新课标背景下数学实验的特征与应用方法的探索

［摘  要］ 数学实验特征显著，强调学生主体，具备探究性和合作性，同时注重思维的过程性和开放性. 研究者以“椭圆的定义与方程”教学为例，分别从“折纸操作，初现端倪”“实验观察，探索定义”“实验提炼，完善定义”“性质研究，建立方程”“知识应用，巩固提升”等方面展开教学设计，并谈几点思考.

［关键词］ 数学实验；椭圆；教学

数学是一门注重演绎与实验的学科. 然而，在很长一段时间内，受升学模式、传统教学理念等的影响，许多教师过分专注于数学演绎过程的逻辑性，却忽视了数学实验的应用. 长期以往，学生会误以为数学学习仅需逻辑推理，而忽略数学实验的重要性. 实际上，数学实验是触及知识本质，激发学生学习兴趣，培养学生创新意识，发展学生数学学科核心素养的基础.

数学实验的特征

数学实验是在“教师主导，学生主体”理论指导下，以实验方式对数学理论进行验证或问题解决的过程. 数学实验具有独特性，与其他自然科学实验不同.

1. 突出学生的主体性地位

新课标强调学生才是课堂真正的主人，数学实验秉承此理念，要求学生具备较高的动手动脑能力，凸显“做中学”的优势. 在数学实验过程中，学生需主动参与操作、讨论问题、分析错因，这些活动赋予学生研究者身份，促使他们积极投入问题的研究与探索中.

教师作为课堂的组织者，放权给学生，鼓励学生边操作边思考，在动手操作中探寻数学规律，发现解决问题的具体办法. 由此可见，数学实验过程是以学生为主体的过程，且为学生提供了广袤的思维空间，为激发潜能、发展核心素养服务.

2. 具有探究性与合作性

一般情况下，数学实验常以问题为引导，将数学知识或结论置于实际情境中，赋予其生动意义，激发学生主动探索. 实验帮助学生发现、提出、分析与解决问题，归纳数学规律，总结实验结论，完善知识结构. 数学实验常以小组合作形式进行，学生共同制定方案、选择手段，观察并总结结论. 由此可见，数学实验具有合作性和探究性，是提升学生“四基”与“四能”的有效途径.

3. 注重思维的过程性

新课标重视数学知识的形成与发展过程，鼓励学生主动探索、发现与思考，以满足核心素养背景下的教学需求，从而真正促进学力发展. 开展数学实验活动，并非旨在让学生掌握课本上的结论，而是旨在引导学生通过实验感知知识的形成与发展，深刻理解知识本质，探索新知建构过程，体验数学的创新精神和逻辑思维的成长.

4. 具有开放性

数学实验方法、环境与素材的选取，充分体现了数学实验的开放性特征. 从实验方法的角度来看，学生在已有的认知结构基础上，可综合运用多种手段来解决相应问题. 实验环境可选课内的，也可选课外的，如多媒体教室、家庭电脑等；实验素材的选取可跨领域. 开放性特征能拓宽学生的思维空间，使学生在实验中收获更多.

教学案例

本文以“椭圆的定义与方程”教学为例，探索新课标背景下数学实验的特征与应用方法.

1. 折纸操作，初现端倪

实验 取出课前准备好的圆形卡纸，在圆内非圆心的位置任意取点F，折叠卡纸让圆周过点F（见图1），随后展开卡纸，获得折痕l，并用铅笔将其勾勒出来. 反复多次折叠，勾勒折痕，观察折痕所围成的轮廓曲线.

学生自主操作，很快有学生激动地表示，获得了椭圆形状.

师：能够确定是椭圆吗？

生1：好像是，如果能折叠更多次，可能会更清楚一些.

师：很好！为了节约课堂操作时间，这个“更多次”我们有什么办法可以实现？

生2：可借助先进的信息技术实现.

设计意图 兴趣是学习最佳动力. 折纸活动旨在激发学生的探索欲和好奇心，促使他们自主进行探究学习. 为了验证学生的猜想是否正确，提出利用先进信息技术的方法. 数学实验的探究性、合作性、开放性和过程性在这一简短过程中得到了充分展现.

2. 实验观察，探索定义

借助几何画板展示折纸活动模拟实验，即展示折纸次数n与圆上点P的运动变化情况，共同追踪折痕l. 如图2、图3、图4所示（n的值分别为10，20，100），图象令学生惊喜.

师：观察发现，多条折痕可构成什么图形？

生（众）：椭圆.

教师继续操作几何画板，使点P运动起来，呈现图5所示的形态.

师：现在请大家一起观察图5，说说椭圆上的点是什么点？

学生自主观察并分析，一位学生提出椭圆上的点是折痕与椭圆的切点. 教师要求学生仔细观察并确认.

生3：确实是切点，也是线段OP与折痕l的交点.

师：观察得很仔细. 若交点为Q，它需满足什么几何条件呢？

生4：OQ+FQ=OQ+PQ=R.

师：不错，通过以上探索，可以总结出椭圆的定义吗？

生5：平面内，到两个定点距离的和恒为一个定值的点的轨迹为椭圆.

