分步关联突破,核心解法探究

作者简介：李晓园（1987—），本科学历，中小学一级教师，从事初中数学教学与研究工作.

[摘  要] 二次函数是初中数学的核心知识，以其为背景的综合题在中考和模拟考中十分常见，探究学习时要求学生掌握分步突破、关联探究的方法，并进行解后总结，开展模型构建、拓展探究，形成类型问题的解法策略. 文章以一道二次函数综合题为例，开展解题探究，并围绕核心之问进行总结反思，提出相应的教学建议.

[关键词] 二次函数;面积比例;模型;相似三角形

试题探究

1. 试题呈现

试题  （2022年宿迁中考）如图1所示，二次函数y=x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC，AC. 若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O，A两点均不重合.

（1）求二次函数的表达式.

（2）①求证：△OCD∽△A′BD;

②求的最小值.

（3）当S=8S时，求直线A′B与二次函数的交点的横坐标.

2. 解法探究

本题为二次函数与几何相结合的综合题，涉及三角形折叠. 题设有三问，分别为求函数表达式，证明三角形相似及求线段比的最小值，探究面积关系，数形结合、分步突破是解题的关键.

第一步，利用待定系数法求函数表达式.

（1）因为二次函数y=x2+bx+c与x轴交于O，A两点，所以将O，A两点的坐标分别代入二次函数表达式，可得c=0，

8+4b+c=0，解得b=-2，

c=0，所以二次函数的表达式为y=x2-2x.

第二步，利用折叠特性进行证明、推导.

（2）该问有两个小题，破解过程如下.

①由二次函数的表达式可推知其顶点C的坐标为（2，-2），抛物线的对称轴为直线x=2. 根据抛物线的对称性可知OC=AC，于是有∠CAB=∠COD. 因为△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，由折叠特性可知△ABC≌△A′BC，所以∠CAB=∠A′，AB=A′B. 所以∠A′=∠COD. 又∠ODC=∠BDA′，所以△OCD∽△A′BD.

②因为点C为定点，点D的位置不确定，故CO的长为定值. 又由△OCD∽△A′BD，可得==，所以要求的最小值，只需求出DC的最小值即可. 由两点之间的距离公式可知OC=2. 由题意设点D的坐标为（d，0），由两点之间的距离公式可得DC==. 因为点D与O，A两点均不重合，则0<d<4. 对于DC2=（d-2）2+4，可知抛物线开口向上，故函数在顶点处取得最小值，即当d=2时，DC取得最小值，且最小值为2. 所以的最小值为=.

第三步，相似转化破除面积比值关系.

（3）该问设定为两三角形的面积关系，即在已知S=8S的情况下，求直线A′B与二次函数的交点的横坐标，解题的核心是构建面积模型，转化面积关系条件. 可分三步进行，即先转化面积关系条件推导出关键点的坐标，然后求直线A′B的解析式，最后求直线A′B与二次函数的交点的横坐标. 已知S=8S，所以=8. 此条件涉及△OCD和△A′BD，结合第（2）小题可知两三角形为相似关系，即△OCD∽△A′BD，它们构成“8”字相似模型. 结合“相似三角形的面积比等于相似比的平分”，可推得==2. 又OC=2，所以A′B=AB=1. 所以点B的坐标为（3，0）. 设直线BC的表达式为y=kx+b，结合点B和点C的坐标，利用待定系数法容易求得

k=2，

b=-6，所以直线BC的表达式为y=2x-6. 设点A′的坐标为（p，q），则线段A′A的中点的坐标为

，. 由折叠性质可知该中点在直线BC上，满足直线BC的表达式，所以有=2×-6，解得q=2p-4. 由两点之间的距离公式，可得A′B==1，即（p-3）2+（2p-4）2=1，解得p=2或p=. 当p=2时，q=2p-4=0，此时点A′的坐标为（2，0），显然不符合题意;当p=时，q=2p-4=，此时点A′的坐标为

，，符合题意. 结合B（3，0），可求得直线A′B的表达式为y=-x+4. 联立

y=-x+4，

y=x2-2x，解得

x

=，

y

=;

x

=，

y

=.所以直线A′B与二次函数的交点的横坐标为和.

解后剖析

1. 解法剖析

此题为二次函数与几何的综合题，涉及两点之间的距离公式、中点坐标公式、相似三角形的判定与性质、折叠特性、二次函数的性质等. 此题的第（2）（3）问为核心之问，其中第（2）②小题在求线段比值最值时，采用了转化的方法，即先将线段比值转化为线段最值，然后借助两点之间的距离公式转化为关于点坐标参数的函数，再利用二次函数的性质确定最值. 而第（3）问则是关于面积比值关系的问题，上述破解方法的核心是利用三角形相似将其转化为线段关系，推导出关键点的坐标，进而联立方程求解.

