注重通法　建构模型　提升素养

[摘  要] 代数教学中既要落实学生运算能力的培养，又要渗透整体观念、代数结构. 几何教学中既要关注基本图形及结论，又要关注结论中所蕴含的数学思想和数学方法. 2022年杭州中考卷第23题完美体现了代数与几何相结合.

[关键词] 数学模型;运算能力;核心素养

近几年杭州中考解答题的压轴题都是代数几何综合题，代数几何综合题对学生数学运算、逻辑推理、数学建模、直观想象等素养都提出了较高的要求. 这就要求大家平时要稳扎基础、善于反思小结，注重符号运算，理解运算对象、探究运算意义、优化算法;注重基本图形，善于从较复杂的综合的图形中分解出基本图形;理解基本图形所对应的数学结论，在探索数学结论的过程中体会蕴含着的数学方法和数学思想，注重图形的联想，关注知识链的形成，关注一题多解，以达到较完善的知识体系，形成良好的认知结构. 下面以2022年杭州中考卷第23题为例，谈谈自己的解题感悟.

试题呈现

（2022年杭州中考数学第23题）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH.

（1）如图1，若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积.

（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K

①求证：EK=2EH;

②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1，S2. 求证：=4sin2α-1.

解法探究

本题以正方形为背景设置问题，图形属于比较常见的类型，题干精炼，层次清晰，将正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等核心知识融合在一起. 各小问在知识点上互相连贯、相互关联;在能力要求上逐步递进，环环相扣，富有层次.

1. 关于第（1）问

第（1）问已知AB=4，点E与点M重合，可得AE=BE=2，又由AE=2BF，得BF=1，自然联想到利用勾股定理可得EF2=12+22=5，最后得到正方形EFGH的面积为EF 2=5. 此题重基础，低起点，大部分学生能轻松解答，切实回应了“双减”政策的初衷，提高学生的学习自信心. 同时，此题又彰显了数学学习的一般规律，先特殊后一般，而中点在初中几何教学中又具有“举足轻重”的特殊地位，对应着代数式教学中的特殊值.

2. 关于第（2）①问

方法1：如图3，证出△AEK∽△BFE，所以==2，即EK=2FE=2EH.

方法2：如图4，过点H作HN⊥AB交AB于点N，易证△HNE≌△EBF，得到NE=BF=AE，EH=EF. 又因为NH∥AK，所以==，即EK=2EH.

方法3：利用∠BEF=∠K，得到sin∠BEF=sin∠K，即=，所以有==，所以EK=2EF=2EH.

求证EK=2EH，EH又是正方形的其中一边，较容易想到找到与EH相等的线段，再找出这条线段所在的三角形与线段EK所在的三角形是否相似，最后利用两个三角形相似的对应边之比求证，如方法1，这是大部分同学能首先想到的方法;还可以联想到利用“平行线截分线段成比例”得到线段的比值，所以先通过添加辅助线构造平行，再根据已知条件证出=，如方法2;有时在没有思路的情况下可以看看下一小题的结论中表示的是什么，如此题因sinα的提醒，还可以尝试表示出相等的角的不同函数值，建立等式后再进行变形得到想要的线段的比值，如方法3.

3. 关于第（2）②问

第（2）②问中，在限定条件下，求证=4sin2α-1，难度较第①问有所提升. 要求学生具有一定的逻辑推理能力、几何直观能力和代数运算能力.

分析思路一：利用比值求证.

求图形面积比，特别是出现三角形，首先考虑到的知识点是利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方. 图中能快速锁定△IHK≌△JGF，所以S1=S△KHI. 求，即求，自然会联想到通过求而来. 这两个三角形可证“斜A型”相似，于是可以用下面的方法求证.

方法1：如图5，易证出△IHK≌△JGF. 由EK=2EH（（2）①已证），所以设EH=HK=1. 已知∠AEK=α，可以得到AK=EK·sinα=2sinα. 由△AEK∽△HIK得到==

这两个方法都用了整体思想，解题过程简洁明了，但对学生思维要求比较高，尤其是面积比恰好能转化成某一个角的三角形函数，这对学生在复杂图形中处理三角函数提出了更高的要求，导致很多同学在此出现了思维上的卡顿，造成了解题困难.

分析思路二：利用线段计算面积求证.

