精构框图析题型,提升专题复习效率

[摘  要] 二轮专题复习是中考复习的重要组成部分，是提升学生能力的重要途径. 文章以“代数中的多元问题”为例，通过构建题型框图，引导学生有效掌握题型特征和解题思路，为专题教学提供新的模式.

[关键词] 题型框图;多元问题;专题复习;中考复习

问题提出

专题复习是中学数学教学的重要组成部分，是深化知识理解、提升学生能力的重要途径. 针对中考第二轮复习的专题复习课教学设计，要注重归纳题型特征，力求清晰地描述某类题目的概貌和细节，解决“这是一类怎样的题”这一问题;要注重阐明解题思路、方法等，努力寻求通性通法或专题专法，解决“这类题是怎样解的”这一问题;要注重教学方法，让学生更好地掌握解法，领会思想，发展能力，解决“这类题是怎么教的”这一问题. 如何有效地突破上述三个问题，一直是中考专题复习教学研究的内容和方向.

在杭州市各类考试中常出现以下试题：

（2016浙江杭州中考）已知关于x的方程=m的解满足x-y=3-n，

x+2y=5n， 其中0<n<3. 若y>1，则m的取值范围是______.

（2018杭州西湖期末）已知三个非负实数a，b，c满足a+2b=1，c=5a+4b，则b的取值范围是______，c的取值范围是______.

这些试题常为考试压轴题，其共同特征是题干中含有多个字母，解题目标为确定某个字母或者代数式的取值范围. 我们称这样的题目为代数中的多元问题. 以此类问题的解决为载体进行教学，可以提升学生的代数知识综合应用能力. 为突破此类试题，教师可以设计专题进行复习.

专题剖析

1. 专题初探

代数中的多元问题在初中阶段的源头是二元一次方程组，解题的基本思想是消元，即利用代入消元法或加减消元法得到仅含一个字母的等式（方程），从而解得未知数的值. 上述试题亦可通过消元，得到仅含一个字母的不等式或代数式，从而得到相应字母的取值范围或目标代数式的取值范围. 将专题的题型特征和解题思路初步归纳后如图1所示.

此类试题的题型特征为：题干含有多个等式，且等式中含有多个字母，求目标代数式（含单个字母）的（最）值或取值范围. 其解题要领为：会用代入消元法、加减消元法求出目标代数式的值，或者结合题目条件确定主元，将目标代数式转化为仅含主元的代数式，再根据已知或隐含的对主元的限制条件，利用不等式、函数等工具求得目标代数式的值或取值范围. 这样的解题方法，称为主元法.

2. 教学策略

此类专题涉及的知识面广，知识纵深程度大，可采用以下策略，结合学情，用1～3个课时进行教学.

（1）分层定级，选择性设计. 根据题设条件，确定下面不同层级的教学目标（如表1所示）.

[ 教学目标 对应层次 1. 能用消元法解二元一次方程组，能解基于二元一次方程组的代数式求值问题. A 2. 会解基于含参二元一次方程组的代数式取值范围问题. B 3. 会解基于多元方程组的代数式取值范围问题. C ][表1]

题设条件的难易程度及将目标代数式转化时利用代数模型的不同难度决定了各类试题的难度. 解数字系数的二元一次方程组是最常见、最简单的多元问题，所有学生都要会，所以将其层次设置为A层;含参问题对计算能力和解题目标的转化能力要求较高，所以将其层次设置为B层;求解基于多元方程组的问题需要一定的解题技巧，对问题的转化能力要求更高，此类题只针对学优生，所以将其层次设置为C层.

实施教学时，教师可以设置前测和后测，并根据实际学情，舍弃或者增加部分教学内容，进行选择性教学.

（2）精编例题，渐进性归纳. 第一课时的教学宜选用题型特征明显的、解题思路生动的典型试题作为各层次的例题，这样有利于学生掌握通性通法. 通性通法的归纳，可以以题型框图的建构为抓手，并注重两个层面的归纳：一是不同层次之间的“大”归纳，即通过不同层次不同框图的建构，加深学生对此类试题的整体认识;二是同一层次内的“小”归纳，即通过对同一框图的不断完善，加深学生对此类试题解题关键点、代数模型等的认识，促进学生深度学习，最终提升学生的能力.

设计意图 以二元一次方程组和简单的含参问题为课前检测题，能摸查学生对基础知识（解方程组）、基本方法（代入消元法和加减消元法）、基本思想（消元）的掌握情况，同时达到复习上述内容的目的. 假如学生掌握情况良好，则直接进入B层例题的学习;假如学生掌握情况不佳，则进入A层例题的巩固学习.

2. 例题教学（A层）

例1 若m，n满足3m+2n=2，

6m-5n=-5，则3m-7n=______.

解题思路：利用加减法得到3m-7n=-7.

问题1：本题的题设条件和解题目标是什么？

问题2：目标代数式与题设条件的关系是什么？目标代数式可以怎样得到？

问题3：请归纳本题的题型特征和解题思路.

教学活动：学生自主完成后核对答案. 在教师的引导下，学生交流思路，归纳题型特征、解题方法和解题思路，构建题型框图（如图2所示）.

设计意图 让热身前测未全做对的学生巩固代入消元法、加减消元法的基本步骤;让学生初步构建简单的框图，为后续框图的演变做铺垫.

3. 例题教学（B层）

例2 已知关于x，y的方程组2x+3y=4z，

3x+4y=-5z， 求的值.

