剖析数列求和方法
作者： 钱晨
[摘 要] 数列是高考必考内容，涉及多个知识点，要求考生掌握方法技巧、规律分析、运算推理和思路构建. 学生探究解题时应深入理解考点，总结方法策略，并积累解题经验. 研究者通过分析一道考题，总结求解数列前n项和的方法.
[关键词] 数列考题;通项公式;求和方法
问题综述
数列是高中数学的重点知识，高考每年都有针对性的命题考查，涉及数列通项公式、数列前n项和，以及函数和不等式的结合. 数列问题解析对学生的方法技巧的要求较高，需要掌握常规数列求法，以及特殊情形下的放缩、拆解等技巧.
由于数列解析涉及大量运算，因此要求学生运算清晰，能运用简算技巧推导和总结规律. 本文建议总结题型方法，结合实例加强练习，形成解决数列问题的策略.
示例探究
2023年全国高考甲卷理数第17题为数列压轴题，考查数列的通项公式和前n项和的求法. 问题难度一般，但所涉及的知识和方法是数列内容的核心，具有较高的研究价值. 建议以该考题为例进行探究剖析，拓展总结解法.
1. 考题探究
（2023年全国高考甲卷理数第17题）已知数列{a}中，a=1，设S为{a}前n项和，2S=na.
（1）求{a}的通项公式;
（2）求数列
的前n项和T.
2. 过程解析
（1）对n进行分类讨论，具体如下：
当n=1时，2a=a，即a=0;
当n=3时，2（1+a）=3a，即a=2;
当n≥2时，2S=（n-1）a，所以2（S-S）=na-（n-1）a=2a，化简得（n-2）a=（n-1）a;
当n≥3时，==…==1，即a=n-1.
当n=1，2，3时都满足上式，所以a=n-1（n∈N*）.
（2）因为=，所以T=1×
+2×
+3×
+…+n×
，T=1×
+2×
+…+（n-1）×
+n×
. 两式相减可得T=
+
+
+…+
-n×
=-n×
=1-
1+
，即T=2-（2+n）
，n∈N*.
3. 命题剖析
上述考题考查数列的通项公式和前n项和，结合数列规律对核心条件进行剖析转化是解题关键.
第（1）问：已知2S=na，求{a}的通项公式，实则是分析a与S的关系.
①数列{a}的前n项和S=a+a+…+a;②数列{a}的通项公式a=S
，n=1，
S
-S，n≥2.
已知S求a，可分三步：第一步，用a=S求出a;第二步，用n-1替换2S=na中的n，得到一个新的关系，再用a=S-S（n≥2）求出n≥2时a的表达式;第三步，检验n=1时a的表达式可否与n≥2时a的表达式合并.
第（2）问：求数列
的前n项和T. 由于数列
不属于常规数列，故无法用公式法求解Tn. 剖析=，可知其项是等差数列{n}和等比数列
的对应项之积，故可用错位相减法求解Tn.
方法探索
数列的前n项和的求解方法众多，除错位相减法外，常用的还有倒序相加法、裂项相消法、分组求和法和插入新数列混合求和法等. 探究学习要求学生深入理解解法，掌握构建过程，并结合问题特征进行求解.
1. 倒序相加法
倒序相加法：若某个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等，则可用倒序相加法求这个数列的前n项和，如等差数列的前n项和就是用此法推导出来的.
倒序相加，顾名思义就是先“倒序”再“相加”，因此具体使用时分两步：第一步，针对数列的前n项和，先正序书写，即S=a+a+…+a，然后倒序书写，即S=a+a+…+a;第二步，两式相加，变形整理，求得S.
例1 已知函数y=f（x）满足f（x）+f（1-x）=1，若数列{a}满足a=f（0）+f
+f
+…+f
+f（1），则数列{a}的前20项和为______.
思路分析 根据题意可知f（x）+f（1-x）=1，变量“x”和“1-x”始终满足 x+1-x=1. 又a=f（0）+f
+f
+…+f
+f（1），故可使用倒序相加法求解.
解答 正序书写，即a=f（0）+f
+f
+…+f
+f（1）;倒序书写，即a=f（1）+f
+f
+…+f
+f（0）. 两式相加，即2a=[f（0）+f（1）]+
f
+f
+
f
+f
+…+
f
+f
+[f（0）+f（1）].
变形整理，得2a=1+1+1+…+1⇒2a=n+1⇒a=.
分析可知，{a}是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为=115.
方法点拨 采用倒序相加法求解，关键是挖掘数列关系式的特征. 使用时需要注意两点：一是确保思路清晰，分两步构建过程;二是变形整理时注意“相抵相消”，简化运算.
2. 裂项相消法
裂项相消法：把某个数列的通项公式拆分成两个式子之差，在求和时抵消中间的一些项，最终求得其和. 使用时先“裂项”再“相消”，故分两步：第一步，裂项，即把数列的通项公式拆分成两个式子之差;第二步，相消，即通过累加，抵消中间的一些项，再整理构“型”.
例2 已知等差数列{a}满足a-a>0（n∈N*），且a+a+a=15，a，a，a成等比数列.
（1）求数列{a}的通项公式;
（2）若b=，求数列{b}的前n项和S.
思路分析 第（1）问：求数列{a}的通项公式，直接利用等比数列的性质即可完成;第（2）问：核心之问，需要结合第（1）问分析bn的特征，再确定具体的求和方法.
