注重“同课异构”分析，促进概念自然生成

［摘  要］ 更新教育理念、提升教育教学质量是新课改对教师提出的要求，也是时代发展的必然趋势. “同课异构”如同“你有一个思想，我有一个思想，交换后每人都有两个思想”，这是一种智慧交流，具有取长补短、长善救失等作用. 文章以“偶函数”的概念教学为例，对几位教师的教学片段进行分析，并从“自然生成”的角度提出相应的改进措施.

［关键词］ 同课异构；概念教学；自然生成

“同课异构”是教师间进行互动与交流的平台，也是促进教师成长的主要手段. 每一个教师受认知水平、教学经验、社会阅历等因素的影响，思维模式、教学风格都不一样，对于同一堂课的教学设计也大相径庭. 为了增强教师思维的广度与深度，可通过一些教研活动的开展，引领教师多维度感受“同课异构”的多重思维，让教师在不同教学策略与风格中汲取好的经验，以提升自身的业务水平与教学质量.

笔者在某次教研活动中，观摩三位教师的“偶函数”的概念教学后颇有感受，就此谈一些拙见.

课例展示

函数的奇偶性包含了由“形”的维度刻画函数图象的“对称性”，还涵盖了由“数”的视角刻画函数值在特定情况下具有怎样的规律特征. 本章节的教学，不仅能培养学生理解与推理的能力，还能有效渗透数形结合思想. 下文是笔者对三位教师在“偶函数”概念教学上存在的一些问题的分析.

1. 缺乏过程，直接给出定义

【教师甲的教学】

如图1所示，观察函数图象，回答以下问题：（1）两个函数图象之间存在什么共同特征？（2）观察函数值的对应表（见表1、表2），说说这些共同特征是如何体现的.

当学生表达完自己的观点后，教师甲没有与学生进行过多的互动，而是直接从“数”与“形”两个维度板书结论，并在板书的基础上，对偶函数的概念进行补充说明，学生被动接受了什么是偶函数.

板书后教师甲的补充说明：函数f（x）=x2存在f（-1）=1=f（1），f（-2）=4=f（2），f（-3）=9=f（3），我们称f（x）=x2是偶函数. 然后将偶函数的概念直接用投影的方式呈现给学生：一般情况下，若函数f（x）的定义域内的任意一个x，都存在f（-x）=f（x）的情况，则f（x）就是偶函数.

教学分析 教师甲以学生的认知经验为教学起点，自然过渡到偶函数的概念，从设计本身来看没有什么问题，但直接展示图象、给出结论、补充定义的行为则显得过于仓促，学生缺乏自主探究过程，难以从真正意义上理解什么是偶函数.

这种教学方式看似丰富——有问题的驱动、有图有表，还应用了多媒体，但缺乏师生互动与交流的过程，学生的思维未受到启发，这与直接呈现定义并无多大区别. 学生没有经历提炼定义的过程，无法从本质上理解偶函数的定义. 这种教学方式，可以称为流于形式的教学方式，与传统的“注入式”教学方式无异.

2. 忽视学情，教学起点过高

【教师乙的教学】

教师乙呈现二次函数f（x）=x2的图象后，要求学生进行短暂的观察，而后就自顾自地进行了如下讲解.

“函数图象关于y轴对称”可以从点的角度出发进行描述，即在函数图象上任意取一点P，该函数图象上必存在一点P′，点P与点P′之间是关于y轴对称的关系；也可以是在函数图象上任意取一点P，点P关于y轴对称的点P′也在这个函数图象上.

提出问题：假设点P（x，y），（1）求点P关于y轴对称的点P′的坐标；（2）此时，点P与P′的坐标具有怎样的等量关系？（3）点P与P′之间存在怎样的关系？

解析：P′（-x，y），y=f（-x）=（-x）2=x①. 因为点P（x，y）位于函数f（x）=x2的图象上，所以y=f（x）=x②. 根据①②两式可得f（-x）=f（x）.

因为点P是位于函数f（x）=x2图象上的任意点，所以对于函数f（x）=x2，其定义域R内的任意实数x均存在f（-x）=f（x）的情况.

