以递进式探究问题引领思维进阶
作者： 李冬梅
［摘 要］ 数学教学是数学思维的教学，好的数学课堂应在数学知识形成的过程中充满数学思维. 因此，教师要重视问题的创设，引导学生亲历知识形成的过程，以此帮助学生理解知识的来龙去脉，让学生的学习能力和思维能力在问题的探究中得以发展和提升.
［关键词］ 数学思维；数学思考；形成过程
数学概念、公式、定理等是构建数学知识体系的核心内容，是数学发展长河中留下的宝贵财富. 基于此，教学中应重视引导学生参与知识形成的过程，让学生在理解知识的同时，认清背后所蕴含的思想方法，明确数学知识结构以及内部联系，促使学生的思维向高阶进阶.
问题是数学教学的灵魂，是催化思考、引发探究的源泉. 在课堂教学中，教师应结合教学内容和学生学情创设有价值的问题，引导学生主动参与知识形成的过程，让学生在问题的驱动下促成深度学习，切实提高学生的数学思维能力. 在教学“直线的倾斜角与斜率（第1课时）”时，笔者结合教学实际创设问题，引导学生主动参与知识的建构，在激发学生学习兴趣、发展学生思维能力等方面取得了较好的效果，现将教学过程呈现给大家，若有不足，请指正！
教学分析
1. 教学内容分析
本课内容是高中平面解析几何的开始，其在教学中的地位和作用是不言而喻的. 直线的倾斜角是这一章节所有概念的基础，而斜率是这一章节概念的核心，理解直线倾斜角和斜率的概念是学习本章节内容的关键. 同时本课内容也是后续研究直线的方程、两直线的位置关系、点到直线的距离的基础. 另外，通过本课的学习，可以让学生体会坐标法的初步应用，初步形成用代数法研究几何问题的能力.
2. 教学目标
（1）掌握直线倾斜角和斜率的概念，明晰两者的区别与联系，会用斜率公式解决简单的问题；
（2）体会用代数法研究几何问题的必要性，渗透几何问题代数化的解析几何思想；
（3）通过亲历斜率公式推导过程，培养学生的分类讨论意识，提高学生的自主探究能力.
3. 教学重点与难点
（1）理解并掌握倾斜角和斜率的概念；
（2）用代数法推导斜率公式.
教学过程
1. 体会倾斜角概念形成的过程
问题1 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何要素有哪些？
笔者先让学生独立思考，然后点名让学生回答，最后共同归纳总结，确定一条直线有两种方式：①已知两点可以确定一条直线；②已知一点和一个方向可以确定一条直线.
问题2 如图1所示，过点O作两条直线，试比较两条直线的倾斜程度.
该问题旨在通过对比分析让学生明确确定基准的必要性. 在教学中，笔者没有直接将规定呈现给学生，而是通过互动交流让学生亲身体会，让学习自然而然地发生. 教学片段如下：
师：说一说你的理由.
师：哦！如果我将两条直线转一转，你又有什么发现呢？（出示图2）
师：其实刚刚在判断直线的倾斜程度时，没有明确水平位置，所以解释起来比较困难. 如图3所示，现将未旋转的两条直线放入平面直角坐标系中，此时如果用数学语言描述其倾斜程度，你觉得用哪种数学量来刻画比较好呢？
生3：可以用直线与x轴的夹角来刻画.
师：哦，是吗？如图4所示，此时两条直线的倾斜程度是否相同呢？
生3：两条直线与x轴的夹角都是60°，相同吧？
生4：如果相同就是一个角对应两条直线，也就很难做到一一对应了.
师：很好，分析得非常有道理，为了做到一一对应，规定：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 现在你们认为，图4中两条直线的倾斜程度还相同吗？
生齐声答：不相同.
笔者用PPT给出倾斜角的概念，让学生进一步理解和记忆.
设计意图 笔者没有直接给出倾斜角的概念，而是巧设问题引导学生关注研究问题的标准，让学生在互动交流中体会倾斜角的基本特征，形成倾斜角的概念，为接下来探究活动的开展打下坚实的基础.
2. 明确代数法研究的必要性
问题给出后，笔者预留充足的时间让学生自主探究，然后与学生互动交流.
生5：看上去两条直线是平行的，所以它们的倾斜角一样大.
师：如果让你去验证，你想如何验证呢？
生5：可以用量角器量倾斜角.
师：哦，是个办法，不过我们知道测量一般会产生一定误差，有没有其他办法可以精准确定它们的大小呢？
生6：测量有误差，可以尝试用计算的方法来解决.
师：说说你的思路.
生6：可以根据点的坐标计算倾斜角的三角函数值，这样通过比较三角函数值就可以知道哪条直线的倾斜角更大一些了.
师：非常好，你想利用哪个三角函数值来比较呢？
生6：我想利用正弦值来比较.
师：计算正弦值时可能会遇到哪些麻烦呢？
生6：求A，B两点之间的距离比较麻烦.
师：有没有什么办法可以不用计算A，B两点之间的距离呢？
生7：计算正切值就可以规避这一麻烦，只需要知道两点坐标就可以得到倾斜角的大小.
师：请说一说你的求解过程.
师：很好，这里的正切值我们称为斜率.
笔者用PPT给出斜率的定义（内容略）.
