指向核心素养的高中数学“生”动教学设计

[摘要]高中数学教学以培育学生的核心素养为目标，以学生为主体，关注学生的思维活动，构建“生”动教学．教师可从“情境与问题”“知识与技能”“思维与表达”“交流与反思”等四个方面启发学生“动”起来．发展学生的数学学科核心素养．

[关键词]高中数学；“生”动教学；数学学科核心素养

问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）》明确指出：高中数学课程以学生发展为本．落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养．

课堂教学是提升学科核心素养的主阵地．而这个阵地的主角是学生.

章建跃博士指出：发展核心素养是把以人为本的教育理念落到实处．所以，指向核心素养的高中数学教学是以学生为主体的教学——“生”动教学．其中．“生”代表“学生”；“动”代表学生动脑、动手、动口等，“‘生’动教学”是通过教师的引导，学生参与系列化的数学活动．掌握“四基”．提高“四能”．发展数学学科核心素养．而反映数学学科核心素养在于四个方面，分别是情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思．笔者从这四个方面谈谈教师引导学生“动”起来的策略．以期与同行交流．

核心素养下的“生”动教学

1．问题在情境中驱动

案例1 探究平面向量基本定理．

师生活动：问题导入，探究定理．

问题1 设向量e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，你能作向量a，使得向量a=2e1+3e2吗？

问题2 设向量e1，e2是同一平面内两个共线的向量．你能作向量a，使得向量a=2e1+3e2吗？

问题3 我们知道，由向量共线的充要条件可得出：位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的非零向量表示．类比这个结论，平面内任意向量是否可以由同一平面内的两个向量表示？

师：通过上节课的学习，同学们知道了向量的线性运算λe1+λe2的结果是一个向量．反之．平面内任一向量是否可以由同一平面内两个不共线的向量表示呢？我们知道，已知两个力可以求出它们的合力；反过来．一个力可以分解为两个力．这种分解通常不是唯一的，事实上．这种力的分解．就反映出平面向量的关系，这节课我们从力的分解出发，研究刻画平面向量之间的关系.

追问1：受力的分解的启发，我们能不能作平行四边形，将向量a分解为两个向量．使向量a是这两个向量的和呢？（探究分解的存在性，体会向量a的任意性．）

设e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量．a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量，在平面内任取一点O，作OA=e1，OB=e2，OC=a．将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？

追问2：如果向量a是这一平面内与e1，e2中的某一个向量共线的非零向量，你能用e1，e2表示a吗？a是零向量呢？

师生总结得结论（存在性）：当e1，e2不共线时，平面内任一向量a都能用向量λ1e1+λ2e2表示．

问题4（探究分解的唯一性）给定向量a都能用向量λ1e1+λ2e2表示，这种表示形式是唯一的吗？

学生经历以上探究得到平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使向量a=λ1e1+λ2e2．

设计意图 问题解决是数学教学的核心．教师以学生熟悉的物理知识为起点引入向量分解．再让学生自主探究向量表示的存在性与唯一性．激发学生学习的主动性，教师依托情境设计问题，由问题驱动、激发学生观察、思考、探究，让学生思维一直处于“动”的状态，从问题中抽象出研究的对象．完成“观察一猜想一证明”定理的过程．在教师的引导下．学生学会用数学的眼光观察世界．发展了数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养．

2．技能在知识中舞动

案例2 探究指数函数、对数函数、一次函数增长的差异．

探究1 选取适当的指数函数与一次函数．探究它们在区间[0，+∞）内的增长差异．你能描述一下指数函数增长的特点吗？

师生活动：学生自主探究，提出疑问．小组交流分析问题．解决问题．学生交流的问题大致如下：

①为什么探究的区间是[0，+∞）？

②以什么路径进行探究？

③以函数y=2x和y=2x为例，利用信息技术列表画图，如何观察数表和图象？

④借助几何画板画出函数y=2x和y=2x的图象后．如何探究这两个函数增长的差异？

⑤如何用数学符号语言准确表述函数y=ax（a>1）和y=kx（k>0）在区间[0，+∞）内的增长差异？

教师给予学生鼓励和肯定后，整理学生探究的结论．

①从“数”的角度比较两个函数增长方式以及变化速度的差异．“运算”是代数的一般观念．在一般观念的指导下，补充变化率△y/△x=y2-y1/x2-x1在教材中的表4.4-3的基础上再列一表（表1），让学生更清楚地观察它们的变化趋势.

②从“形”的角度比较两个函数增长方式以及变化速度的差异．借助几何画板画图（如图1所示）．引导学生观察自变量的增加量相同时．只需要看函数值的增量△y即可.

教师播放微视频让学生进一步理解“指数爆炸”，指出指数函数的“爆炸”增长源自指数运算的性质．

师生活动：举例说明“指数爆炸”与生活有广泛联系.

①“1.01365≈37.78，0.gg365≈0.3”揭示“积跬步以至千里．积怠惰以至深渊”；

②“1.02365≈1377.41.1.01365≈37.78”揭示“多百分之一的努力．得千份收获”；

③“1.01219×0.98146≈0.46”揭示“三天打鱼两天晒网．终将一无所获”．

探究2 选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间（0，+∞）内的增长差异，并描述一下对数函数增长的特点．

探究3 类比探究1的过程，①画出函数y=2x，y=lgx，y=2x的图象，并比较它们的增长差异；②比较函数y=kx（k>0），y=logax（a>1），y=bx（b>1）的增长差异；③讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.