借助多媒体，展示偶函数的概念：一般情况下，若函数f（x）的定义域内的任意一个x，都存在f（-x）=f（x）的情况，则可确定函数f（x）为偶函数.

教学分析 这种教学方式从理论上来看没有问题，教师企图通过对函数图象上点与点的对应关系，引导学生发现函数的奇偶性，这种设计理念显然已经触碰到了函数的奇偶性的本质. 对于学生而言，这种教学方式需要有较高的理解能力、观察能力与抽象概括能力，才能从真正意义上领悟知识的本质.

显然，这种教学方式与学情并不相符，大部分学生的思维水平都没有达到这样一个高度. 因此，这是一种忽视学情，教师“一厢情愿”的教学方式，与学生的实际认知并不匹配，难以达到预期的教学效果.

3. 浮光掠影，忽视知识本质

【教师丙的教学】

教师丙以问题串的方式，推动学生思考：①如何基于数学语言的方式对函数对称性进行描述？②无数个点构成函数图象，那么画函数图象的对称性是否可借助“对称点”进行表达呢？③如果到函数f（x）=x2的图象上取点P（x，y），那么与点P关于x轴对称的点P′（-x，y）位于哪里？

学生独立思考，并回答问题. 对于问题③，师生对话如下：

生1：点P′（-x，y）位于函数f（x）=x2图象上.

师：对于点P（x，y）有没有特殊条件？

生2：没有，点P（x，y）只要在函数f（x）=x2的图象上即可.

师：那我们就用几何画板的演示功能，一起验证一下大家的说法是否正确.

（教师操作）

师：从几何画板的演示来看，函数f（x）=x2的定义域R内的任意实数x，存在f（-x）=f（x）恒成立的情况，我们将满足这种关系的函数称为偶函数.

（投影偶函数的概念）

教学分析 将多媒体融入数学教学中，是一种较好的教学手段，尤其是几何画板的动态演示功能，能为学生提供直观的视觉效果，让学生对知识产生更加深刻形象的认识. 但是，该教学片段，教师单凭借几何画板的演示功能展示函数的奇偶性的定义，显然不够深入，也缺乏数学教学该有的严密性.

从数学教学的角度分析，函数教学绝不可只关注部分特殊图象的浅层描述，这种浮光掠影的教学方式，不仅无法带领学生触摸到概念的本质与内涵，还难以培养学生科学、严谨的品质.

从上述三位教师的“同课异构”来看，他们对偶函数的概念教学的处理方式不一样，每一种处理方式都具有一定的合理性与不足之处，尤其是对教学细节的处理，确实存在一定的不足. 这三种教学方式，都使得偶函数概念的生成过于生硬，缺乏一种水到渠成的流畅感. 这三种教学方式，都不利于学生自主建构、领悟偶函数的本质，无法促进学生思维的理性重建.

完善设计

1. 教学分析，寻求突破

教材从“数”与“形”两个角度对函数的奇偶性的概念进行了概括，从“形”的角度来看，偶函数的图象具有关于y轴对称的特征，而奇函数的图象则具有关于原点对称的特征；从“数”的角度来看，偶函数的自变量x取一对相反数，对应的函数值相等，而奇函数的自变量x取一对相反数，对应的函数值也互为相反的关系.

于学生而言，教材只是用文字语言从“数”与“形”两个角度表述了奇函数和偶函数的概念. 单从概念出发，学生基本能从“数”的角度理解函数的奇偶性特征，但对函数的奇偶性的图象认知、符号推理与言语表达等，都存在较大的欠缺. 因此，文字定义难以激发学生对概念深层次的理解，若教师不加以引导，则学生对函数的奇偶性的认识将停留在表浅、单一的阶段.

其实，深层次理解函数的奇偶性，能让学生学会用函数来刻画这个丰富的世界，用函数来表达生活现象的一些变化规律. 同时，也能实现从局部研究过渡到整体研究的目的，为后继学习更复杂的知识奠定基础.

