关注知识建构过程积累数学活动经验

[摘  要] 学生获得数学活动经验一般经历五个阶段：初始经验阶段、再生经验阶段、再认经验阶段、经验概括阶段、经验图式阶段. 文章以数学活动经验的获取流程为起点，借助“平面向量”概念教学，分别从情境导入、规范描述、深入探索、实际应用与回顾总结五个方面展开研究，揭露知识构建过程，以及积累数学活动经验的具体措施.

[关键词] 过程;活动经验;平面向量

数学活动经验是指学生在数学学习过程中形成的感知、体验和感悟等. 随着新课改的深入推进，当下越来越多的教育工作者发现积累数学活动经验不仅能促进学生个体的发展，还能有效提升学生的数学学科核心素养. 数学活动经验的获取需经历怎样的流程呢？如何借助“平面向量”概念教学凸显数学活动经验的获取方式和方法呢？这是本文着重探讨的问题.

数学活动经验的获取流程

学生获得数学活动经验一般经历五个阶段：初始经验阶段、再生经验阶段、再认经验阶段、经验概括阶段、经验图式阶段. 这些阶段由浅入深、逐步深化. 学生的思维随着数学活动经验阶段水平的提升而螺旋上升，这对培养学生的数学学科核心素养至关重要. 如图1所示，获取数学活动经验基本遵循这样一个流程[1]. 执教时，教师可结合该流程设计教学活动，以逐步启发学生思维，提升学生的能力，为学生的数学学科核心素养的形成与发展奠定基础.

教学分析

1. 学情分析

本节课的授课对象为四星级普通高中学校的高中生，学生的知识基础较扎实，有较好的运算能力，课堂氛围较好，学生的思维活跃度不错. 授课前，学生已经通过物理学科的学习，对矢量有了明确的认识，同时在“三角函数”章节中掌握了有向线段. 这些知识基础与学习经验都是本节课的教学基础. 学生的认知水平较高，拥有较强的类比分析、自主探索与合作交流能力，但在主动方面还需要进一步强化.

2. 设计构想

向量与我们的日常生活密切相关. 在概念教学时，需结合学生的生活经验，借助丰富的情境来启发学生思维，引导学生从生活情境如速度、力、位移、指示牌等感知方向，理解向量不仅是数学知识，还有物理背景. 由此为规范描述向量做好铺垫，并让学生感知用向量模型处理生活问题的便利. 关注向量知识的建构，结合教学活动经验，明确研究思路，感知知识的形成与发展，为形成结构化知识体系夯实基础.

3. 教学目标

（1）借助情境，引导学生学会用数学眼光来观察现实世界，发现向量的存在，理解并规范描述向量.

（2）引导学生通过类比与联想，自主提炼特殊到一般、数形结合等思想方法.

（3）引导学生亲历向量的建构流程，提炼数学事物的常规探索路径与方法，在深度学习中不断提升学力.

教学实践

1. 情境导入

师：观察图2，若将学校作为参照物，该怎样描述城市图书馆的具体位置？

生1：城市图书馆在学校的北偏西37°的位置.

师：这么描述是否能找到城市图书馆的确切位置？

生2：不行，这么描述还不够精确，应指出两者之间的距离为80千米.

师：由此可知，想要确切地表达一个位置，需提供什么关键条件？

生3：需要明确指出距离与方向，这两个量都不可缺失.

师：不错！基于这个维度来思考，之前在学习中有没有涉及其他与长度和方向相关的量？想一想生活中一些不同量之间的差别.

设计意图 真实的生活情境引导学生体验数学与生活的联系，感知课堂学习的知识并非天上掉下来的，而是从生活中抽象而来的. 随着师生的交流，学生迅速发现这些量的共同点是“既有大小，又有方向”. 这一共同点，即本节课将要研究的知识内容——向量.

2. 规范描述

师：通过以上探索，大家都明确了“既有大小，又有方向”的量为“向量”. 究竟该如何规范描述向量呢？

生4：根据学习经验，可考虑用实数刻画向量的大小，用字母a，b，c，…，或用数轴进行描述.

师：那么向量能否像实数一样，借助代数与几何两种模式进行描述呢？或在实数的基础上添加方向？

设计意图 数学是一门严谨的学科. 虽然数学知识源于生活，但要用规范的数学语言进行描述. 学生将文字转化为数学符号，这是理解数学概念的关键. 学生可结合生活经验和学习经验，发现向量规范的表示法，这不仅有助于构建完整的数学知识结构，还能促进思维和学力的提升.

3. 深入探索

师：对于大家来说，向量是一个新事物，能否结合所学知识进行研究呢？

生5：或许可将“实数”作为探索起点.

师：这是个不错的提议，大家还记得探索实数的基本流程吗？

生6：以“0，1”为起点，逐步推广. 从单个实数的探索逐渐发展到实数间关系的探索（相反、相等），而后研究实数四则运算，最后形成实数体系.

师：描述得很完整. 参照实数的探索，向量的探索起点在何处？

生7：根据特殊到一般数学思想，我认为应该先探索特殊向量，再推广至一般向量.