求图形的面积比，还可以利用条件计算出图形的面积，再求比值. 求图形的面积，常规思路是用公式求出规则图形的面积或用割补法求出不规则图形的面积. 此题中关键线段的长度没有给出，不妨设未知数. 为了计算方便且因相等的线段较多，还可以设单位“1”. 根据已设关键线段的长度，用勾股定理或三角形相似可求出其他线段的长度.

方法3：如图6，因为△AEK∽△BFE，所以设BF=1，BE=x，则AE=2，AK=2x. 由此得到FG=EF=，S△AEK=2x，S△BEF=x，于是得到=

2=，所以S1=. 易证出△IHK≌△JGF，得到==-1=-1=-1，由sin∠EFB=sinα=，得到4sin2α-1=-1. 最后得到=4sin2α-1.

分析思路三：利用三角函数计算面积求证.

此题给出一个锐角α的条件，且要证的结论中涉及三角函数，所以考虑用三角函数值来表示线段的长度，进而求出图形的面积.

方法5： 设正方形EFGH的边长为1. 利用∠FJG=∠KIH=∠AEK=α，可得GJ=HI=，所以S1=. 因为tanα=，所以S1=. 又因为AE=2cosα，AK=2sinα，所以S△AEK=2sinαcosα，最后得到==-1=-1=4sin2α-1.

方法6：如图8，设BF=1，则AE=2. 得到AK=2tanα，所以S△AEK=2tanα. 又因为EB= tanα，所以得到FG=EF=，GJ=. 所以S1===，最后得到==-1=-1=4sin2α-1.

用三角函数表示线段的长度，若出现在选择题、填空题或较简单的解答题中，学生一般都会表示. 但在较复杂的题目中，当需要表示的线段较多时，很多学生可能会因为对这种形式不熟悉而不会使用这样的方法，这种方法显然对学生的要求更高.

上述方法中不管是怎样的思路，最后求时都会转化为求=-1.

分析思路四：对于几何题，添加辅助线是常见的解题途径. 当遇到不规则四边形时常用的方法是割补法，所以可以尝试连接IE，之后有△IEH和△IKH全等，还能得到IE=IK. 不规则四边形AEHI被分割成△AEI和△IEH，再去挖掘这两个三角形之间的联系.

方法7：如图9，连接IE，设∠K=β. 因为∠AEK+∠K=90°，∠AEK=α，所以sinα=cosβ. 易证△IEH≌△IKH≌△JFG. 利用△AEI和△KEI等高，得到=，即=，所以==2×=2cos∠AIE=2cos2β= 2（2cos2β-1）=4cos2β-2=4sin2α-2. 所以===+1=4sin2α-2+1=4sin2α-1.

方法7用到了余弦二倍角公式，对于初中的学生来说显然要求过高，但对于少数已在研究高中数学的学生则可以尝试进行思考.

当然，连接IE后也可以用思路一和思路二进行求证，这里就不一一分享了.

1. 关注基本图形，突出数学模型意识

基本图形一般具有典型性、抽象性、综合性等特征，当遇到较复杂或综合性较强的几何图形时，首先要从复杂的几何图形中剥离出解决此问所需要的基本图形和基本数学模型，化繁为简，化陌生为熟悉，化未知为已知. 本题第二问中，我们可以根据已知图形识别出平时解题过程中常用到的模型：等高模型（△AEI和△KEI等高）、“A型”或“反A型”模型（△AEK与△HIK相似）、“8型”或“反8型”模型、一线三垂直模型（△AEK与△BFE相似）、中位线模型（NH是△AEK的中位线）等. 能想到什么数学模型，对于模型的熟悉和掌握程度都源于平时学习经验的积累. 教学中教师要善于总结基本图形，归纳数学模型，加强基本图形和基本结论之间的联系，从而提高学生的解题能力和学习兴趣，培养学生的分析能力和学科素养.

2. 注重运算习惯，突出数学运算素养

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养. 主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果[1]. 此题第一问求面积，利用勾股定理绝大部分学生可以正确解出答案. 最后一问求证面积比值，很多学生看到4sin2α-1就已信心不足，出现畏难情绪. 此题的多种解法中多次利用三角函数表示一条线段、一个图形的面积，有些学生解题思路清晰，但是算到后来由于运算烦琐而造成计算出错. 在平时的教学中，有些教师往往只要求学生列出算式或者方程，计算这部分就直接省略了，认为计算不是此问题解决的重点，最后口头说一句“同学们课后去计算”. 显然，这样忽视了运算方法和运算结果的联系，不利于发展学生的运算素养. 所以教师要高度重视培养学生的运算能力，引导学生树立科学的运算观念，帮助学生形成良好的运算习惯，发展学生的数学思维[2].

