从知识到生活的高中数学建模实践研究

[摘  要] 数学模型是解决生活实际问题的重要工具，培养学生数学建模能力既是顺应高考形势的需要，又是顺应时代发展的需求. 研究者从生活、教材、试题等方面入手，基于学生已有认知基础和生活经验，引导学生经历数学建模过程，感知数学建模思想，提升数学建模素养.

[关键词] 数学建模;建模实践;建模能力;核心素养

数学教学应兼顾知识掌握与实际问题解决，以此践行“学以致用”教学思想，提高学生的数学应用能力. 在课堂教学中，教师应将模型思想渗透于日常教学的各个环节中，让学生充分感知数学模型思想的现实价值，有效提高学生的数学综合学力. 在实际教学中，教师应以学生的生活经历为原型，引导学生体验由生活到模型，再由模型到生活的探究过程，让学生充分感悟用数学模型解决生活问题的价值与意义，培养学生的数学建模素养. 笔者结合高中数学建模实践案例谈谈自身对数学建模的理解，若有不足，请指正！

以生活为背景，提升学生建模意识

众所周知，生活中处处是数学，关注生活中的数学模型是学好数学的重要一步. 在解决生活中的一些比较复杂的问题时，教师要有意识地引导学生运用模型思想探索问题，用数学知识去解释生活实际问题，即会用数学语言表达现实世界，以此加强学生的数学建模意识.

例如，购房贷款是热点话题，也是难点问题，部分学生因问题烦琐而退缩. 基于此，教师引导学生建立数学模型，通过合理还款方案的制定来增强学生的数学建模意识. 教学片段如下：

师：随着房价的上涨和银行贷款利率的下调，更多的人选择从银行按揭贷款购房. 这不，小刚就准备按揭贷款买房，银行给他提供了两种还款方式：等额本息还款和等额本金还款. 小刚不知道该如何选择，你能帮帮他吗？

生齐声答：能！

师：假设X为贷款本金，Y为每期还款本金，A为还款总额，B为贷款利息总额，α为月利率，β为年利率，n为还款期数. 结合以上内容，你能得到哪些等量关系呢？

教师预留时间让学生思考并分享发现.

生1：A-X=B，X=nY.

生2：β=12α.

师：很好. 根据以上信息，你能建立两种还款方式的数学模型吗？

教师鼓励学生以小组为单位进行探究，发挥集体智慧.

师：对于等额本息还款，你是如何理解的呢？

生3：假设购房者在第i期还款前所欠的金额为a，在第i期还款后所欠的金额为b，月还款额为z，则a=X（1+α），b=a-z=X（1+α）-z;a=b（1+α）=X（1+α）2-z（1+α），b=a-z=X（1+α）2-z（1+α）-z;以此类推，a=b（1+α）=X（1+α）i-z（1+α）i-1-…-z（1+α），b=a-z=X（1+α）i-z（1+α）i-1-…-z（1+α）-z，依据模型可以推导出每月还款额、还款总额和贷款总利息.

师：对于等额本金还款，你又是如何理解的呢？

生4：假设购房者第i期应还金额为z，则z=Y+（X-Y）α，z=Y+（X-2Y）α，以此类推，z=Y+（X-iY）α. 由此可以计算出还款总额和贷款总利息.

生3和生4给出结果后，教师预留时间让学生互动交流，以此检验模型的科学性、合理性，进一步深化学生对模型的理解.

师：假如小刚准备贷款40万元，年利息为6%，还款期限为10年，他采用哪种方式还款更划算呢？

教师预留时间让学生利用已建立的数学模型解决实际问题，学生通过计算得到如下结果：若采用等额本息还款，则每月还款额为4440.82元，还款总额为532898.41元，贷款总利息为132898.41元;若采用等额本金还款，则每月还本金3333.33元，每月还款额分别为z=5316.66（元），z=5300（元），…，z=4450（元），z=4433.33（元），…，z=3333.33（元），还款总额为519000元，贷款总利息为119000元. 从省钱的角度考虑，采用等额本金还款更划算. 不过等额本金前期还款金额多，故需要根据实际情况合理选择.

上述建模过程，既揭示了数学与生活的紧密联系，又展现了数学模型的简约美;既引导学生领悟数学建模魅力，又激发学生的数学学习热情，从而提升学生的综合素养.

