基于内容本质的教学路径的探索

[摘  要] 数学学科层次分明，新知建立在旧知之上. 探索教学路径时，需关注学生已有的认知结构. 文章以“三角函数的概念”教学为例，在充分理解教学内容本质特征与学生实际认知水平的基础上，分别从“旧知回顾，启发思维”“以问促思，探索性质”“练习训练，深化理解”“知识拓展，提炼总结”四个维度展开研究.

[关键词] 内容本质;教学路径;三角函数

随着新课改的深入推进，如今的高中数学教学从注重“知识立意”转化为注重“能力立意”，通过学科教学培养学生核心素养已成为大家的共识. 探索发现，基于内容本质的教学可有效提升学生的数学运算、数学抽象、数学建模、直观想象等素养，这些素养是高中数学学科核心素养的要素. 究竟何为本质？如何把握教学内容本质？笔者以“三角函数的概念”教学为例，展开具体研究.

内容本质的概述

生活中的万物均包含外在现象与内在本质两个层面，其中现象体现的是事物外部联系，学习者通过感官即能完全感知到它的存在;而内在本质则为事物的内在关系，属于现象深层次的结构，本质决定事物的走向，学习者需要拥有良好的数学思维才能从真正意义上把握住数学本质[1]. 因此，数学教学就是由表及里、去伪求真的过程，学生的思维在此过程中可实现“现象到本质”的转化.

教学分析

“三角函数的概念（第2课时）”教学常以单位圆为起点，即结合单位圆上点的坐标定义三角函数，并揭露其周期性等. 研究发现，揭露圆的对称性是探索三角函数概念的核心. 本节课的重心在于教师带领学生通过探索揭露内容本质，实现教学相长的同时为学生后续探索更多的诱导公式夯实基础.

从研究对象来看，本节课重点探索三角函数的周期性，并通过建立函数周期性对其中所蕴含的变量关系进行描述，以揭露知识本质. 关于教学内容本质的探索，可引导学生结合函数定义挖掘三角函数的符号规律，难度较小，可让学生自主完成. 函数值重复出现是诱导公式一的本质特征，大部分学生根据定义即可获得.

基于以上分析，确定本节课的教学重点在于引导学生朝向既定目标去思考. 因此，课堂上教师可带领学生从研究方法着手，借助一些问题启发学生思维，帮助学生探寻相应的研究路径. 为了揭露本节课教学内容的本质，教师可遵循以下路径实施教学：确定探索内容—分析对应关系的特点—抽象概念—揭露性质.

教学过程简录

1. 旧知回顾，启发思维

问题1 借助多媒体展示三组三角函数，要求学生从三角函数的定义出发，对每一组三角函数值进行大小比较（具体问题略）.

问题2 已知α为一个锐角，请用单位圆来证明sinα+cosα>1.

问题3 若点P（3a，4a）（a≠0）为角α终边上的一点，则sinα，cosα，tanα的值分别是多少？

设计意图 这组问题旨在测试学生对三角函数定义的理解和应用，引导学生思考并感悟三角函数值的符号，为接下来探索三角函数的性质做铺垫. 学生反馈显示，旧知回顾启发了他们的思维. 基于自身经验，学生探索这三个问题，展现了独特智慧，使课堂充满了活力.

2. 以问促思，探索性质

师：在之前的课程中，大家已了解三角函数的定义，结合之前的探索习惯与经验，你们觉得接下来该探索三角函数的哪些内容？

结合原有的探索习惯与经验，大部分学生快速想到探索三角函数的图象与定义域，很少有学生想到通过单位圆来挖掘三角函数的性质. 想要在此环节有所突破，教师可设问诱导学生思维.

问题4 能否借助已有的认知经验来填写表1？

设计意图 用填表的方式协助学生感受三角函数的特性，旨在引导学生联想到用单位圆探索其性质. 因此，这是为学生思维定向的设计，承上启下，激活学生的思维，引领他们进入深度探索.

问题5 明确三角函数的定义域后，接下来探索什么内容呢？

设计意图 此问依据学生的认知结构和经验设计，多数学生会迅速对后续探索内容做出反应.

问题6 根据任意角终边与单位圆的交点的位置（象限），以及三角函数定义，将正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号填入图1中的括号，同时用集合描述相应规律.

设计意图 将三角函数值在各个象限的符号填入图1中的括号，促使学生从单位圆的视角发现三角函数的特殊性，为揭露诱导公式一夯实基础. 要求学生用集合描述相应规律，意在帮助学生巩固终边相同的角和象限角的集合表达方法，这是提高学生符号意识的过程.

3. 练习训练，深化理解

练习1 判断下列说法是否正确.

（1）若三角形的一个内角为α，则sinα必然大于0.

（2）如果sinα>0，就能确定角α处于第一或第三象限.

（3）关于任意角α，其正弦值、余弦值、正切值均有实际意义.

练习2 已知sinα<0，tanα>0，那么角α处于第______象限.

练习3 证明sinβ<0，

tanβ>0是角β位于第三象限的充要条件.

练习4 快速说出下列三角函数值的符号：①sin-;②cos255°;③tan5π;④tan（-675°）.