解题思路：利用加减消元法得到x=-31z，

y=22z，则==.

问题4：本题的题设条件和解题目标是什么？

问题5：目标代数式中含有几个字母？字母之间是否有关系？怎样求出目标代数式的值？

问题6：请归纳本题的题型特征和解题思路.

本题的框图解析如图3所示.

教学活动：学生自主完成后展示答案和做法，并在教师的组织与引导下，交流思路，归纳题型特征和解题方法. 师生共同构建题型框图并逐步完善，如修改并完善纵向方框（解题步骤的归纳），增加箭头上下方的内容（解题方法、思想的提炼），补充右向箭头（关键步骤的具体化）.

设计意图 例2是本专题学习的重要一环，要让学生初步落实主元法的基本步骤和思想，经历框图的构建，进行题型特征和解题方法的归纳. 另外，教师还要强调主元法的（首要）重要步骤是确定主元，如本题中的字母“z”，然后用主元表示其他字母.

例3 已知关于x，y的方程组x+y=1-a，

x-y=3a+5， 给出下列结论：①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的解;②当x=y时，a=-;③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变;④若z=-xy，则z的最小值为-1. 请判断以上结论是否正确，并说明理由.

解题思路：由题意得x=a+3，

y=-2a-2，易知①错误，②③正确;对于④，z=（a+2）2-1，则z的最小值为-1，故④也正确.

问题7：本题的题设条件和解题目标是什么？

问题8：题设条件含有几个字母？可以将哪个字母作为主元？

追问1：你能用主元表示其他字母吗？

追问2：④中为确定z的最值，可以将其进行怎样的转化？

问题9：你能画出本题的题型框图吗？

本题的框图解析如图4所示.

教学活动：学生自主完成后展示答案和做法. 教师组织学生自主建构框图，然后交流展示，并共同完善框图，即除了例2中的三个方面外，再补充右向箭头（转化目标代数式所利用的代数模型——二次函数）.

设计意图 以典型的含参方程组问题为例题，让学生继续巩固主元法;让学生经历框图的演变和完善过程，加深对专题的认识. 主元法最困难的步骤是转化目标代数式，此例将目标代数式转化为关于主元的二次函数，从而确定取值范围，有利于加深学生对函数思想、代数模型的认识.

4. 例题教学（C层）

问题11：目标代数式中含有几个字母？ 可以将哪个字母作为主元？

追问1：你能用主元表示其他字母吗？

追问2：如何确定目标代数式的取值范围？

追问3：如何确定主元的取值范围？

问题12：你能画出本题的题型框图吗？

本题的框图解析如图5所示.

教学活动：学生合作完成后，交流做法和思路. 教师组织学生建构框图，然后交流展示，共同完善框图，即除了例3中的框图内容而外，还补充了纵向方框（新增“确定主元取值范围”这一步骤），修改了右向箭头（增加了确定主元取值范围和目标代数式取值范围所用到的代数模型：不等式（组）、函数），增加了箭头左右方的内容（转化这一重要思想）.

设计意图 多元方程组问题，实质上也是含参方程组问题，只不过它们是较难的、非明显的含参问题. C层例题的设置，旨在让学生进一步掌握主元法，体会问题解决过程中不同的操作细节，引导学生进行深度学习，从而发展能力. 例4框图（即图5）的建构新增了三个内容：（1）新步骤，即增加了“确定主元取值范围”这一步骤;（2）新模型，即主元取值范围和目标代数式的取值范围的确定利用了不等式（组）、一次函数模型;（3）新思想，即把多元方程组转化为含参方程组，这也是主元思想的深化，从中也能说明C层例题是B层例题的纵向延伸，而确定目标代数式的取值范围时利用不等式（组）或一次函数模型又能让学生进一步体会转化思想. 例4是B层例题的自然延续，通过例题的解决和框图的建构，学生能于解题思路生成处、难点突破处、能力发展处触发学生深度学习，并能确保学生能力发展的一致性——提升解决问题的能力和对代数模型的认识.

问题13：本题的题设条件和解题目标是什么？

问题14：目标代数式中含有几个字母？ 可以将哪个字母作为主元？

问题15：可以将目标代数式转化为什么模型？

问题16：如何确定字母x的取值范围？

追问1：在确定字母x的取值范围时，可以将哪个字母作为主元来表示x？

追问2：主元n的取值范围如何确定？

追问3：在确定主元n的取值范围时利用了什么代数模型？

问题17：你能画出本题的题型框图吗？

本题的框图解析如图6所示.

教学活动：学生合作完成后交流做法和思路;教师组织学生建构框图，然后交流展示，共同完善框图.

设计意图 例5框图（图6）与例4框图基本一致，但在细节的处理上有所不同，比如字母取值范围的确定，需多次利用主元思想，选用不同的主元（y→n→x→m）;目标代数式的取值范围的确定利用的代数模型是反比例函数. 这些都是此题的难点，在学生经历前面几道例题的学习，对多元问题的解决已经具有一定经验的前提下，教师引导时的设问（问题13～17）可以直接以主元法的关键步骤作为术语提问，从而突破难点. 通过例5的学习，学生可以进一步掌握多元问题解决的通法，体会主元思想.

例6 若x-1==，则x2+y2+z2的最小值为（      ）

A.3      B.      C.      D.6

解题思路：设x-1===k，则x=k+1，y=2k-1，z=3k+2. 所以x2+y2+z2=（k+1）2+（2k-1）2+（3k+2）2=14k2+10k+6=14