厘清结构本质,变式驱动思维

[摘  要] 相似三角形是初中几何的重要组成部分，相似三角形的知识，一方面来源于相似三角形本身，另一方面，在于它与全等图形、相似图形等都紧密联系. 文章基于整体理念，通过问题驱动，对边、角、三线的特殊化，研究相似基本图形的各种变式，或强或弱，让学生在变式过程中厘清结构本质，自主建构知识网络，提升思维品质.

[关键词] 图形变式;结构本质;相似三角形

复习课会根据学生的认知特点和规律，巩固梳理已学知识、技能，促进知识系统化，以提高学生运用知识解决问题的能力. 从认知任务上看，复习课主要是巩固、消化旧知，建构知识网络;从认知过程上看，复习课一方面要把多个相关知识进行综合整理，形成认知结构，另一方面需要帮助学生进行数学知识的综合应用，以及数学思想方法和解决问题策略的提炼，并在知识联系的再理解、知识迁移与应用的再体验的过程中，提升学生的思维能力.

内容分析

初中的平面几何主要研究图形在全等变换和相似变换下的不变性质，即注重图形本身结构的定量研究和注重图形变式的定性研究. 相似三角形是初中几何的重要组成部分，相似三角形作为一个几何对象，本身包含“定义—判定—性质—应用”的内容;另外，相似三角形作为一种几何工具，与全等图形、相似图形、位似图形等都联系紧密，需要掌握“A型”“8型”“母子相似型”等相似的基本图形. 而由于新授课时受时间限制，研究有限，因此在复习课上应注重知识的综合研究（如图1），如图形的变式.

学情分析

学生在上新授课、基础复习课时，已经学习了相似三角形的定义、判定、性质、应用，也积累了“A型”“8型”“母子相似型”等相似的基本图形，具备了一定的基础知识和基本技能，但都比较零散和浅显，不能进行综合应用，更不用说在此基础上进行相似图形变式的系统研究. 因此，本课例立足基础，引领学生探索研究相似图形的方法，积累研究经验、厘清研究思路，培养学生发现问题、提出问题并根据所学分析问题、解决问题的能力.

教学设计

1. 问题驱动，引领变式

问题1：已知△ABC中，AB=10，AC=8，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=2，若以A，D，E为顶点的三角形和△ABC相似，求CE.

预设（如图2、图3）：

设计意图  开门见山，直入主题，以便为后续思维的展开提供足够的时间、空间. 对于“正A型”“斜A型”这两种常见的“A型”相似基本图形，学生容易解决，意在唤醒学生的思维起点.

追问：其他条件不变，若点D，E分别在边BA，CA的延长线上，你还能求CE的长吗？

预设（如图4、图5）：

设计意图  “8型”的两种常见相似图形，学生也比较熟悉，只因不够严谨，容易忽视. 由此，相似三角形的简单变式就产生了一题四图，既是对基础知识的回顾，也是变式思维的开始.

问题2  （线段数量的特殊化）：已知△ABC中，AB=10，AC=8，点D在边AB上，若△ACD∽△ABC，求AD.

预设：根据图6，由相似的性质且AC为公共边，可得AC 2=AD×AB，即可求得AD的值.

设计意图  图6的“特A型”实际上是图3的特殊化处理，即AE=AC，本质上也是相似图形的一种变式，对学生来说，相似三角形公共边带来的比例中项，是需要熟练掌握的. 而这里引出“特A型”相似是为后续进行变式提供便利.

追问1（角的特殊化）：已知△ABC中，AB=10，AC=8，点D在边AB上，若∠ACB=∠CDB=90°，如图7，有几对相似三角形？有几个比例中项的数学式子？你还能求出哪些线段的长度？

预设：△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，△ACD∽△CBD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB，CD2=AD×BD. 根据这些关系，未知的线段均可求得.