设计意图 从学生已有的认知水平出发，鼓励学生应用课堂所构成的新知来分析与解决问题，不仅能强化学生对三角函数的理解，还能促进学生进一步认识角的终边位于坐标轴上时的取值规律，进而全面认识三角函数. 练习3引导学生基于不等式组进行思考，以培养学生的数学抽象能力与逻辑推理能力.练习4旨在检验学生对三角函数的掌握与应用情况.

在师生双边互动下，通过上述四个练习提炼出两个结论：①如果确定一个角的终边所处的象限，就能根据这个条件确定各三角函数值的符号;②如果明确一个角的正弦值、余弦值和正切值中的任意两个值的符号，那么可据此分析出这个角的终边所在的位置.

问题7 还有哪些特殊情况值得我们去探索与分析呢？

问题8 通过上述探索，大家能说出三角函数取值相等的条件吗？

设计意图 问题7与问题8意在引导学生将视线从探索三角函数特性转向研究三角函数取值相等、相反，以及三角函数间的关系，进一步深化学生对三角函数的认识. 此处，教师要求学生用自己的语言对三角函数的取值规律展开阐述. 例如，分析圆的特性，让学生讨论诱导公式一的作用，促使学生进一步体会利用单位圆的周期性，将任意角的三角函数转化成“0～2π”角的三角函数. 这在一定意义上缩小了学生探索三角函数定义域的范畴.

接下来，教师与学生继续探讨几个典型练习，如提供几个式子，要求学生用诱导公式一判断正误，以引发学生对其他性质的联想;提供一些三角函数，要求学生用诱导公式一判断其符号，并用计算器对自己的判断进行验证……多个练习的提出，旨在深化学生对诱导公式一的认识.

随着探索的深入，学生一致认为，关于三角函数求值问题的解决需要经历以下流程：定形→转化→求值（如图2所示）.

设计意图 练习深入为学生搭建了广阔的思维平台，通过问题解决，学生对三角函数求值流程有了更深刻的认识. 这种循序渐进提炼知识结构、发展数学思维的过程是帮助学生知识结构化和培育学生数学学科核心素养的基础和重要途径.

4. 知识拓展，提炼总结

为了更好地揭露内容本质，教师在此环节设计了以下问题串以引发学生思考.

问题串1：通过对诱导公式一的探索，明确了终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边具有对称关系的角的同一三角函数值存在什么关系呢？

问题串2：探索发现三个三角函数值均与角的终边和单位圆交点相关，这里面是否存在什么联系？

问题串3：你们觉得三角函数的性质可从哪些方面着手探索？

设计意图 问题串的提出，意在进一步帮助学生巩固内容本质，深化学生对三角函数的理解，为提炼其他诱导公式夯实基础，也为发展学生的数学探索精神做铺垫.

几点思考

1. 关注教学导向，揭露知识本质

研究三角函数的性质是本节课教学的重中之重. 想要从真正意义上揭露知识本质，让学生掌握核心知识与关键能力，并在研究过程中自主形成良好的探究意识，教师在教学设计时就需着重关注教学导向，避免应用“注入式”教学模式导致学生机械地被动接受知识[2]. 在本节课中，教师以三角函数的概念作为学生思维起点，引导学生逐渐发现并获得三角函数的性质. 随着由浅入深的问题串的应用，学生思维有了明确的方向，内容本质也在逐层递进的探索中浮出了水面.

2. 注重教学生成，促进“四能”发展

在教学中，教师重视知识生成，促使学生从真正意义上领略内容本质，获得探索路径. 如引入环节中的旧知回顾，教师用三个问揭露了单位圆的重要性，深化了学生对三角函数的理解，为本节课教学夯实了基础. 值得注意的是，当教师提出问题后，为学生留下了充足的探索空间和时间，以激发学生的潜能，提升学生的“四能”.

3. 紧跟时代步伐，实现教学相长

随着新课改浪潮的推进，教师应充分认识到当前的数学教学以发展学生数学学科核心素养为目标，以立德树人为根本的教学任务. 因此，教师要与时俱进，不断更新教育教学理念，提高课堂教学效率与育人职能，实现教学相长. 如概念教学要将学生的抽象素养、应用意识的提升作为基本目标，通过各种教学手段促使学生基于认知水平挖掘潜能，构建新知，提升学力.

总之，基于内容本质的教学路径的探索任重而道远，设计恰当有效的问题可为学生搭建思维“脚手架”，促进学生各项能力与素养的发展. 教师应从知识本质与学情特征出发，设计好每一个教学过程，强调知识的产生与发展，促进学生在课堂中显著进步.

参考文献：

[1] 格兰特·威金斯，杰伊·麦克泰格. 追求理解的教学设计[M]. 闫寒冰，宋雪莲，赖平，译. 上海：华东师范大学出版社，2017.

[2] 明蕾. “问题串”串起数学概念教学的探索路径：以“三角函数的概念”（第2课时）为例[J]. 中国数学教育，2023（20）：46-49.

作者简介：黄斌（1983—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作，曾获九龙坡区中青年骨干教师称号.