3. 重视符号和概念，培育数学抽象思维

本题的最大亮点是最后一问=4sin2α-1：用三角函数值来表示一个四边形与一个三角形的面积比. 这样的一种表示方式，让很多学生一下子不能理解. 如果比值是一个具体的数值，那学生的心理上会接受很多. 但细想，有关两个图形的面积比的问题我们遇到过很多：如2018年杭州中考卷23题第3小题求四边形和三角形面积比的最大值，如图10，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设=k. （1）求证：AE=BF;（2）连接BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β，求证：tanα=ktanβ;（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值. 学生无法熟练运用三角函数进行表达的主要原因是教师在教学锐角三角函数时对其概念没有进一步地巩固和应用. 学生只停留在牢记锐角三角函数的概念及特殊角的锐角三角函数值，对于锐角三角函数的计算，主要还是已知三角函数值和其中一边的长，求出其他边长或角. 仰角俯角问题中出现的角度往往也是30°、45°、60°居多，即使出现的不是特殊角，题后都会备注这些角的正弦值、余弦值、正切值，进而求出近似值. 学生平时更能接受数的表示，对于用符号表示的意识不够强烈. 所以，这就要求教师在平时的教学中不能一味地为了考试而教学，要重视符号意识的培养和数学概念的深入.

4. 开展变式教学，发展数学核心素养

学生的学习任务不只是记忆大量的学科知识与方法，还需要通过对题目进行适当的变式或拓展，把握知识的本质，即透过现象看本质. 经常进行变式训练，可以使学生的思维达到举一反三、触类旁通的效果，进而减轻学生对学习几何的畏惧心理.

在讲解例题前，为了降低知识点之间的梯度，让更多的学生能理解题意，可以先设计一道引题.

变式1（引题）：如图11，在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH.直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K. △FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1，S2，BF=1，AE=2.

（1）若∠AEK=60°，你能得到哪些线段的长度和哪些图形的面积？你能求出S1和S2吗？

（2）若∠AEK=α，你能表示出哪些线段的长度和哪些图形的面积？你能表示出S1和S2吗？

在直角三角形中，第一小题先给出具体的角度，特别是特殊角度30°、45°、60°，这是学生最能接受且最喜欢的度数. 利用直角三角形中特殊角度的三边关系或锐角三角函数等知识可以求出另外两条线段的长度及简单图形的面积. 第二小题用α表示角度，学生思考后用锐角三角函数来求线段的长度和图形的面积. 如此安排，体现了从特殊到一般的数学思想，符合学生认知的一般规律. 在这样的铺垫下再出示例题，由浅入深，思路更顺.

待例题分析讲解之后，教师还可以准备类似的或略有提高的题目，帮助学生再次梳理相关的数学方法和数学思想.

变式2（引申）：如图12，点E，F在正方形ABCD的边上，且AE=2ED，DF=2FC，AF交BE于点G，则=_____.

此题一看就是正方形中的“十字架”图形，首先能够得到AF⊥BE，要求两条线段的比值，入手角度不同，则方法不同. ①联想到证明勾股定理的弦图（如图13），再巧设数字，特别适用于选择题和填空题，能够快速得到答案. ②联想到“8型”相似（如图14），可巧设求比值. ③联想到三角形面积共边（如图15），可巧设求值. ④由于直角三角形的出现，还可以联想到用三角函数作答（如图16）.

开展变式教学对教师的要求较高，课前需精心备课，精选例题，用一道题及多个变式把所有要复习的知识点都串联在一起. 因此，作为数学教师，我们要不断地加强自身的研究能力和创新能力.

参考文献：

[1]鲍建生，章建跃. 数学核心素养在初中阶段的主要表现之二：运算能力[J]. 中学数学教育，2022（11）：3-8

[2]胡歧曦. 基于核心素养  培养运算能力[J]. 中学数学教学参考，2020（Z2）：36-38.

作者简介：沈晓音（1981—），中学一级教师，从事初中数学教育教学工作.