重视思维投入,提升思维品质
作者： 朱小坤
[摘 要] 数学思维是数学学科中最为基础的能力，也是培养学生终身学习能力的关键.因此，在数学课堂教学中，既要关注学生数学思维的培养，又要加大学生思维投入力度，引导学生思维深度参与，以此提高学生的思维品质，培养学生的数学学科核心素养.
[关键词] 数学思维;思维品质;数学学科核心素养
随着现代教学理论的开展，培养学生数学学科核心素养已成为数学教学的核心目标. 在实际教学中，教师要认真研究数学、研究教学、研究学生，在“四个理解”的基础上巧妙地设计课堂教学，充分发挥学生的主体意识，增加学生的思维容量，以发展学生的思维能力，培养学生的数学学科核心素养. 笔者以复习课为载体，以发展学生为目标，就如何培养学生的数学思维，助推学生数学学科核心素养的提升进行了研究. 现将研究心得呈现出来，与大家分享.
开放式设问，让思维积极
问题是思维的心脏，培养学生数学思维自然少不了问题. 开放式问题能给学生提供更为广阔的思考空间，能使不同思维层次的学生参与课堂教学. 通过开放式问题的思考和解答，激发学生思维的积极性，促进各层次学生有所发展、有所提升. 同时，这种方式能调动学生的已有知识和经验，提升学生的解题能力和自主学习能力，帮助学生积累数学活动经验. 另外，开放式问题为生生和师生交流提供了素材，增强学习乐趣与信心，促进思维深入.
例1 对于矩阵M=1 3
2 2，请结合已有知识，提出与矩阵M相关的问题.
例1是在复习“矩阵与变换”时，教师给出的一道开放式问题，旨在引导学生运用所学的矩阵特征和性质，提出相关问题. 通过这种方式，学生在巩固基础知识和技能的同时，能够加深思维的参与度，从而提升学习的主动性和积极性.
问题给出后，教师提供充足的时间让学生表达自己的所思、所想. 学生积极思考，主动交流，提出了以下精彩的问题.
（1）求矩阵M的特征值和特征向量;
（2）计算M50;
（3）点A（1，2），B（-3，2）经矩阵M对应变换后的坐标是什么？
（4）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（3，7），C（-1，0），它们经矩阵M对应变换后的图形的面积是多少？
（5）求矩阵M的逆矩阵.
学生提问基于章节知识整体思考，回顾知识;解答问题检测基础知识、方法掌握情况，巩固强化基础知识和技能. 通过问题的提出与解答，既能帮助学生完成知识梳理，又能强化学生的解题技能，有利于学生数学思维的深化、数学能力的提升.
传统复习教学常罗列基本知识和技能，增加了数学乏味感，从而影响了学习效果. 因此，在复习教学中，教师应设计一些开放式问题，为学生提供独立思考和合作交流的空间，引导学生主动提出自己的所思、所想，以此丰富课堂内容，增加学生思维投入，促进学生思维能力的发展与提升.
多途径求解，让思维灵动
在新时代背景下，培养具备创新精神的人才已成为数学教育的一项重要任务. 由于发散思维是创造性思维的基础，因此教师应鼓励学生从不同角度思考和解决问题. 通过一题多解的方式开拓学生的思路，培养学生思维的发散性、创造性. 要知道，数学课堂教学旨在让学生掌握知识和方法，更关键的是培养学生学习能力和终身学习能力. 为了实现这一目标，教师必须创造条件，激发学生深入思考和深刻感悟. 在解决问题的过程中，教师应充分利用学生的个体差异，引导他们从多角度对问题及其解决方法进行探索，从而充分激发学生的主体性. 这样不仅能促进学生思维能力的提升，还能全面增强他们的综合素养.
例2 如图1所示，在△ABC中，∠CAB=60°，AB=4，AC=6，点D在边AB上，且=2，点E在边AC上，且=2，点F为DE的中点，则·的值为______.
例2是学生学习平面向量数量积的基本运算后，教师提供的一道典型练习题. 在课堂上，教师启发和引导学生运用多种方法来解决该问题，并展示他们的解题思路（如图2所示），以此来提高学生的解题能力.
数量积的求解方法是丰富多彩的，其中基底法和坐标法是常规方法. 基底法注重平面向量的几何特征，对图形的要求不是很高，但是对运算能力要求较高;坐标法注重平面向量的坐标特征，虽然计算简单，但是对图形的依赖程度较高. 关于另外两种方法，是对“∠CAB=60°”这一已知条件的深度挖掘，通过创造直角三角形和等边三角形，巧妙地转换问题，然后结合向量的加减以及向量的数量积的几何意义来解决问题. 这样引导学生从不同角度出发，充分挖掘题设条件，明确思考方向，形成有效的解题策略，使学生在分析和解决问题的过程中认清了数量积问题的本质，加深了对此类问题的理解. 同时，通过一题多解，有效发散了学生的数学思维，使学生的思维更加灵动.
多角度变式，让思维归一
变式教学是一种重要的教学方式，其在培养学生思维的严密性、深刻性等方面发挥着不可估量的作用. 在解题教学中，合理应用变式方法可以加深学生对知识的理解，凸显问题的本质，实现思维归一. 在实际教学中，围绕一个问题的本质进行变式，可以让学生充分体会“万变不离其宗”的深刻内涵，帮助学生构建知识网络，形成经验系统.
例3 椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F，F，其上顶点为P，若△PFF是等边三角形，则椭圆的离心率是______.
变式题1：在原题的基础上，将“等边三角形”变为“直角三角形”，则椭圆的离心率是______.
变式题2：在变式题1的基础上，将点P改为椭圆上的任意一点，则椭圆的离心率的范围是______.
变式题3：若点M为椭圆+=1（a>b>0）上的任意一点，点A是右顶点，OM⊥MA，则椭圆的离心率的范围是______.
变式题4：已知椭圆+=1（a>b>0）与直线y=-x+1相交于A，B两点，且OA⊥OB. 若椭圆的离心率e∈
，，则a的最大值是______.
通过上述变式使学生充分地认识到，离心率就是关于基本量（a，b，c）的一个比值. 求解离心率，需要构建一个与基本量相关的等式;而确定离心率的范围，则需要建立一个与基本量相关的不等式. 对于原题和变式题1，都是从“形”的角度出发，如原题由△PFF是等边三角形，推导出a=2c，继而求出椭圆的离心率为;对于变式题1，根据椭圆的对称性可得b=c，再由勾股定理推导出a=c，求得椭圆的离心率为. 以简单的、易于理解的题目为切入点，通过有效对比可以凸显离心率的本质，增强学生的解题信心. 在此基础上，变式题2通过改变等式条件，将问题一般化，难度看似增大了. 然而，一旦学生掌握了问题的本质，并能列出包含基本量的不等式，便能轻松应对. 对于变式题3和变式题4，虽然在“形”上做出了很大的调整，但是其本质不变. 解题时学生只要能抓住问题的本质，就能以不变应万变，拨开云雾见月明.
数学题目虽然表面上千变万化，但许多题目实际上考查的知识点或应用的数学思想方法是相同的. 因此，在教学中，尤其在复习教学中，教师应合理地引入变式题，帮助学生认清问题的本质，提高学生分析和解决问题的能力.
总之，数学思维的教学构成了数学课堂的核心. 在复习教学中，教师应巧妙地设计问题，促进学生深刻理解所学知识，学会用数学思维思考和解决问题，培养数学思维品质，全面发展数学能力.