类比引领课堂探究成就精彩

[摘  要] 在“等比数列的通项公式”教学中，教师将课堂还给学生，组织学生自主学习和合作学习，引导学生亲历知识形成的过程，充分体验类比思想在数学研究中的价值，提高学生的自主探究能力，落实数学学科核心素养.

[关键词] 类比思想;自主探究能力;数学学科核心素养

笔者在教学“等比数列的通项公式”时，坚持贯彻“以生为本”教学理念，为学生提供广阔的自主学习和合作学习的时间和空间，引导学生利用类比思想获取知识，建构知识体系，提升学生的学习能力和数学素养. 现将教学过程整理成文，分享给大家，供参考.

教学过程

1. 回顾旧知，引入新课

师：上节课我们学习了等比数列的定义，谁来说一说什么是等比数列？我们是如何研究它的呢？

笔者点名让学生陈述等比数列的概念，以及研究它的过程.

师：结合等差数列的研究经验，猜想本节课我们要研究哪些内容，你能提出什么样的问题呢？

笔者预留时间先让学生思考、交流，然后投影展示学生的交流结果，如等差数列和等比数列的概念、符号表示等.

设计意图 设计上述问题旨在引导学生通过旧知回顾，发现等差数列和等比数列之间的内在联系，从而充分调动学生参与课堂的积极性，提高学生的自主学习能力.

2. 师生互动，制定计划

师：要研究等比数列的通项公式，你打算怎么办？

生1：类比等差数列的通项公式去研究.

师：你是如何想到的呢？

生1：上节课我们研究等比数列的定义就是这么做的.

师：说得很有道理. 现在我们一起回忆一下等差数列的通项公式是什么，有哪些基本要素.

生2：等差数列的通项公式是a=a+（n-1）d，基本要素是a，a，n，d.

师：猜想等比数列的通项公式有哪些基本要素.

生3：a，a，n，q.

师：很好，知道了这些基本要素，你能试着给出等比数列的通项公式吗？（生不语）

师：这确实是一个比较棘手的问题，我们该如何研究呢？

生齐声答：类比.

师：很好，你们有没有信心去研究它呢？

生齐声答：有.

设计意图 在教学中，笔者没有完全放手让学生自主探究，而是精心设计几个针对性问题引导学生类比等差数列，研究等比数列.

3. 合作探究，探索公式

师：对于等比数列的通项公式，我看很多同学已经有了自己的想法，现在请大家以小组为单位交流一下，等下我们再集中讨论. （学生积极交流，几分钟后，让学生展示思考过程.）

师：哪个小组先来说一说你们的交流结果？

生4：我们小组是由特例想到的：观察等比数列1，2，4，8，…，猜其通项公式为a=aqn-1，然后代值验证，发现这是符合的.

师：你们赞成这种做法吗？

生5：我们小组得到的结论与生4小组是一样的，不过我们不是这样做的，而是根据定义猜想得到的. 由等比数列的定义可知，等比数列的各项依次为：a，a=aq，a=aq=aq2，a=aq=aq3，…，a=aqn-1.

师：生4和生5两个小组给出的结论是一样的，你们认为这个结论是否正确呢？

生齐声答：正确.

师：数学是一门严谨的学科，得到的猜想能否作为结论直接应用呢？

生齐声答：不能.

师：接下来我们要做什么？

生齐声答：证明.

师：该如何证明呢？（预留时间让学生从不同角度进行思考，探寻证明过程.）

生6：=q，=q，=q，…，=q，以上各式相乘可得a=aqn-1.

师：你是如何想到的？

生6：类比等差数列的通项公式的研究.

师：之前我们证明等差数列的通项公式的方法叫什么？

生齐声答：累加法.

师：生6用的这个方法叫——？

生齐声答：累乘法.

师：认真观察生6给的结果，你们有没有其他发现？

生7：我总感觉好像缺少点什么，对了，当n≥1时，要验证一下首项！令n=1，发现也是满足的.

师：哦？一定要这样做吗？

生齐声答：要.