解答 （1）设等差数列{a}的公差为d，因为a，a，a成等比数列，所以（a+3d）2=（a+d）（a+7d），整理得（d-a）d=0. 又a-a>0，所以d>0，a=d. 而a+a+a=3a+12d=15，即15d=15，所以a=d=1. 所以a=n.
（2）因为a=n，所以b==. 该式具有明显的可用裂项相消法求其前n项和的特征，但裂项是解题难点，裂项时要把握住“型”. 具体求解过程如下：
先用待定系数法裂项，即设b==k
-
. 然后通过通分，逆向求出k值，即k
-
=k·=k·=k·，与b=对比分析可得k=1.
后续裂项求和，得S=
-
+
-
+
-
+…+
-
+
-
+
-
=-1. 所以{b}的前n项和S=-1.
方法点拨 数列{b}的通项公式符合裂项的特征，属于指数型. 裂项是解题难点，可用待定系数法加以检验.
对于指数型裂项求和问题，可细分为指数式在分子和指数式在分母两种情形，其裂项方式如下：
①若指数式在分子，例如b==-，分母分别为n+1和n+2，分母大的写前面，分母小的写后面;
②若指数式在分母，例如b==-，分母分别为n·2n和（n+1）·2n+1，分母小的写前面，分母大的写后面.
3. 分组求和法
分组求和法：若某个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列的通项公式组成的，则可用分组求和法求该数列的前n项和. 分组求和法先“分别求和”，再“相加相减”，因此使用时同样分两步：第一步，将通项公式拆分成多个等差数列或等比数列的通项公式;第二步，分别求和后加减组合.
例3 已知数列{a}的前n项和为S=1-2a，且a=.
（1）求数列{a}的通项公式;
（2）b=log
a，n为奇数，
a，n为偶数（n∈N*），求数列{b}的前2n项和T2n.
思路分析 第（1）问：求数列{a}的通项公式，利用作差法即可完成;第（2）问：求数列{b}的前2n项和T2n，注意到数列{b}的奇偶通项不同，可考虑使用分组求和法.
解答 （1）在数列{a}中，已知S=1-2a，则S=1-2a. 两式作差，可得S-S=（1-2a）-（1-2a），即a=a. 当n=1时，S=1-2a，即a=. 又a=a=，所以数列{a}是以为首项，为公比的等比数列. 所以a=·
=.
（2）由（1）问可知a=，所以{b}的通项公式b=n，n为奇数，
，n为偶数（n∈N*）. 所以T=（b+b+…+b）+（b+b+…+b）=（1+3+…+2n-1）+
++…+
=+=n2+-. 所以数列{b}的前2n项和T2n=n2+-.
方法点拨 求解时要注意到T2n为偶数项和，最后一项一定是偶数项;若求的是T，最后一项是奇数项还是偶数项，则需要分类讨论.
分组求和法常用于两种类型：
类型1：特殊数列，即数列通项公式是c=a±b的形式，其中a，b是等差数列或等比数列或其他可求和的数列的通项公式.
类型2：数列由奇、偶项组合而成，即数列通项公式是c=
a，n为奇数，
b，n为偶数的形式（an，bn同上述一样）. 本例就属于该种类型.
4. 插入新数列混合求和法
插入新数列混合求和法：若某个数列各项的关系不连续，插入新数列后可以转化为关系连续的数列求和.
例4 已知数列{a}的前n项和S满足S=1，S=4，S+S=2（S+1）.
（1）求{a}的通项公式;
（2）在a与a之间插入一项b，使a，b，a成等比数列，且公比为q（q>0），求数列{lnq}的前n项和T.
思路分析 第（1）问：求数列{a}的通项公式，解题关键是变形S+S=2（S+1），得到关系式a-a=2. 第（2）问：由题意可知（2n-1）q=2n+1⇒q=，两边同时取自然对数，得2lnq=ln，再分析其特征，明确求和方法.
解答 （1）数列{a}的前n项和S满足S+S=2（S+1），则（S-S）-（S-S）=2，可得a-a=2. 又S=1，S=4，则a-a=S-2S=2. 所以{a}是首项为1，公差为2的等差数列，可得a=2n-1. 所以{a}的通项公式为a=2n-1.
（2）因为a，b，a成等比数列，且公比为q，所以an·q=an+1. 因为a=2n-1，所以（2n-1）q=2n+1，即q=. 因为q>0，则2lnq=ln，可得lnq=ln=[ln（2n+1）-ln（2n-1）]，化简得T=lnq+lnq+…+lnq=[ln3-ln1+ln5-ln3+…+ln（2n+1）-ln（2n-1）]=ln（2n+1）. 所以数列{lnq}的前n项和为T=ln（2n+1）.
方法点拨 插入新数列混合求和法是一种特殊的数列重组方法，求解时需明确两点：一是插入数列的位置，明确前后关系;二是重组数列的特征，可通过数列关系式整合变形来确定.
插入新数列的混合形式多样，常见的有等比型、等差型和混合型，具体求解时可综合解法，混合构建.
写在最后
数列是高中数学的核心内容，涉及多种考查角度. 掌握其通项公式和求和技巧对解题至关重要. 建议将探究学习分为两个阶段进行指导：阶段一，结合考题类型探索高考考向、重点知识和方法技巧;阶段二，引导学生结合方法策略进行实例探索，强化应用.