师生活动：学生类比“探究1”，自主探究．提出疑问，小组交流分析问题．然后概括表达．进而解决问题．教师及时给予肯定与鼓励．

设计意图 “不同函数增长的差异”处于人教A版必修第一册（2019年版）教材中的“第四章指数函数与对数函数”的“指数函数、对数函数的图象和性质”内容之后．“函数的应用”内容之前．学生利用一次函数、指数函数、对数函数的概念、图象和性质等知识，通过自主探究理解不同函数增长的差异，提升了抽象概括、推理论证和运算求解等能力.

学生在教师的引导下自主完成“探究1”，充分经历规划研究思路（从特殊到一般），思考函数的选择、图象的绘制、函数的调整、信息技术的应用等，积累“如何研究”的活动经验；在“探究1”的基础上完成“探究2”和“探究3”，进一步提炼研究方法；通过作图、观察、实践，在“探索一质疑一反思”的过程中归纳认识几种不同函数图象的基本特征，训练观察、分析、归纳的能力，感悟函数与方程、特殊到一般和数形结合等数学思想．

数学探究活动是数学内容的主线之一．这条主线能帮助学生更好地掌握知识技能．更能帮助学生学会数学的思考与实践．是学生发展学科素养的有效载体．三个探究活动是在学生掌握一次函数、指数函数、对数函数的概念、图象和性质等陈述性知识的基础上．通过实际操作．获得活动经验．理解并掌握程序性知识与技能（不同函数增长的差异）．在探究的过程中可以让学生充分暴露自己的困惑，以自主探究、小组讨论、师生讨论等形式对疑难问题进行解答．在教学中，教师关注学生思维发生和发展的过程．引导学生学会用数学的思维思考世界，提升学生的数学建模、直观想象和数学运算等核心素养．

3．思维在表达中跳动

案例3 复数的三角表示式．

本案例是人教A版必修第二册（2019年版）教材的新增内容，属于选学范畴．高考不作要求．教学中首先让学生自主阅读教材；接着由第1组和第2组学生设计“概念引入”问题．第3组和第4组学生设计“概念厘清”问题．第5组和第6组学生设计“概念应用”问题，第7组和第8组学生设计“概念深化”问题；然后把各小组提出的问题分享全班学生讨论．教师做总结点评．

活动1 概念引入．

问题串1：复数的概念及其几何意义是什么？

①复数z=a+bi（a，b∈R）与复平面的点Z（a，b）和向量OZ=（a，b）三者是如何对应的？

②你能在复平面内用平面向量表示复数z=a+bi（a，b∈R）吗？

问题串2：向量可以由大小和方向唯一确定．能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数？如何表示？

①向量的大小可以用复数的模来刻画，向量的方向呢？

②若角θ的顶点在坐标原点，始边在实轴非负半轴上．如何表示角θ终边上一点的坐标？

③你能用向量的模r和角θ表示复数z吗？

④以上研究的角θ的终边均在第一象限，得到z=r（cosθ+isinθ）．这个式子是否具有一般性？当角θ的终边在其他象限或者实轴、虚轴上时，这个式子还成立吗？

活动2 概念厘清．

问题串3：阅读教材中的复数三角形式的概念．

①如何理解定义“任何一个复数z=a+bi都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）的形式”中的“任何”“都”？

②复数三角形式中的r表示什么？范围为多少？

③复数的辐角θ是如何引入的？范围为多少？

④复数i的辐角θ是多少？复数θ的辐角θ是多少？

⑤表示复数i的辐角之间有什么关系？

⑥由于复数的辐角有无限多个值，因此应用不方便，为了使任一非零复数有唯一的辐角．有必要规定辐角的范围，取多少合适？

⑦复数i的辐角的主值是多少？

问题串4：复数-1／2（sinπ／3+cosπ／3）的表示是三角形式吗？

①观察复数的三角形式，试分析其结构特点.

②复数-1、2（sinπ／3+icosπ／3）如何转化成三角形式？

③复数的非三角形式转化成复数的三角形式的关键是什么？

活动3 概念应用．

问题串5：你能在复平面中画出复数1／2、根号下3／2i对应的向量并转化成三角形式吗？

①你能指出复数cosπ+isinπ的模和一个辐角吗？画出该复数对应的向量并转化成代数形式．

②你能指出复数6cos11、6π+isin11/6π的模和一个辐角吗？画出该复数对应的向量并转化成代数形式．

③归纳总结复数的代数形式和三角形式的互化方法．

④两个用代数形式表示的复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的复数相等的条件是什么？

活动4 概念深化.

问题串6：回顾复数的三角形式的研究过程．并说说研究方法.

①复数的三角形式的结构特征是什么？辐角和辐角主值的概念和特点是什么？

②复数的代数形式与三角形式的区别与联系是什么？

③你在知识、能力、思想上有怎样的收获？

设计意图本节课教师提供了研究数学概念的四个流程：概念引入、概念厘清、概念应用、概念深化，引导学生自主学习，完成四个学习活动，让学生真正“动”起来，成为课堂的主人.