分步突破数形解题，教学微设反思探究

［摘  要］ 二次函数综合题教学，建议从解法探究、反思探讨、方法总结等多视角、多层面展开，引导学生体验解题过程，总结解题策略. 实际教学时教师可依托“微设计”，帮助学生理解问题，掌握解法，形成解题思维. 文章以2022年苏州市中考二次函数压轴题为例，展开解题探究.

［关键词］ 二次函数；几何；参数；数形结合；微设计

考题探究

1. 考题呈现

考题 （2022年苏州市中考卷第26题）如图1所示，二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m>0）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D. 其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F，连接AC，BD.

（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；

（2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；

（3）若在第四象限内二次函数y= -x2+2mx+2m+1（m是常数，且m>0）的图像上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数图像，直接写出m的取值范围.

2. 分步突破

本题为二次函数综合题，与几何知识结合紧密. 其中二次函数的解析式中含有参数m，使得函数图像具有不确定性. 题设三问均围绕参数m展开，涉及求交点、等角关系转化、求参数取值范围等. 解题时建议采用分步突破策略，结合题设构建模型，数形结合地逐一破解.

（1）交点把控，方程破解.

第（1）问求交点坐标及∠OBC的度数. 由题干可知A，B，C三点均为二次函数图像与坐标轴的交点，所以可通过解方程的方式求得A，B，C三点的坐标.

求点A和点B的坐标：对于y=-x2+2mx+2m+1，令y=0，即-x2+2mx+2m+1=0，可解得x=-1，x=2m+1. 又点A在点B的左侧，所以A（-1，0），B（2m+1，0）.

求点C的坐标：对于y=-x2+2mx+2m+1，令x=0，则y=2m+1，所以C（0，2m+1）.

由点B和点C的坐标可知OB=OC，所以△OBC为等腰直角三角形. 所以∠OBC=45°.

另解：实际上，求点A和点B的坐标时，可以采用整合函数式的方式，即把二次函数的解析式转化为y=-（x+1）［x-（2m+1）］，从而直接得到A（-1，0），B（2m+1，0）.

（2）角度推导，建模分析.

第（2）问设定∠ACO=∠CBD，求m的值，需要从等角关系中推导出参数值，即由“形”到“数”，故需要分析几何特征，建立几何与函数之间的关系.

【方法1：从三角函数视角破解】

连接AE，如图2所示. 因为y=-x2+2mx+2m+1=-（x-m）2+m2+2m+1，所以D（m，m2+2m+1），F（m，0），所以DF=m2+2m+1=（m+1）2，OF=m，BF=m+1. 因为点A和点B关于直线EF对称，所以AF=BF，∠EAB=∠OBC=45°. 所以△AEB是等腰直角三角形. 所以∠CEA=90°. 因为∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC=45°，所以∠ACO+∠OCB =∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠OBD. 所以tan∠ACB=tan∠OBD. 在Rt△AEC中，tan∠ACB==，结合EF∥OC，可进一步得到===；在Rt△FBD中，tan∠OBD==m+1. 从而可得=m+1，解得m=1或m=-1（舍去），所以m的值为1.

【方法2：利用相似三角形的性质破解】

过点D作DH⊥BC，垂足为H，如图3所示. 由方法1的过程可知DF=（m+1）2，BF=EF=m+1，DE=m2+m. 因为∠DEH=∠BEF=45°，所以DH=EH=DE=（m2+m），BE=BF=（m+1）. 所以BH=BE+EH=（m2+3m+2）. 由∠ACO=∠CBD，∠AOC=∠BHD=90°，可得△AOC∽△DHB，所以=，即=，解得m=1或m=-1. 因为m>0，所以m=1.

（3）数形结合，关系推导.

第（3）问设定∠ACP=75°，求参数m的取值范围，可采用数形结合的分析方法，把握其中的交点坐标，从而推导参数范围.

【方法1：由内角和定理推导】

设PC与x轴交于点Q，则点Q总在点B的左侧，如图4所示，此时∠CQA>∠CBA，即∠CQA>45°. 因为∠ACQ=75°，则∠CAO<60°. 所以tan∠CAO<. 在Rt△CAO中，因为tan∠CAO==2m+1，所以2m+1<，解得m<. 又m>0，所以0<m<.

【方法2：由角度代换推导】

结合图像可知∠ACB>∠ACP=75°，因为∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠ACO+45°，故只需确保∠ACO>30°即可. 在Rt△CAO中，由tan∠ACO==>，m>0，可解得0<m<.

解后探讨

上述对一道二次函数综合题进行了解法探究，其中后两问为核心之问，分别在设定条件下求m的值或m的取值范围. 且后两问均采用两种方法展开探究，解法具有一定的参考价值，下面进一步总结、思考.

1. 关于第（2）问的解法思考

该问为角相等的条件下参数值的推导，由于问题以二次函数为背景，故明显具有“数”与“形”的属性. 上述两种求解方法的构建思路虽有差异，但总体思路是一致的，即第一步，转化角度关系，构建线段间的比例关系；第二步，根据线段间的比例关系构建关于线段的参数方程，通过解方程使问题获解. 但这两种方法的核心原理不同，“方法1”依据的是“等角的三角函数值相等”，“方法2”则依据“相似三角形的对应边成比例”. 因此，对于二次函数背景下的等角问题，可采用上述两种方法破解，具体思路如下.

思路1：三角函数法.