师：请大家回顾一下，我们是如何发现等比数列通项公式的呢？

生8：先运用特殊到一般思想，猜想等比数列的通项公式，然后类比证明等差数列通项公式的累加法，联想到累乘法，最后顺利证明了等比数列的通项公式.

师：大家在证明时类比等差数列，由累加法想到了累乘法，非常棒. 可见，类比是一种非常重要的思想方法，在日常学习中将一些相似或相关的内容相比较，往往会有意外惊喜.

设计意图 在本节课前，学生学过等差数列，加上学生具备一定的逻辑分析和推理能力，因此在猜想和证明等比数列的通项公式时，笔者组织学生自主学习和合作学习，通过不同思维的碰撞，引导学生顺利突破教学重难点，提高学生的数学素养. 由于学生是课堂教学的主体，因此教师教学不能越俎代庖，应提供机会让学生自主探究，充分发挥学生的主体性. 这样不仅可以引导学生深刻地理解知识，还可以提高学生的自主探究能力，为学生终身发展打下基础.

4. 小试牛刀，深化理解

题1：已知数列{a}是等比数列，请大家填写表1.

题2：已知等比数列{a}的前4项为6，12，24，48，则a=______.

题3：已知等比数列{a}的前4项为3，-6，12，-24，则a=______.

题4：已知等比数列{a}的通项公式为a=3·2n，则a=_____，q=_____.

先让学生独立解题，然后投影展示学生的解题过程，并组织学生进行点评. 从练习反馈来看，大多数学生灵活应用等比数列的通项公式解决问题. 解题后，让学生总结体会和方法.

设计意图 应用是促进知识理解与内化的必经之路. 经历自主探究，学生推导出了等比数列的通项公式，该环节中笔者精心设计练习旨在帮助学生深刻地理解公式，积累解题经验. 例如通过“知三求一”问题的解决，让学生充分体验等比数列四个元素的关系，深化对等比数列通项公式的理解;通过体验特殊项和通项之间的相互关系，提高学生灵活应用公式的能力，帮助学生积累丰富的解题经验，提高学生的解题技能. 另外，解题后笔者没有急于进行“题海”训练，而是预留时间让学生总结体会与方法，以此通过进一步交流与感悟，促进学生的知识内化，提高学生的数学抽象素养.

5. 深入探究，拓展提升

题5：在等比数列{a}中，

（1）已知a=20，a=160，求a;

（2）已知a+a=10，a+a=40，求a.

问题给出后，让学生独立解题，笔者巡视. 几分钟后，投影展示一名学生的解题过程. 该生利用基本要素法，结合已知列出方程组，但在解方程组时遇到了障碍，未能顺利完成.

师：你们也是这样做的吗？你是如何解决这个问题的呢？

生9：两式相除就可以消元，轻松解决问题. （让生9板书解题过程）

师：很好，我们解决等差数列相关问题时，是否也遇到过解方程组这样的问题呢？当时我们是如何解决的呢？（预留时间让学生回顾）

生10：以前也有解方程组的问题，当时我们是利用两式相减的方法解决的.

师：非常好. 当我们遇到解方程组问题时，不要拿笔就算，应该先认真观察，根据方程组的结构特征灵活选择解题方法，这样才能达到优化运算过程，提高解题效率的目的.

师：除了以上方法外，你们还有其他方法吗？

生11：学习等差数列时，除了直接利用公式列方程组解题外，还用到了等差数列的一个性质a=a+（n-m）d，猜想等比数列也具备类似的性质，即a=amqn-m.

师：非常不错的想法，大家试一试，推导a=amqn-m.

生12：==qn-m.

师：很好，大家试一试，利用a=amqn-m这一性质能否简化解题过程，提高解题效率？

接下来让学生利用性质a=amqn-m重新解答题5的第（1）问，然后板书解题过程.

师：对比这两种方法，你认为哪种方法更简洁呢？

生齐声答：利用性质a=amqn-m解答问题的方法更简洁、更高效.

