应用探究:探索发现,论证生成
作者： 刘巧芬
[摘 要] “导数在研究函数中的应用——函数的单调性”的内容较为特殊，具有极强的应用性，是学生后续解析函数性质的基础. 在教学探究中，教师应注重“导数”与“函数单调性”之间关系的构建，合理设计教学环节，完成知识总结与论证. 研究者对此开展教学解读，探索教学过程，提出教学建议.
[关键词] 导数;应用;函数单调性;数形结合
教学解读
“导数在研究函数中的应用——函数的单调性”是人教A版（2019）选择性必修第二册教材第五章第三节的内容，是运用导数研究函数的第一个性质. 学生在之前已经掌握了定义法和图象法等初等方法研究函数的单调性，具备一定的知识基础. 本章节的学习有利于后续研究函数的极值、最值，讨论恒成立问题、存在性问题、零点问题等.
本节课主要引导学生探究导数在判断函数单调性中的适用性和实用性. 在探究教学中，教师要注重启发和引导，合理创设情境问题，鼓励学生合作探究、自主思考、互动交流.
过程探究
对于“导数在研究函数中的应用——函数的单调性”的教学过程，建议分为四个环节：情境引入、直观感知、论证生成、应用拓展. 各环节紧密相连，逐步深入，教师要引导学生探索发现，严谨论证. 下面具体阐述.
1. 教学环节一——情境引入，思维冲突
情境1 生活感悟.
已知某市气象站观测冬季某天气温，统计2～5时气温变化，气温f（x）与相应时间x可近似用函数f（x）=x-lnx-1来拟合，问这段时间内的气温f（x）随时间x的变化，具有哪些特点？
教学引导 引导学生从生活中抽象数学问题，明确研究实质为函数f（x）=x-lnx-1（x∈[2，5]）的单调性;引导学生思考能否借用定义判断函数的单调性，遇到障碍时是否有其他方法，便于后续探索新知.
情境2 思考解法.
如何判断下列函数的单调性？
（1）f（x）=x3+3x;（2）f（x）=2x3+3x2-12x+1;（3）f（x）=x3-2x-3;（4）f（x）=sinx-x，x∈（0，π）.
思考：使用图象法和定义法容易求解吗？
教学引导 引导学生判断上述函数的单调性，在学生所掌握的知识中，图象法和定义法较为常见. 对于图象法，需要绘制函数图象，显然难以实现;而采用定义法虽可行，但过程繁杂，求解困难. 由此引发思维冲突，促使学生思考其他解法.
2. 教学环节二——直观感知，探究发现
（1）示例分析
图1是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h（t）=-4.9t2+4.8t+11的图象.
设问：运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间中，运动员的重心离水面的高度有什么变化？
教学引导 引导学生关注区间内函数的增减.
（2）引导生成
在上述基础上引导学生思考：区间（0，a）和（a，b）内f′（x）的符号是怎样的？可以得到怎样的结论？
教学中可以采用填空的方式，引导学生归纳总结. 例如给出以下问题.
一般地，设函数y=f（x）在区间（a，b）内可导.
①如果在（a，b）内，f′（x）>0，那么y=f（x）在此区间是______;
②如果在（a，b）内，f′（x）<0，那么y=f（x）在此区间是______;
教学引导 引导学生初步发现导数值与函数单调性的关系. 教学中要注意两点：一是强调“区间”，必须是定义域内的某个区间;二是认识f′（x）=0，函数f（x）为常数.
3. 教学环节三——抽象思维，论证生成
根据上述探究，可以初步总结以下结论.
对于函数y=f（x）：①在某个区间（a，b）上，如果f′（x）>0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）上单调递增;②在某个区间（a，b）上，如果f′（x）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）上单调递减.
思考：要证明函数y=f（x）在给定区间I上单调递增，需根据定义证明什么？
教学引导 引导学生进行论证探究. 以上述结论①为例，分两步进行：第一步，转化问题，探究证明本质;第二步，借助直观图象，完成证明.
第一步，任取x，x∈I，且x<x，证明f（x）<f（x）成立. 也可将其转化为证明>0成立.
第二步，借助函数图象，证明在区间I内，连接任意两点的割线的斜率都大于零. 以图2为例，过点A（x，f（x）），B（x，f（x））的割线平行移动到与函数图象相切的位置，设切点为（x，f（x）），得到=f′（x）>0.
4. 教学环节四——应用拓展，知识强化
完成知识论证后，引导学生运用强化. 建议选用直观多样的问题，探索导数与函数单调性的关系.
问题1 已知导函数f′（x）的下列信息：当1<x<4时，f′（x）>0;当x>4或x<1时，f′（x）<0;当x=4或x=1时，f′（x）=0. 试画出函数y=f（x）图象的大致形状.
教学引导 引导学生根据上述信息判断固定区间内函数的单调性，再根据函数单调性绘制其图象.
①当1<x<4时，f′（x）>0，函数在区间内单调递增;
②当x>4或x<1时，f′（x）<0，函数在区间内单调递减;
③当x=4或x=1时，f′（x）=0，为函数的临界点.
根据上述信息，绘制出图3所示的函数图象.
问题2 y=f′（x）的图象如图4所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（ ）
教学引导 引导学生根据不同区间内的导函数f′（x）的正负来判断函数f（x）的单调性，从而确定函数f（x）的图象. 即按顺序“导函数的正负→函数的单调性→函数的图象”完成反向推导. 此处强调判断函数f（x）的单调性，关注的是导函数f′（x）的正负，而不是导函数f′（x）的单调性.
教学反思
1. 关注知识生成，挖掘知识内涵
对于导数研究函数的单调性，用情境问题引发思维冲突，引导学生探索、论证，更易于接受. 此过程涉及多种图象，如情境图象、函数图象等，利于学生直观把握“形”的特征，回归函数本质，挖掘知识内涵.
2. 自主活动探究，体验论证过程
本章节着重探讨导数与函数单调性之间的关系，采用活动探究方式教学. 引导学生从熟悉情境出发，互动思考，构建知识联系. 结合图象论证，提升学生观察、归纳、概括、抽象等思维能力. 注重适时引导，关注学生思维，把控课堂进程.
3. 渗透数形结合，提炼思想方法
对于“导数在研究函数中的应用——函数的单调性”的教学，建议应用数形结合思想方法，引导学生从“数”与“形”两个角度进行探究，直观感知函数图象与其导数图象的差异，并建立关系. 通过“形”到“数”的直观认识和“数”到“形”的抽象理解，有机融合两过程，体现导数研究函数的优势，助力后续解题.
作者简介：刘巧芬（1983—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.