第一步，处理等角关系，将等角条件转化为三角函数值相等；

第二步，构建三角函数模型，将三角函数值转化为线段间的比例；

第三步，由三角函数值相等构建方程，通过解方程使问题获解.

思路2：相似比例法.

第一步，处理等角关系，根据几何关系提取相似三角形；

第二步，根据相似三角形的特性构建线段的比例；

第三步，根据线段的比例构建方程，通过解方程使问题获解.

2. 关于第（3）问的解法思考

该问是关于设定角的参数取值范围问题，需要根据几何角来推导，上述两种求解方法均采用了三角函数值转化方法，只是角度大小关系的推导细节存在差异. 其中“方法1”依据的是三角形的内角和定理，而“方法2”注重角度代换，不过总体思路是一致的. 解决此类问题时，可参考如下步骤：

第一步，数形结合，分析角度大小关系；

第二步，依据三角形内角和定理或进行角度代换，求得核心角的大小取值；

第三步，依托直角三角形，将角度取值转化为对应三角函数值取值，从而求线段取值范围或参数取值范围.

教学微设计

开展试题探究有助于学生强化基础、融合知识，能培养学生的思维能力，能让学生养成良好的解题习惯. 在实际教学中，教师可结合试题开展教学微设计，对试题进行拆解、整合，分环节进行教学引导，从而逐步深入问题，使思路自然生成. 下面以上述考题为例，阐述如何进行微设计.

1. 环节1：读题识图，巩固基础

题设：如图5所示，二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m>0）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D. 其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F，连接AC，BD.

设问1：二次函数的图像与坐标轴有几个交点？如何求交点的坐标？

设问2：DF所在的直线为二次函数的对称轴，根据该条件，AF和BF之间存在怎样的数量关系？

设问3：根据点B和点C的坐标，写出线段OB和OC之间的数量关系，并判断△OBC的形状.

教学引导 该环节是对考题第（1）问的拆分引导，教学时教师引导学生求交点坐标，根据坐标值判断线段之间的长度关系以及三角形的形状，能让学生形成“点坐标→线段关系→三角形形状”的分析思路.

2. 环节2：知识综合，提升能力

题设：在“环节1”题设的基础上，过点D作BC的垂线，垂足为H，已知∠ACO=∠CBD.

设问1：根据点的坐标，求DF，BF，DE，DH，BH的长（用含m的式子表示）.

设问2：△AOC和△DHB相似吗？请说明理由.

设问3：根据△AOC∽△DHB，可以得出怎样的线段间的比例关系？如何求参数m的值？

教学引导 该环节是对考题第（2）问的拆分引导，教学时教师可分三步进行设问. 第一步，根据点的坐标求线段的长；第二步，结合条件证明两个三角形相似；第三步，利用两个三角形相似的特性提取线段间的比例关系，构建方程，从而求出参数m的值.

3. 环节3：建模分析，发散思维

题设：在“环节1”题设的基础上，在第四象限内二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m>0）的图像上，有一点P，连接PC，设PC与x轴交于点Q，点Q总在点B的左侧，且始终有∠ACP=75°.

设问1：结合图像分析∠ACB和∠ACP的大小关系.

设问2：∠ACB=∠ACO+45°，分析∠ACO>30°是否成立.

设问3：在Rt△CAO中，如何表示tan∠ACO？结合“设问2”能否求出m的取值范围？

教学引导 该环节是对考题第（3）问的拆分引导，教学时教师可引导学生利用三角函数知识构建不等式；引导时要注意结合图像分析几何角的大小关系，并结合直角三角形模型进行转化，从而推导出不等关系式.

教学思考

1. 数形分析思路，多解拓展方法

探究二次函数综合题有助于学生整合知识，提升解题思维. 探究过程建议采用数形结合、多解探讨的方式，即教师引导学生读题、审题、理解函数图像、构建解题模型，并结合图像探寻解题思路. 对于综合型问题，教师要引导学生从不同的视角，采用不同的方法来分析，如上述方法从三角函数、三角形相似的视角来求参数的值. 利用多解探究解题时要侧重三点：一是整合并梳理条件，明确关键点；二是注重知识回顾、关联思考；三是让学生深刻理解不同解题方法的原理.

2. 解后反思过程，教学微设计引导

解后总结方法是解题探究最为关键的一环，也是帮助学生提升解题能力的重要环节. 教学时，对于解后反思环节，教师需要从两个方面来引导学生：一是让学生回顾解题过程，思考解题方法的特点；二是总结解题方法，生成类型题的解题策略. 在实际教学中，建议教师采用教学微设计的方式拆解复合问题，逐步深入本质，引导学生思考，让学生体验解题过程，形成解题思维. 进行微设计时，建议教师从三个方面来展开：一是问题设计呈现难度梯度；二是设问具有引导性、关联性；三是解题方法直切问题本质，透视问题内涵.

3. 教学渗透思想，注重素养提升

思想方法是解题的精华所在，也是教学的核心内容，解题教学要充分围绕思想方法展开思路构建，即解题时要渗透数学思想，要在思想的指导下构建解题思路. 如探究二次函数综合题的过程中，学生可利用模型思想绘制图像，基于化归思想转化、整合条件，基于分类讨论思想全面思考问题，基于方程思想构建解题方法，整个解题过程则基于数形结合思想. 教学思想方法时，教师要注重启发学生思考，并充分围绕思想内涵进行探讨，让学生参与过程，亲身感悟.