函数的图象与性质”的教学

在探索y=2x+1的函数图象时，学生经历了描点与连线的过程，在直角坐标系中获得了相应的图象（一条直线）. 由此，学生明确知道了一次函数y=2x+1的图象为一条直线.

众所周知，两点就能确定一条直线，只要确定一次函数的图象为直线，那就不需要费时间描多个点，任意标出一次函数的两个点，再连线即可获得相应的图象. 但这种方法对刚刚接触描点法的学生而言，会形成一种思维冲突，影响学生对后继学习内容的理解. 若想消除这种负面影响，教师可做以下教学设计：

师：通过前面学习，我们都明确知道了y=2x+1为一次函数，图象为一条直线，现在我们来猜想一下y=x2是什么函数.

生5：应该是二次函数.

师：不错，二次函数的图象会是什么样子的呢？现在我们模仿对一次函数的探索过程，通过描点法去分析其图象.

在教师的启发下，学生可自主列表、描点、连线，很快就能获得y=x2的图象.

此过程仅仅是为了让学生感知描点法的重要性，体验这种方法研究未知函数图象的作用，因此该过程只需要蜻蜓点水即可，无须带领学生进行深入探究. 二次函数的提前渗透，还让学生感知到，并不是所有的函数图象都是直线，在建构认知体系时，可纠正一些主观的错误认识.

总之，面对数学教材，教师应在领悟其设计意图的基础上，站到一个宏观的角度去分析教材与学情，这样才能在课堂中利用好教材，并突破教材的限制，达到灵活应用、精益求精的境界[3]. 当然，提前渗透数学知识的前提是学生能接受、乐于接受. 实践证明，谨慎、适度的提前渗透能有效拓宽学生的视野，提高教学效率，拔高学生的思维，促进学生数学核心素养的形成与发展.

参考文献：

[1]约翰·杜威. 我们怎样思维·经验与教育[M]. 姜文闵，译. 北京：人民教育出版社，2005.

[2]张奠宙. “与时俱进”谈数学能力[J]. 数学教学，2002 （02）：7-9.

[3]曹培英. 跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M]. 上海：上海教育出版社，2017.