在数学教育视角下发展学生的高阶思维

［摘  要］ 数学教育承载着提升学生数学素养，发展学生高阶思维的基本功能.数学教学中发展学生高阶思维的实施路径包含三大阶段、六个环节，研究者以“正弦定理”的教学为例，给出了教学设计、分析及反思，并在实践中检验了该实施路径对指导当下数学教学具有重要的意义和价值.

［关键词］ 数学教学；高阶思维；实施路径；案例实践

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出：数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能. 数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界；促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律，增强社会责任感；在学生形成正确人生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用［1］.

高阶思维是指学生在置身于复杂情境、碰到新问题时，能通过自身主动地联结、重组、批判、创造，解决问题的一种高层次的认知能力. 作为一个公认的事实，数学思维的重要特征是思维的深刻性，数学教育的基本目标就是促进学生思维的发展，在这个意义下，数学教育是发展学生高阶思维的一个极好载体［2］.

问题提出

现有的数学教育主要以实现数学学科目标为主，典型问题有：第一，教学活动的“双主体性”在落实中的片面化，现实中课堂教学行为多关注教师的“教”而忽视学生的“学”，注重知识与方法的传授，忽略学生的体验. 第二，不太关注学习活动的创设，过多关注学生对知识的记忆和复制，或对学习活动的展示流于形式，对学习活动的后续反馈也未充分跟进. 第三，课堂问题、学习任务等设计过多、过碎、过浅，对问题的思维深度要求不高. 问题的设计对学生学习主动性的激发不到位、解决不到位、迁移不到位，使得学生学习沉浸度不够，学习深度也不够. 第四，课堂上例题和练习的负担很重，教师讲解，学生机械模仿比较普遍. 第五，单纯的“一课教学”，整体观念下的数学教学意识比较单薄. 以上现象的发生都促使我们思考如何才能形成更高效的课堂生态.

如何解决

实践中我们发现，学生主动地、全身心地投入学习整个过程，是发展学生高阶思维的前提. 今天我们聚焦在课堂教学中，设置合适的情境，激活学生已有知识和经验，寻找新知识的生长点，让学生经历知识再创造的过程，形成个性化建构. 这样学生才能将所学知识迁移应用到新情境中，在解决新问题的过程中加深理解，强化反思，发展高阶思维.

数学教学中发展学生高阶思维的实施路径包含三大阶段、六个环节（如图1所示）.

数学教育是教与学的辩证统一，教师的主要作用是“引导”，学生的主要活动是“思考”，

实现“引”和“思”的对立统一是发展学生高阶思维中的主要矛盾. 教师在教学设计前先要回答两个问题：教学内容和目标是什么？学生已有的知识结构是什么？这本就是教学设计的必要组成部分. 只有搞清这两点才能在教学中设计出拓展学生思维深度、深化学生数学理解的活动.

第一阶段，提出问题.包括：（1）创设情境，引入课题. 每个人对新鲜事物都有好奇心，在现实情境或数学情境中通过发现问题、提出问题激发学生的好奇心是学习起点. 创设这个环节的目的是启动学生思考，提出的问题要指向明确，注重适度性、典型性和有效性，有吸引力，能激发学生的学习兴趣，有利于后续开展探究. （2）检索旧知，探究新知. 提出问题后，学生首先会调用已有的数学知识和方法来解决问题，当然会遇到困境，这时就需要探索认知图式以外的数学知识，通过分析、观察、猜测、类比、归纳、推理等一系列的方法发现数学知识，实现低阶的数学学习.

第二阶段，解决问题. 包括：（3）理解辨析，把握本质. 学生发生高阶思维的主要特征是对发现的数学知识的理解和对本质的把握. 教师用启发性、探索性、层进性问题去引发、驱动学生自觉思考. 一般地，教师可以问“能得到什么”“怎样得出来的”“为什么要这样做”等. 将新的数学知识与学生原有的认知图式联系起来，逐步内化. 这个环节可以师生、生生之间的互动，以及与课本之间的互动等形式进行. （4）例题讲解，巩固新知. 在这个环节中，学生能够初步运用新的数学知识解决问题，但很可能是片面的、不完整的，需要不断修正自己的理解. 这个阶段教师示范，学生模仿，能够帮助学生获得新的体验，在整个学习过程中有着承上启下的作用.

