求联求变重认知 学法指导贯始终

[摘  要] 基于“西蒙数学”理论，从认知心理学的角度思考，以学习者为中心设计“角的运算”认知工作单，提出几何规则课的教学要注重“知识求联、技能求变”，强调学法指导、重“教”到重“学”的转变.

[关键词] 西蒙数学;自适应学习;认知心理;学法指导;角的运算

课例背景

2020年12月，华南师范大学数学教师教育专家工作室与广州市王杰航名教师工作室、广州市郑燕名教师工作室联合举办西蒙数学研讨会，其主题为“认知心理学视角下的数学教学”，此课例是研讨会上的一节展示课.

教材内容分析

本节是义务教育教科书人教版《数学》七年级上册第4章“几何图形初步”第3节“4.3.2角的比较与运算”的教学内容. 角的和差、角平分线的定义性质等，是比较基础的几何知识点，有着广泛的应用，也是后续学习三角形、四边形等内容的必备基础. 本节课主要是通过对线段求值与角度求值的比较与归类，探索角的和差表示、角平分线的定义、性质及其应用. 因此，除了具体的知识技能外，还需要让学生感受类比的思想方法，为今后的学习打下基础.

学情分析

七年级学生初具抽象思维能力、逻辑思维能力，直观思维比较突出，模仿学习能力较强. 任教的7班，学习基础较好，经过3个月的磨合后，他们对数学的学习兴趣更加浓厚. 再结合他们的年龄和心理特征，可采用“问题解决”“题组教学”的形式贯穿课堂，尽可能多地让学生动手操作、运算、及时反馈，突出新知识的探索过程. 习题设置须注意梯度的设置，并搭建脚手架助其理解应用.

考虑到任教班学生的整体学习能力较好，将“角的比较与运算”的内容分2课时完成，在课程标准的基础上，适当增加拓展内容，促其深度学习. 在第1课时中，学生探究了角的比较、无图形背景的纯角度计算（含度、分、秒等单位）. 本节课是第2课时，在线段求值、角度的大小比较的基础上，学习角度求值，学生比较容易接受. 在学生对“利用和差、中点等特殊点的性质、方程思想”求线段，有所理解之后，再迁移到学习角度的求值就水到渠成. 同时，要把文字语言与图形语言匹配起来，对部分学生而言仍较困难，因此教学重点放在，通过类比，学习角的和差、角平分线的定义、性质及其应用. 解决无图问题时，辅以适当的示例，指引学生对文字语言、图形语言、符号语言的准确表达.

目标分析

1. 教学目标

（1）类比线段的学习方法，理解角的和差，发现、理解角平分线定义、几何意义及由其推出的数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行综合描述.

（2）在应用以上方法求角度过程中，体会整体思想、方程思想、分类讨论等思想方法.

2. 教学重点

类比线段的和差、中点性质，发现角度的和差表示方法、角平分线的定义、性质.

3. 教学难点

复杂图形中角的识别及和差表示，缺图时根据文字材料对应画出图形.

教学过程

1. 知识建构

（1）情境导入

①泊松分酒问题

设计意图  创设一个有趣味的问题情境，引发学生从事理到数理的思考，为学习新知识设悬念，激发求知欲. 为避免不良影响，课堂导入时将“分酒”改为“分水”.

提问：给出长度分别为15 cm、10 cm两条线段，你能画出多长的线段？

②用三角板画特殊角

将已知长度的两条线段叠合，可得到新长度的线段. 同样，将不同角的边叠合在一起，使其顶点重合，且其中一边重合，可得到新的角.

试用一副三角板画出尽可能多的特殊角（30°，60°，90°，75°，15°角除外）.

设计意图  利用实物进行教学，让学生充分动手操作，在观察、想象、展示等活动中，感受角的和差的产生过程.

（2）角的和、差

①如图1、图2所示，根据所画图形，识别角的和与差.

◆∠AOB是______与_______的和，记作∠AOB =______+_______;

◆∠ACB是_______与_______的和，记作∠ACB =_______+________;

◆类似地，∠HOG是______与______的差，记作∠HOG =_____ -______. ∠HFG是______与______的差，记作∠HFG =_____ - ______.

在∠AOB的外部OA左侧多画一条射线OD，则∠CO D=______+_______=_____ - ______.

②如图3所示，射线OC，OD在∠AOB内部，∠AOB=80°，∠AOD=60°，∠BOC=45°，求∠DOC的度数.

设计意图  通过示例演练、“例中学”，学生可以不必经过陈述性知识阶段而是通过程序式获得感知. 学生经过两个题目的仿照练习，在演练中不知不觉地明确角的和、差表示方法.

（3）角的平分线

类比线段中点，尝试说出角平分线的定义：__________________叫角平分线（二等分线）.

符号语言：如图4所示， 因为 FG是∠HFO的平分线，所以∠OFG=∠HFG=∠HFO，∠HFO=2∠HFG=______.

类似地，还有三等分线、四等分线、五等分线……n等分线.

设计意图  从线段中点到角的平分线，形成正迁移，发展学生合理猜想的能力，体会类比思想. 同时通过“几何模型—图形—文字— 符号”的学习程序，让学生多方位理解角平分线的性质.

2. 学习迁移

（1）已知∠AOB=80°，OM是∠AOB的平分线，则∠BOM=______.