综上分析，“形—数—概念生成”是本节课的教学重点与难点，想要实现这一目标，并非带领学生简单地观察几个特殊图象，探寻几个特殊点间的关系，或借助多媒体进行单一的演示就能顺利完成，而是需要教师结合教学内容与学情，利用多种教学手段，引导学生由表及里、从具体到抽象，感知概念的自然构建的过程，从真正意义上领悟函数的奇偶性的本质.

这是概念教学的“多维构建”理论，是从多个维度展示概念的生成过程，可以让学生从本质上认识知识，自主抽象出概念. 常见的方法有：操作实践—观察分析—大胆想象—严谨验证—抽象概括. 此过程遵循“整体—个体—整体”与“直观—抽象”的规律.

2. 多维构建，自然生成

（1）剪纸操作，体验图案的对称性.

此过程可分两步实施：第一步，借助多媒体，展示一幅简单易操作的轴对称图形，要求学生用手中的剪刀与白纸剪出与屏幕展示相同的图案；第二步，要求学生在展示自己作品的同时，介绍剪纸的过程.

设计意图 剪纸活动的开展，会让学生自然而然地形成两大阵营“画图—剪纸”与“对折—画图—剪纸”，从对比中感知第二种剪纸方法的把握度更准确，从中体验到剪纸的对称美.

（2）亲历折纸，体验图象的对称性.

要求学生进行折纸实验，此环节分三步：第一步，教师课前为所有学生准备好关于y轴对称的函数图象；第二步，要求学生将函数图象沿着 轴进行对折；第三步，要求学生观察对折后的图象，收获感悟.

设计意图 通过动手操作，让学生直观感知图象的对称性，并充分体验位于y轴左侧的所有点，对折后都能与y轴右侧的点重合，且无一例外，反之亦然.

（3）动态演示，暴露知识本质.

第一步，在y轴左侧的函数图象上任意取三点，分别记作A，A，A，将该函数图象沿y轴对折，用铅笔对A，A，A所对应的y轴右侧的位置戳洞；分别标记为A′，A′，A′，感知A与A′，A与A′，A与A′之间相对应的关系.

第二步，把三对点分开进行分析，发现每一对点在横坐标上都是互为相反的关系，那么这些对应的点在纵坐标上又是什么关系呢？若取函数图象上的其他点，重复以上操作过程，大家所发现的规律还存在吗？

设计意图 通过折纸活动的开展，让学生对点与点的重合有直观认识，在此基础上，再引导学生将目光转移到“相对应的点在坐标上的关系”，由此获得：自变量在互为相反数的情况下，函数值相等.

此操作过程起点低、台阶小，符合学生的认知水平. 学生带着问题操作，更容易理解知识的本质，概念的生成便水到渠成. 此时，从“数”的角度刻画函数图象的特征，基本接近尾声，偶函数的定义也随着操作活动的开展而呼之欲出.

（4）提炼总结，促进概念生成.

师：通过以上操作探究，我们发现了一些量之间的关系，这些关系我们该如何用数学式来表达呢？

随着问题的驱动，无须教师过多引导，学生很快就能自主总结出偶函数的概念.

设计意图 通过教学活动的开展与操作实践，学生不仅对关于y轴对称的函数图象有了深刻形象的认识，还从宏观的角度了解到了偶函数的内涵，概念的提炼与总结顺理成章.

此教学设计，引导学生经历了“图象的重合—点的重合—点的坐标关系”的感知，偶函数的定义在逐层递进的分析中脱颖而出，这既是对学生原有认知结构中的二次函数知识的温习，又是渗透函数思想的过程，此过程对发展学生数学学科核心素养具有深远的影响.

总之，每一个概念都有自己独特的形成背景与过程，教师应站在一个宏观的角度，带领学生从多维度去观察与分析概念的本质，让概念的生成更具科学性. 同时，在教育迅速发展的今天，教师作为传道授业解惑者，应关注“同课异构”的作用，在理解教材的基础上，结合学情不断突破教材的限制，把抽象的知识具体化，让每一堂课都体现出清新自然之感，从真正意义上促进学生认知体系的发展与数学学科核心素养的提升.

作者简介：刘真（1984—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.