师：什么是特殊向量？

生8：向量与实数的最大区别是它有方向，因此，特殊向量的特殊点不仅在于大小，也在于方向.

师：以为例，该向量的起点与终点之间的线段的长度称为向量的模，记作. 根据这个概念，请大家思考哪些向量属于特殊向量，并举例说明.

在问题的引导下，学生首先想到实数中的特殊值0和1，列举出长度分别为0和1的向量. 为让学生感知零向量与单位向量，教师特地在黑板上画出不同方向的向量，要求学生描述它们的方向并思考其是否为单位向量.

随着师生互动的深入，学生提出“可以改变”“不确定”“可指定”等关键词. 为了进一步深化学生对特殊向量的认识，教师要求学生站起来，根据自己的指令原地旋转，由此揭露“零向量为没有发生位移的向量，其方向具有任意性”.

设计意图 知识源于生活，引导学生从认知经验出发探寻新知，遵循循序渐进的原则. 循循善诱的点拨不仅能唤起学生的学习经验，还能促使学生自主构建新知，这是核心素养教育理念下数学概念教学的关键. 此设计不仅强化学生的经验基础，还渗透类比、特殊到一般等数学思想方法，是挖掘学生学习潜能、培养学生数学学科核心素养的载体.

师：如图3所示，已知ABCDEF为正六边形，O为其中心点，分析，，之间的关系.

生9：这三个向量互为平行关系.

师：如何定义平行向量呢？

学生以合作交流的方式，共同商讨平行向量的概念，教师适当加以点拨，最后板书结论，特别强调零向量不可忽略.

师：如图4所示，已知ABCDEF为正六边形，O为其中心点，向量，，，，之间存在怎样的关系？

生10：这五个向量之间存在平行、相反与相等的关系.

设计意图 向量章节内容复杂，与实数紧密相关. 若缺乏生活经验，则学生易受思维定式的影响，难以拓展思维. 反之，借助多媒体展示图形，引导学生结合生活经验与认知水平来探索向量的相关概念，不仅能激发学生的学习兴趣，还能将学生变成真正的探索者，促使学生在类比中寻找新的突破点，顺利建构新知[2].

4. 实际应用

例1 判断下列说法是否正确：①向量与其相反的向量必定不等;②因为a∥b，且b∥c，所以a∥c;③两个向量相等或相反，都能判断这两个向量为平行向量;④如果两个单位向量互为平行关系，那么这两个单位向量必定相等;⑤若ABCD为平行四边形，则=.

例2 图5为一张方格纸，其中存在向量，请尝试以格点为向量的起点与终点，根据以下要求绘制向量：①与相等的向量;②与相等（不含）的共线向量.

设计意图 例1旨在提升学生对向量概念的辨析能力，巩固学生的知识体系，为应用打基础;例2的向量绘制则加强学生的新知应用能力，既发展学生的学力，又帮助学生积累数学活动经验.

5. 回顾总结

师：请大家回顾本节课对向量的探索历程，尝试用导图来描述基本研究思路.

各小组学生合作讨论，教师投影展示清晰图示，帮助学生梳理探索向量的基本方法，形成良好的活动经验.

课堂尾声，教师展示图6，指出小明今天的行走路线为A→B→C→D，要求学生从数学的维度说一说自己的想法.

设计意图 课堂总结是对知识、思想方法、探索流程的梳理，思维导图的应用可强化学生的纲领意识，培育学生的结构化思维，帮助学生更好地积累活动经验. 鼓励学生课后探究开放性问题，与导入情境相呼应，能激发学生的探索兴趣，为下节课的教学留下悬念.

思考与感悟

在新课标下，关注知识建构和积累数学活动经验是数学课堂教学的基本措施，旨在培养学生数学学科核心素养. 学生获得数学活动经验一般经历五个阶段：初始经验阶段、再生经验阶段、再认经验阶段、经验概括阶段、经验图式阶段. 这五个阶段唇齿相依、相辅相成.

课堂“情境导入”环节激发学生原初经验，随后“规范描述”启发学生的“再生经验”，引导学生深入探索，并进入“再认经验”状态. 通过“实际应用”活动，学生提炼并概括经验，深化对向量知识的理解. 最后，“回顾总结”不仅梳理知识，还促使学生自主提炼研究方法，获得经验图式.

总之，在“素养立意”的导向下，课堂教学更注重学力发展. 关注知识形成过程，积累数学活动经验是关键. 因此，教师应重视数学材料的逻辑化，明确课堂教学主题及其重要性，以及探索方法，为学生积累数学活动经验奠定基础.

参考文献：

[1] 向立政，皮冬林. 数学活动经验的获得：例探其基本过程、水平层次和主要表征[J]. 中国数学教育，2017（9）：2-5+11.

[2] 雷成才，盛俊. 利用活动经验 还原建构过程：“平面向量的概念及表示”教学实录与反思[J]. 高中数学教与学，2020（10）：22-24+21.

作者简介：王晓炜（1984—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作，曾获苏州市评课选优二等奖，苏州市吴中区学科带头人.