师：非常好，利用该方法能否解决第（2）问呢？

学生体验利用性质解决问题的优势后，迫不及待地想用这个新方法重新解决第（2）问，学生的学习热情再次被点燃. 学生重新解答后，笔者投影展示学生的解答过程，这样不仅发散了学生的数学思维，而且让学生感受到了成功的喜悦，提升了学生学习的积极性.

师：真是一个非常棒的发现，利用性质高效地解决了问题. 回忆等差数列的通项公式的性质，你认为等比数列的通项公式是否还有其他性质呢？

生齐声答：有.

师：很好，今天限于时间我们就不再研究了，大家课后继续探索，下节课一起来欣赏你们的精彩结果.

设计意图 及时捕捉意外的课堂生成，鼓励学生证明等比数列的通项公式的性质，并预留时间让学生利用性质解决问题，体会类比迁移在数学学习中的价值，从而提高学生的数学探究兴趣和解题能力.

6. 课堂小结，提升素养

师：通过本节课的学习，你掌握了哪些知识、方法和思想？（预留时间给学生回顾反思，并鼓励学生主动表达所思、所想.）

生13：通过类比更加理解了等差数列的相关知识，掌握了等比数列的通项公式及其部分性质.

生14：体会到了类比思想的应用价值.

生15：学会了用累乘法和归纳猜想法对等比数列通项公式的推导.

……

设计意图 教学中引导学生从知识、方法、思想等多方面进行归纳总结，有利于建构学生的知识体系，提升学生解决问题的能力，落实数学学科核心素养. 在“课堂小结”环节中，教师不能大包大揽，应提供机会给学生去反思、去感悟、去交流、去表达，使学生更好地理解知识、掌握方法，培养学生反思的习惯，提升学生的数学素养.

课后思考

1. 课堂教学应重视思想方法的渗透

数学思想方法是数学教学的灵魂. 数学知识虽然会被遗忘，但思想方法的形成和掌握可以让学生受益终生. 因此，在课堂教学中，教师应重视数学思想方法的渗透，引导学生获得终身学习的能力. 本节课教学，以探索等比数列的通项公式为主线，以类比思想方法为暗线，通过明线与暗线的有机结合，不仅让学生掌握了本节课的重点知识，而且提高了学生自主探究的能力，落实了数学学科核心素养. 例如，在引入阶段，笔者引导学生回顾等差数列的学习内容，从而自然引出本节课的研究主题;在探索等比数列通项公式阶段，通过类比等差数列的累加法，联想累乘法，顺利完成了等比数列通项公式的证明;在应用等比数列通项公式阶段，由相减消元联想相比消元，提炼解决问题的方法;在深入探究阶段，类比等差数列通项公式的性质，得到了等比数列通项公式的部分性质. 在教学中，将类比思想贯穿课堂教学始终，让学生充分体验类比思想在巩固旧知、探索新知中的作用，这样学生不仅能学到知识，而且其数学素养能得到发展与提升.

2. 课堂教学应关注思维能力的生长

数学教学的实质是数学思维的教学，发展学生数学思维能力是课堂教学的一项基本任务. 在数学教学中，教师应避免简单的知识讲授，重视引导学生经历知识形成的过程，以此助推学生发展思维能力、提升学习能力. 例如，在本节课教学中，若笔者将等比数列的通项公式直接告诉学生，然后给出相应练习让学生应用公式去解决，这样的机械模仿和套用不仅会降低学生的学习兴趣，还会影响学生思维能力的发展. 因此，在实际教学中，教师要重视引导学生参与知识形成的过程，让学生多思考几个“为什么”和“怎么样”，使学生在知识生成的思维活动中去体验和感悟，以此在收获知识与技能的同时，慢慢生长数学思维能力.

总之，在数学教学中，教师应以生为本，引导学生经历知识形成的过程，培养学生数学抽象、逻辑推理等素养，促进学生思维能力的发展和学习能力的提升.

作者简介：聂代祥（1984—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.