设计意图  母子相似三角形是一个基本图形，是“特A型”角度特殊后的特例，是初中几何的三大结构之一，多用于几何图形的定量研究，涉及勾股定理、等面积法、相似三角形和锐角三角函数四种常用的求线段长度的方法，可见其作用和价值.  而这里的前后变式联系，不仅加深了学生对“母子相似型”的认识，也让学生认识到它的作用.  另外，这里还可以由AC 2=AD×AB和BC 2=BD×AB证明勾股定理，这是学生没有想到，也不曾联系过的，从这一层面让学生体会到知识的融会贯通和互相联系需要从整体和发展的视角来看待，提升学生的创新意识.

追问2（增加三线“丰富化”）：如图8，已知△ABC中，AB=10，AC=8，点D在边AB上，若E是AC中点，连接ED交CB的延长线于点F，找出与△CDF相似的三角形. 你还能求出哪些线段的长度？

设计意图  因为是基础复习课，思维的提升不能总是停留在浅层，而应在层层变式中综合上升. 为了提升学生的综合应用能力，可以将几何图形的结构进行“丰富化”处理，常见的是增加三线，构造新图形. 由角特殊得到的母子型相似，再增加三角形三线中的中线，带出这样一个综合性问题，而它的解决正好融合了所复习的这些基本图形（如图9呈现的一种方法），让学生感受到复习课不再是一味地“炒冷饭”，而是新颖的，能触发深度思考和提升思维的.

追问3（线段位置的特殊化）：如图10，在△ABC中，若AB=AC=10，△ACD还能与△ABC相似吗？可能存在与△ABC相似的三角形吗？若存在，能求出此时AD的长度吗？需添加什么条件？

设计意图  如图10，将BC边轴对称后得DC，则△BCD∽△BAC，显然，这不足以求出AD的长度，需要再特殊化，如线段位置的特殊化（其实就是将三角形的高线变为角平分线），CD平分∠ACB，或角特殊化，如∠A=36°.  这样设置问题，一方面可以培养学生如何研究几何图形——既然角可以特殊化，那么边也可以特殊化，甚至还可以边、角同时特殊化. 不仅如此，同样是角特殊，∠ABC可以特殊，∠A也可以特殊;同样是边特殊，可以AB=AC，也可以CA=CB，还可以DA=DC. 授之以鱼，不如授之以渔，这样的思维方式让学生正向迁移，自己都能发现问题、提出问题，使学生真正成为学习的主体. 另一方面，借助边、角特殊化，让学生在添加条件、证明相似的过程中，根据图象最近联想黄金等腰三角形（如图11、图12）和等腰直角三角形（如图13）.

设计意图  “特A型”通过条件特殊化，可进行变式，那么这种思维一定也可以迁移到“斜A型”“正A型”. 这里先对“斜A型”展开变式，在特殊化角后，可找出三组共8对相似三角形，尤其在证明△AED∽△ABC和△DOE∽△BOC时，需通过对应边比例的转换才可以证得. 因此这个变式一方面意在巩固相似三角形的判定，另一方面也给学生联想的余地，类比之前的研究方法——除了角特殊，还可以边特殊，如AB=AC;可以连线，构成新的三角形，是否还可以添加背景，如圆. 更深一层讲，增加一条高线后，图形结构更加复杂，也更加丰富，产生了新的相似三角形.  此时再增加量化条件，就可以求得所有几何量.

追问：在图14中，一定要满足∠BDC=∠BEC=90°，才能证明△AED∽△ABC吗？

设计意图  指引学生看清问题本质，只需要∠BDC=∠BEC（如图15），一样可以证明△AED与△ABC相似. 既可以特殊化、强化条件进行变式，也可以看清本质弱化条件进行变式，再一次让学生获得新的研究方法和新的研究经验.

问题4：如图16，在△ABC中，BC=10，BC边上的高为10，点D，E分别在边AB，AC上，点H，G在边BC上，若四边形DEGH为正方形，求正方形DEGH的边长.

设计意图  这是延续前面三个问题的研究方法，对“正A型”进行变式，如果学生在解决问题3时已经联想了“正A型”的变式，就可以把问题4前置. 学生自己提出的问题，更能激起解决的兴趣，这是课堂最好的资源.