第三阶段，总结迁移. 包括：（5）批判质疑，凝练升华. 依靠例题示范与模仿，使学生获得进入高阶思维的“入场券”，从而形成对新知识的理解和批判、联系和建构. 学生主动总结凝练是十分必要的，在自己的脑海中重组新旧知识的网络结构，通过反例、图表等方式把本质属性和非本质属性加以区分，提升思维层次. （6）能力拓展，知识迁移. 学生发生高阶思维的重要表现是对知识的迁移和应用.学生能够在新情境中主动连接与重组知识，创造性地解决问题，并在此过程中深度思考，甚至进一步提出高质量的新问题，使得学习有新起点，如此循环往复，螺旋上升，拓展能力的边界［3］.

随着高阶思维的发展，学生可以进一步加工新对象和自身已知图式，通过顺应、同化，构建关于数学对象更复杂的“新图式”，作为后继学习中新知识的“生长点”. 同时，在学习过程中联系、批判、应用、体验，助力学生从数学学习中获得超越具体知识和技能层面的东西，收获一般化的思维策略，提升思维品质.

案例实践

环节1 创设情境，引入课题.

问题1 某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B. 某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现了火情. 在A处观测到火情发生在北偏西40°方向，而在B处观测到火情发生在北偏西60°方向. 已知B在A的正东方向10千米处，试求火场C与观测点A和B之间的距离.

师：上述情境中，包含了怎样的数学问题？

生1：在△ABC中，已知A=130°，B=30°，c=10千米，求b与a.

从实际情境出发，引导学生将实际问题转化为数学问题.通过提问，促使学生体会正弦定理源于生产、生活实际，并与现实世界有着密切联系，激发学生的学习兴趣.

师：三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形，其中后两类我们统称为斜三角形. 今后若不特殊说明，△ABC的三个角分别记作A，B，C，它们的对边分别记作a，b，c. 在三角形的三个角和三条边这六个元素中，已知三个元素（至少一个为边），求另外三个元素，称为解三角形. 在初中我们通过锐角三角比，完成了解直角三角形的学习，但在解决实际问题时，往往还会遇到不少解斜三角形的问题.

从解三角形的角度，提出研究三角形边角关系的问题是本单元的学习主题，为后续学习余弦定理，以及解决简单的三角形的应用问题奠基.

环节2 检索旧知，探究新知.

师：三角形中的边角关系有哪些？

生2：三角形中的边角关系有大边对大角、大角对大边、勾股定理等.

师：你能用这些知识解决生1提出的问题吗？请分组讨论解决方法，各组派代表发言.

生3：过点A作AE垂直BC于E，则由锐角三角比bsinC=AE=csinB，得b=，将已知数据代入即可得b.

上述问题依次递进，第一个问题问的是三角形中的边角关系，能调动学生的知识储备；第二个问题引出本节课“已知‘两角一边’解三角形”的学习内容. 通过小组合作的形式引导学生进行有效交流与表达，并相互启发.

接下来不同小组学生对求a的回答出现了两种情况：

生3：分别在Rt△AEB和Rt△AEC中，求得CE和BE，相加即可得a.

师：能够用求b的方法来求a吗？

由于已经构造了两个直角三角形，因此生3的解法是一种非常自然的选择. 但是运用这种解法，并不利于后续抽象出正弦定理这一算法结构. 教师在这里适时点拨，有意识引导，有利于正弦定理这一算法结构的形成.

生4：类似地过点B作BF垂直CA的延长线于F，则asinC=BF=csin（π-A）=csinA，从而a=，将已知数据代入即可得a.

（在分组活动中，某小组把三角形放在平面直角坐标系内统一处理，这将在环节5中进行阐述.）

环节3 理解辨析，把握本质.

问题2 两个小组解决问题的基本思想方法分别是转化为两个直角三角形和通过锐角三角比求另外两条边.如果我们把上述问题的条件略作修改为A=135°，B=35°，c=10千米，那么b=______千米，a=______千米.

生齐声答：类似前面的方法，作两条高求解……