（2）如图5所示，∠AOB=80°，若OC，OD，OE，OF是∠AOB的五等分线，则∠AOF=_______°，∠EOB=________°，∠COF=______∠DOB.

设计意图  第（1）题直接应用角平分线性质，第（2）题通过五等分线求角度、角之间的关系，体会角度的倍、分关系. “做中学”体现学生由模仿学习到再创造，在解决问题中体验成功的快乐，又能获得大量的隐性知识，增强题感，训练直觉思维，促进学生对知识的获取和认知技能的发展.

（3）已知∠AOB=80°，OM平分∠AOB，以射线OB为一边的∠BOC=30°，求∠COM的度数.

（4）已知∠AOB=80°，以射线OB为一边的∠BOC=30°，OM平分∠AOC，求∠COM的度数.

小结：__________________

设计意图  第（3）（4）题缺图，渗透分类讨论思想，当图形位置未定时，要考虑存在不同情况. 第（4）题改编于七年级《阳光学业评价. 数学》下册（广州市教育研究院研发）第119页中的问题探究“已知线段AB=8 cm，直线AB上有一点C，且BC=3 cm，M是线段AC的中点，求AM的长. ”从线段的分类迁移到求角度的分类，体会“角与角组合时，当角的一边位置不确定时，可以得到不同大小的角”.

（5）如图6所示，O是直线AB上一点，∠AOC=53°18′， 若OM，ON分别平分∠AOC、∠BOC. ①∠BOC=______;②∠AOM=______;③求∠NOM的度数;④题目中的∠AOC度数改为α°，其他条件不变，求∠NOM的度数.

小结：__________________

设计意图  本题源自人教版七年级上册数学教材第136页例1，将原题中的“∠AOC=53°17′”改为“∠AOC=53°18′ ”，同时增加用平分线求角度，改度数是为了降低计算对角平分线性质应用的影响. 第④问，让学生感受整体思想、从特殊到一般的思想，进一步理解出现双平分线时，局部角度的大小，不影响整体的结果.

3. 能力拓展

已知∠AOB内部有两条射线OM，ON，OM将∠AOB分成两部分，∠AOM ∶ ∠MOB =2 ∶ 3. ON也将∠AOB分成两部分，∠AON ∶ ∠NOB=4 ∶ 1，且∠MON=30°. 求∠AOM，∠NOB的度数.

设计意图  题目不配图，需根据文字材料对应画图才能解决问题，且涉及角度和差、比例等多个知识点，更能训练优等生的数学思维和规范表达能力. 形式不同的习题，培养学生解题的变通性、灵活性和创造性. 尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需求.

4. 总结与反思

求角的方法有：________________

以怎样的方式去研究角度求值：_________________________________

易错点：______________________

数学思想方法：________________

设计意图  引导学生自行小结本节课的知识要点及数学思想方法，使知识系统化.

5. 课后作业

（1）如图7所示，用“=”“>”或“<”填空.

①∠AOC_____∠AOB+∠BOC;

②∠AOC____∠AOB;

③∠BOD-∠BOC____∠COD;

④∠AOD____∠AOC+∠BOD;

⑤如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC____∠BOD.

（2）射线OC在∠AOB内部，下列选项不能判定OC是∠AOB平分线的是（      ）

A. ∠AOB=2∠AOC

B. ∠AOC=0. 5∠AOB

C. ∠AOC +∠BOC=∠AOB

D. ∠AOC =∠BOC

（3）如图8所示，已知O是直线AB上一点，∠AOC=63°，射线OD，OE将∠BOC三等分，则∠AOD=________°.

（4）如图9所示，已知O是直线CD上一点，OA平分∠BOC，∠AOC=35°，求∠BOD的度数.

（5）如图10所示，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数.

6. 板书设计

[4.3.2角的比较与运算（2）

——角的和差        例题

1. 角的和差        练习

2. 角平分线定义与性质：

符号语言：]

7. 附件

“线段求值”认知工作单（此处略）.

教学设计的立意

1. 教法

本节课以“类比法”为主线开展教学活动. 教学中通过创设问题情境，借助研究线段求值的方法，不断提出富有启发性、挑战性的问题，激发学生的探究欲望，类比发现角度的和差、角平分线的定义、性质和求法.

2. 学法

借助“西蒙数学”理论设计认知工作单，用于导思、导学、导练，让学生的学习有章可循. “西蒙数学”源自美国科学家赫伯特·西蒙（H.A.Simon）. 三十多年前，身披“认知心理学家”“人工智能之父”“诺贝尔经济学奖得主”之誉的西蒙，因为认知心理学上的共识，与中国科学院心理学家朱新明双剑合璧，对 “自适应产生式系统”进行深入的研究，并建构了“示例演练”学习模型[1]. 近二十年来，华南师范大学数学科学院谢明初教授，结合数学学科“高度概括和抽象”等特点，在原有的模型基础上，运用建构主义和情境认知理论，从教法学法等多个角度，对数学教学进行哲学的阐述，提出了“西蒙数学教学法”[2-6]. 这是建立在“人类自适应学习”理论基础上，将人工智能和现代认知心理学研究成果运用于数学教学的现代教学法，其核心理念是将部分陈述性知识转化为程序性知识呈现出来，通过“例中学、做中学”帮助学生深入学习数学.