追问1：你能对图16进行相似变形吗？

预设：若四边形DEGH为矩形，如图17，当DH为何值时，矩形DEGH的面积最大？

设计意图  思维能力的提升，不是一蹴而就的，很大程度上是通过实践和感悟来实现的. 相似图形的变式，拓展了知识和方法运用的广度和深度——从正方形到矩形，学生借鉴前面的方法和策略，类比迁移，将条件弱化，抓住相似的本质，为后续发散再做铺垫.

追问2：对于图17，若对其进行变式，你有怎样的想法呢？大胆说一说.

设计意图  由最近联想，学生可能把角特殊化，如∠BAC=90°（如图18）;把边特殊化，如AB=AC（如图19）;或者把矩形恰好分割成若干个小正方形（如图20）. 而后在这些图形的基础上又可以再强化条件或弱化条件，得到新的特殊图形——这里生成的东西学生一定印象深刻，不仅能获得成就感，同时也能提升自信心.

在学生大胆猜想、变式后，教师可指导纵向叠加：如图21，在△ADE中，使矩形D1E1G1H1的面积最大，则D1E1在△ADE的什么位置？D1E1长是多少？继续叠加，得到DnEn，用含n的代数式表示DnEn的长. 这样的变式变得更综合，但学生并没有觉得难，而是在层层变式中早已看清了本质，实现超越自我的复习效果.

2. 框图总结，系统整理

如图22所示.

设计意图  教学有法，教无定法，贵在得法. 学生学习的知识不少，但都处于零散的、碎片化的状态，教师要引导学生把课堂中层层递进获得的碎片化的知识整体化、结构化、系统化，并适时深度化和迁移化，在对图形要素关系的深入理解和对图形结构的“整体把握”后，使得思维更完善、更严谨. 此处，将课堂中的基本图形、生成的变式图形系统地整理在一起，让学生“一眼万年”，进一步看清本质，把握内在联系，提升思辨能力.

教学反思

1. 基于学情，精心设计变式

数学复习课教学过程的设计，既要有利于学生加深理解和系统掌握所学过的知识，提高数学思维的能力和综合运用知识解决问题的能力，同时又要有利于增强学生学习数学的信心，有利于教师了解学生和改进教学工作，为学生进行后续学习奠定良好的基础[1]. 本课例便是基于学生的学习情况——已经学习了相似三角形的所有基础知识，但还比较零散、碎片化，不清楚最终如何应用这些不完整的知识和技能，选择相似三角形最基本的相似图形，然后分别对其边、角特殊化，添加三线等，或强或弱，变式出如图22 的几乎涵盖了所有“A型”的变式图形. 当然还可以与图形变换相结合，比如轴对称、旋转、平移后会出现更丰富的教学资源.

2. 基于理念，提升思维品质

《普通高中数学课程标准（2017版）》强调：要突出数学的整体性，关注统一主线内容的逻辑关系，关注不同主线内容之间的逻辑关系，关注不同数学知识所蕴含的通性通法、数学思想，使学生的学习过程成为一个在通性通法、数学思想指导下的具有系统性、连贯性的有机整体[2]. 这种要求，对中学阶段的数学教学都是一致的. 初中几何的三大基本结构：“角平分线—平行线—等腰三角形”“母子相似三角形”和“A型”，分别用于图形的定性研究、定量计算（涉及勾股定理、等面积法、相似三角形和锐角三角函数四种常用的求线段长度的方法）和变化研究. 本课例基于这样的整体理念，通过相似基本图形的各种变式，厘清相似背后的结构信息，让学生感悟与总结几何图形的研究方法、研究策略，积累解决几何问题的经验，真正提升思维能力和思维品质.

参考文献：

[1]许芬英. “浙江省中小学学科教学建议”案例解读：初中数学[M]. 杭州：浙江教育出版社，2015.

[2]郑瑄. 整体观下“平行线”教学的再思考[J]. 中学数学教学参考，2021（32）：12-16.

作者简介：骆寅飞（1986—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作.