设计意图 本节课前，学生对椭圆的认识基于生活经验，对折痕所围成的椭圆是一种直觉上的判断. 几何画板的应用，帮助学生从感性认识过渡到理性认识椭圆，揭示椭圆的本质，并初步形成椭圆的定义.

3. 实验提炼，完善定义

取出一根无伸缩的细绳，将绳子的两端固定在黑板上的两个点上，拉紧绳子并移动粉笔，要求学生观察粉笔移动后画出来的曲线形状.

学生自主操作，有如下几种情况：①黑板上两点的距离比细绳的长度长，因为绳子长度不够，无法操作；②两点距离等于绳子长度，绳子无法移动；③两点距离比绳子长度短，画出椭圆.

师：通过这个实验，请大家再次说说对椭圆定义的理解.

生6：在一个平面内，与两个定点的距离之和等于常数（常数大于两定点间的距离）的点的轨迹为椭圆.

（教师板书，并提出焦点与焦距的定义. ）

设计意图 弗赖登塔尔认为“再创造”是数学学习最好的方法. 引导学生将所学内容“再创造”出来，可帮助学生更好地认识知识本质. 作为教师，其任务就是引导学生“再创造”，而非将既有结论机械地灌输给学生. 此环节，教师没有直接向学生展示“常数大于两定点间的距离”这一重要条件，而是结合学情与知识特点，引导学生亲历探索过程. 学生探究三种情况后，不仅发现之前总结的椭圆的定义存在不足，还进一步感知到椭圆规律形成与发展的过程，深化了对椭圆定义的理解.

4. 性质研究，建立方程

师：通过对椭圆形成过程的探索，大家有没有发现椭圆具备哪些几何性质？

生7：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.

师：哦？它的对称轴与对称中心分别是什么？

生8：如图6所示，如果点F，F为椭圆的两个焦点，那么该椭圆的对称轴是线段FF的垂直平分线，线段FF的中点为对称中心.

师：非常好！除此之外，该椭圆还具备什么性质呢？

生9：或许可以从方程的角度去分析.

师：这个想法不错，究竟该怎样建立椭圆的方程呢？

生10：建立平面直角坐标系，设置点的坐标，探寻它们的等量关系（用坐标表示），化简后就可得椭圆的方程.

师：如何建立平面直角坐标系呢？

学生自主思考、画图，小组合作探索，在教师协作下，获得焦点分别位于x轴和y轴的椭圆的标准方程.

设计意图 在教师的引导下，学生自主获得了椭圆的性质与标准方程，此为本节课的教学重点与难点. 学生自主画图并探索椭圆的标准方程，进一步发展了数学逻辑思维与空间想象力.

5. 知识应用，巩固提升

例题 已知B，C为平面内的两个定点，BC=6，若A为一个动点，△ABC的周长为16，那么点A的轨迹方程是什么？

设计意图 本题意在深化学生对椭圆的定义与标准方程的理解，增强学生对椭圆的标准方程的应用意识. 在教学过程中，当学生遇到难题时，教师用几何画板帮助学生通过图形变化找到解题思路.

5. 总结反思，提炼升华

略.

几点思考

1. 数学实验丰富教学模式

高中生主要进行操作性数学实验，通过工具、材料，并利用现代技术手段来检验或揭示数学知识的本质. 如本节课折纸、拉绳画椭圆，以及几何画板的应用等，都从不同角度揭露了椭圆的定义与方程形成过程，有效丰富了课堂教学的手段. 回望传统教学模式，大多以“一问一答”“上台讲解”“分组讨论”等形式揭示知识本质，而数学实验的介入，是对传统教学模式的有效补充.

尤其是信息技术的应用，让数学实验的开展更加便捷，学生从可视化实验中更好地理解并应用数学，这对提升学生的学习兴趣与应用能力具有直接影响. 因此，数学实验不仅丰富了课堂教学模式，还给课堂带来了生机与活力.

2. 数学实验凸显学生地位

学生为课堂主体，教育界普遍认同. 究竟该如何将这个理念落到实处呢？数学实验过程是学生主动参与的探索过程，可充分发挥学生在探索中的主动性. 如本节课的折纸活动、几何画板演示和绳画椭圆等实验，学生都积极参与其中，并通过自主操作获得了良好的学习体验与感悟.

学生自主参与实验活动可直观了解知识本质，但过程中常遇挫折与困难，此为锻炼学生耐挫能力的契机，对培养学生的团队协作能力具有重要意义. 因此，实验活动不仅帮助学生掌握教学内容，还培养学生挫折应对能力，提升学生探索精神及核心素养.

3. 数学实验对教师提出更高要求

与物理或化学学科的实验相比，新课标背景下的数学实验更关注思维的交流过程. 随着时代的进步，传统的教师手工制作简易教具供学生实验操作的做法已不再适应当前需求. 现今，数学实验常需信息技术支持，这对教师的专业技能提出了更高要求. 教师需精通几何画板等软件，并具备将抽象数学知识具象化的能力.

总之，新时代的教师应具备专业知识，掌握备课和备学生的能力，并熟悉数学实验和信息技术的应用. 这是提升实验质量、发展学生思维与核心素养的关键.