以教材为依托，发展学生建模素养

教材在课堂教学中的价值不言而喻，是教学的重要媒介，可帮助学生开启数学思维之门. 在实际教学中，教师应充分挖掘教材中的教学资源，通过合理整合和改编以更好地服务于学生、服务于教学. 在培养学生数学建模能力时，教师应以教材为依托，充分发挥教材的育人功能，让学生在探究中深刻地理解知识，提升解决实际问题的能力.

例如，人教A版（2019）教材中有一道以考古真实事件为背景的题目. 教师结合教学实际改编题目如下：当生物死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减. 已知碳14的半衰期为5730年，马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约为初始量的76.7%. 根据以上数据，你能推断出马王堆汉墓是什么年代建成的吗？

问题给出后，教师没有急于让学生解决问题，而是鼓励学生查阅相关资料，了解碳14的半衰期，明晰利用碳14的衰减率来推断生物死亡年数的科学性，以此激发学生的探究热情. 查阅资料可知，碳14的衰减率为p=1-. 资料查阅后，教师引导学生建立模型：设马王堆汉墓从建成到被发现历经x年，马王堆汉墓女尸体内碳14的初始量为k，衰减率为p（0<p<1），残余量为y，则y=k（1-p）x（k∈R，且k≠0;0<p<1;x≥0）. 这样代入相应数值，即可求得马王堆汉墓的建成时间. 当然，该题对于高一学生来说难度较大，运算较为复杂，因此要在学生掌握了指数函数与对数函数的基础上提出. 在解题前，教师可以引导学生回顾相关知识，建立函数意识，以此确保数学模型的顺利构建.

上述问题以考古真实案例为背景，引导学生体会数学在解决实际问题中的价值，进一步深化学生对指数函数和对数函数的理解，帮助学生建立函数意识，让学生充分感知数学探究乐趣. 在此过程中，教师以生为主，引导学生掌握数学建模流程与操作步骤，有利于学生数学建模素养的发展与提升.

以试题为导向，培养学生建模能力

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》与《中国高考评价体系》要求教师在教学中不断引导学生感悟数学的应用价值，这使得考查学生应用能力的试题越来越多. 在教学中，教师可从生活实际出发，利用试题形式来引导学生建模.

例如，在高三复习阶段，教师给出了这样一道题目：为了优化城市交通，缓解交通压力，某市对十字路口车流量进行监控. 根据统计调查发现，某一十字路口东西方向绿灯行驶时间为49秒，南北方向绿灯行驶时间为39秒，红绿灯转变的一个周期为88秒. 在红绿灯转变的一个周期内，从东西方向到达该路口的车辆平均为30辆，从南北方向到达该路口的车辆平均为24辆. 请根据以上信息建立数学模型，并依据数学模型判断这样的设置是否合理.

题目给出后，通过师生和生生互动交流确认，判断该设置是否科学、合理，就是判断一个周期内车辆滞留时间是否最少. 基于此，不妨设红绿灯转变的一个周期为T秒，一个周期内从东西方向到达路口的车辆平均为A辆，从南北方向到达路口的车辆平均为B辆;东西方向绿灯行驶时间为t秒，则南北方向绿灯行驶时间为（T-t）秒. 设一个周期内，从东西方向到达路口的车辆的滞留时间为y秒，等待绿灯的平均时间为秒;从南北方向达到路口的车辆的滞留时间为y秒，等待绿灯的平均时间为秒. 忽视转弯和黄灯的情况，只考虑直行和红绿灯的情况. 于是建立模型如下：y=B··=t2，y=A··=（T-t）2. 总滞留时间Y=t2+（T-t）2，最终求得当t=时，Y最小. 这样得到该模型后，只要将相应数值代入其中即可进行判断. 经验证，以上设置是科学的，符合实际情况.

以红绿灯这一现实生活情境为研究背景，可以有效调动学生的参与积极性. 在具体教学中，教师可以播放一段交通视频，并提供相关资源让学生阅读、交流，分析构建该模型需要确定哪些变量，以此培养学生的数据分析和数学建模素养.

总之，在数学教学中，教师要从生活实际出发，合理使用建模教学方式，引导学生经历数学模型建立与数学模型应用全过程，以此强化学生的数学应用意识，使数学教学更生活化、趣味化和社会化.