2. 模型解读

此题的第（3）问实则为二次函数背景下的面积比例问题，可利用三角形的相似性质来转化面积比例条件，即把面积比值转化为线段比值. 面积问题中的相似模型有两种：一是“A”字相似模型，二是“8”字相似模型，上述解法利用的是“8”字相似模型. 利用模型进行转化需分两步：第一步，确定相似对应关系;第二步，确定线段比例关系，推导面积比例. 下面结合模型进行深入讲解.

（1）“A”字相似模型

如图2所示，由AD∥CM，可证得△ABD∽△MBC. 再由相似性质，可得=，所以=

2=

2.

（2）“8”字相似模型

如图3所示，由AB∥CM，可证得△ABD∽△MCD. 再由相似性质，可得=，所以=

2=

2.

拓展探究

上述所示的面积比例转化方法可视为相似转化策略. 对于一些特殊的面积比例问题，还可以采用等底或等高进行转化，即基于面积公式，分析三角形的底或高关系，将面积比例转化为线段比例.

1. 等高转化

如图4所示，△ABD和△ACD可视为共顶点A的三角形，AH为两三角形的高，即两三角形高相等，于是有=. 另外，实际求解时也可借助铅垂模型，将三角形进行分割，则构建两三角形高拼接，然后进行等高转化.

2. 等底转化

如图5所示，△ABD和△ACD可视为共底边AD的三角形，即底边相等，于是分别过点B和点C作AD的垂线，设垂足分别为M，N，则=.

3. 实例解读

如图6所示，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），C（0，3），B三点，且OB=OC.

（1）求抛物线的解析式及其对称轴;

（2）P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3 ∶ 5两部分，设直线CP与x轴的交点为E，求点P的坐标.

解析 （1）容易求得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，对称轴为直线x=1.

（2）分析可知直线CP把四边形CBPA分割为△PCB和△PAC两部分，使用铅垂模型分别求两三角形的面积，得S=BE×（y-y），S=AE×（y-y）. 显然两三角形的高相等，则=. 由题意可知=或=，于是可求得AE=或AE=，即满足题意的点E的坐标为

，0或

，0. 于是可求得直线CP的表达式为y=-2x+3或y=-6x+3. 联立直线CP与抛物线的解析式，可求得x=4或x=8，故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）.

评析 上述第（2）问在转化面积比例条件时，融合铅垂模型和等高模型，将面积比例转化为线段比例，进而推导出关键点的坐标. 可见，在利用模型转化面积比例的过程中，需要明晰两三角形的底和高，确定两者的关系，并在此基础上结合面积公式进行转化.

教学反思

上述基于一道二次函数综合题开展解题探究，并对核心之问的解法策略进行深入解读，探究模型，结合实例加以强化，其探究思路具有一定的参考价值，下面进一步开展教学反思.

1. 分步突破，关联思考

二次函数综合题一般有多个小问，小问之间通常相互独立又存在一定的联系，解析过程整体上可采用分步突破的策略，即结合设问分别构建模型，结合条件逐个突破，同时关注小问之间的联系，合理利用每一问推导的结论拓宽思路、简化求解过程. 如上述破解第（2）问时，第①题为独立完成相似证明，而求解第②题时则充分利用第①题的相似结论，直接推导出线段比例关系. 教学中教师要引导学生掌握整体思考、局部分析的策略，将“分步突破”与“关联思考”有机结合，从而形成良好的解题习惯.

2. 把握核心，总结方法

破解二次函数综合题时，往往需要围绕问题核心开展深入思考，逐步拆解转化，从而让复杂问题简单化. 以上述第（3）问为例，解析时围绕面积比例条件构建模型，开展等面积转化，进而结合条件推导出关键点的坐标，最后确定交点的横坐标. 解后探究要善于把握解法核心，进行方法总结，并适度拓展，形成关联问题的解题策略. 即上述问题中关于面积比例条件的转化思路，形成了相似转化和等线段转化两大策略，并分别建立了对应的转化模型. 教学中，教师要引导学生进行解后反思，总结解题的方法和思路，并构建模型，形成类型题的破解策略.

3. 渗透思想，提升素养

二次函数综合题的破解过程可视为基于数学思想的分段构建，即在数学思想的指导下进行模型构建、条件转化、推理计算. 以上述考题的核心之问的破解为例，总体上采用了数形结合的破解策略，构建面积模型，转化面积比例条件，推导关键点坐标，分类讨论逐步求解. 其中渗透了数形结合、数学模型、化归与转化、分类讨论等思想方法. 在实际解题教学中，教师要注重思想方法的合理渗透，要让学生感悟数学思想的内涵，养成结合数学思想思考问题的习惯，从而逐步提升学生的数学素养.