问题4 根据以上探究结果可知，倾斜角和斜率都可以刻画直线的倾斜程度，两者有何不同？你认为用哪个量刻画更优越呢？
学生通过交流一致认为，用斜率来刻画更优越，因为倾斜角是从形的角度来刻画的，而斜率的实质是代数，是从数的角度来刻画的，显然用数来刻画更细致入微.
设计意图 借助两条倾斜角非常接近的直线让学生进行思考辨析，体会用观察、测量等手段很难判断直线的倾斜程度，让学生体会用代数法研究倾斜程度的必要性，由此自然引出斜率的概念. 另外，笔者有意识地引导学生通过对比体会利用正切值表示斜率的优越性，从而为接下来斜率公式的推导打下坚实的基础.
3. 尝试推导，深化认知
问题给出后，笔者让学生以小组为单位尝试推导. 在此过程中，笔者启发学生在平面直角坐标系中画出不同的直线. 几分钟后，很多小组已经完成了推导，笔者让各小组展示交流结果，其他小组进行点评.
生8：我们小组是分两种情况讨论的，图7①为倾斜角是锐角的情况，图7②为倾斜角是钝角的情况. 推导过程如下：
设计意图 通过前面的铺垫，学生掌握了推导斜率公式的思路，于是笔者将主动权交给学生，让学生独立完成斜率公式的推导，以此培养学生的逻辑推理能力. 在此过程中，渗透了特殊到一般、分类讨论等数学思想，促进学生数学思维能力的发展.
4. 练习巩固，深化理解
问题6 已知A（4，2），B（－8，2），C（0，－2），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是什么角.
问题7 在平面直角坐标系中，请分别画出过坐标原点且斜率分别为1，－1，3，－4的直线.
学生独立求解，笔者巡视，并针对性地进行指导. 问题6主要考查斜率公式的掌握情况，渗透数形结合思想方法；问题7主要考查学生的数形结合意识及灵活应用斜率公式解决问题的能力.
设计意图 练习是巩固新知的必经之路，一方面可以加深学生对斜率公式的理解，另一方面为后续研究直线的方程埋下伏笔.
5. 课堂小结，提升能力
问题8 通过本课的学习，你有哪些收获？
设计意图 通过对知识、方法、思想等进行有效的反思与回顾，加深学生对新知的理解，帮助学生建构知识体系，促进学生的学习能力和思维能力向更高层次进阶.
教学思考
数学教学不仅要关注学生对知识的掌握，更要关注学生能力的提升，要让学生学会学习，获得可以持续学习的必备品格和关键能力. 为了这一目标的达成，教师应为学生设计合适的教学情境，提出合适的数学问题，引导学生亲历数学知识形成的过程，以此让学生理解知识的同时，提高学生的数学思维能力，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.
教师作为课堂教学的主导者，要不断学习、探索、实践，结合教学实际创设符合学生认知规律的问题情境，推动学生的思维向高阶进阶. 在本课教学中，通过递进式问题的创设引导学生经历倾斜角概念、斜率概念、斜率公式的形成过程，让学生理解并掌握相关知识，灵活应用相关知识解决问题，促进学生思维能力的发展和自主探究能力的提升. 同时，通过递进式探究问题的创设，给学生更广阔的思考空间，充分体现学生的主体价值，激发学生的学习积极性，让学生的学从被动走向主动，促进学生数学学科核心素养的提升. 问题情境的创设在教学中发挥着举足轻重的作用. 在创设教学情境时，笔者认为教师应注意以下几点.
1. 体现概念形成过程
数学概念是在生产生活中逐渐抽象而来的，数学概念的形成有其生动具体的实际背景，因此在概念教学中，教师要带领学生经历概念形成、发展和应用的过程，让学生明白概念的来龙去脉，以便学生可以灵活应用概念解决问题. 在设计问题情境时，教师要重视概念出现的条件及它的独特性，引导学生在具体情境中提炼并弄清概念的本质属性，培养学生思维的严谨性和深刻性.
例如，在教学“直线的倾斜角”的概念时，笔者通过创设递进式探究问题让学生体会“基准”“正向”的作用和价值，以此加深学生对概念的理解，感受概念的严谨性；又如，在引出斜率的概念时，通过对比分析让学生体会引入正切值的优越性，渗透用代数法研究几何问题的解析几何思想.
2. 关注学生思考过程
在课堂教学中，教师常常会遇到这样的情况：教师反复讲、重复练，但是学生遇到同类问题时还是不会做. 究其根源，与教师的教息息相关：教师成为课堂上的“主角”，学生成为课堂上的“观众”，学生并未真正参与其中，因此学生对知识的理解是浅层的、瞬时的，不能形成长久的、深刻的记忆，自然影响学习效果. 基于此，教师在教学中应该通过创设问题情境来展示学生的思考过程，帮助学生厘清知识的来龙去脉，以此实现知识的融会贯通.
例如，在推理斜率公式的过程中，笔者切实通过相关问题引导学生自主完成斜率公式的推导，不仅让学生全面深刻地理解了斜率公式，而且培养了学生的合作探究能力，促使学生数学抽象、归纳概括等能力得以提升.
总之，在高中数学教学中，教师要重视创设适当的问题情境，引导学生经历知识形成的过程，让学生明白如何做，为什么这样做，切实提高学生学习的主动性和积极性，帮助学生形成理性的思维习惯，助力学生全面发展.