立足深度学习，培养批判性思维

［摘  要］ 利用深度学习理论培养学生的数学批判性思维，对于激发学生的创新意识具有独特的优势. 文章着重强调批判性思维与深度学习的重要性，并从六个方面详细阐述教学设计与分析策略：温故旧知，初步感知；创设情境，引入新课；构建概念，理解本质；练习训练，巩固概念；探索例题，深化理解；总结归纳，提炼升华.

［关键词］ 深度学习；批判性思维；概念教学

作者简介：王艳红（1980—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.

随着科技的飞速进步，国家对于顶尖创新人才的需求急剧增加. 但是，受到传统教育观念和升学压力的影响，目前仍有许多教师未能与时俱进，依然存在“重结果，轻思维”的教学理念. 殊不知，数学是思维的体操，高考的目的是筛选出富有创新能力的人才. 若想在高考试卷上取得优异成绩，就必须着眼于思维的培育. 研究表明，依托深度学习理念来培育数学批判性思维，对于增强学生的创新意识具有不可比拟的优势.

核心概念界定

1. 批判性思维

批判性思维是指用一种求真、好奇、开放或自信的态度对待研究对象，并在质疑、推理、思考与评价中获得理性、公正的决定. 一般可从以下三个方面来理解：基于思维品质分析，批判性思维属于一种思维能力；基于认知过程分析，批判性思维属于认知思维过程；基于个性心理特征分析，批判性思维属于一种精神、思维倾向或思维态度.

2. 深度学习

深度学习既是学习过程，又是学习策略，指学生在教师的引导下围绕具有一定挑战性的主题进行深度探索，获得其本质的学习方式. 深度学习有以下特征：①是一种注重理解与建构的学习方式；②遵循“以生为本”的原则，学生需要自我导向和规划；③动态、批判性地理解知识；④注重学法指导，强调习惯养成；⑤注重思维的关联度与创新意识的培养.

教学实践

1. 温故旧知，初步感知

问题1 在初中阶段，大家接触过哪些函数？它们的表达式分别是什么？

生1：一次函数，其表达式为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）；二次函数，其表达式为y=ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a≠0）；反比例函数，其表达式为y=（k为常数，且k≠0）.

师：说得很完整，哪位同学说一说当时是怎么给函数下定义的？

设计意图 回顾函数的定义以及三种函数表达式，旨在巩固已学知识，为本节课的教学打下坚实的基础.

2. 创设情境，引入新课

问题2 基于你们对函数的了解，回答以下问题.

（1）已知一个圆的半径为x，那么该圆的周长与直径之比为y=π，当x∈（0，+∞）时，y是否为x的函数？

（2）函数y=x2（x∈（0，+∞））与函数y=x2（x∈R）一样吗？

（3）若y=0，x为无理数，1，x为有理数，y是否为x的函数？

设计意图 一些学生能够迅速得出结论，而另一些学生则受到思维局限的束缚，难以独立且迅速地作出判断. 在学生的认知中，函数定义通常涉及两个变量，因此需要思考：问题（1）中的y是否为变量？在初中数学中，函数的定义提到“在一个变化过程中”，那么问题（3）涉及几个变化过程呢？正是由于这些问题的干扰，学生在准确判断上遇到了困难. 这揭示了重新定义函数的必要性.

问题3 若某种物体自由下落的高度y（单位：米）与下落时间x（单位：秒）之间的关系式为y=4.9x2，根据这一条件可否获得这种物体3秒所下落的高度是多少？

问题4 重庆某天的气温情况见图1.

（1）说说重庆在这一天上午10点的气温，以及最高气温与最低气温分别是多少；

（2）这一天什么时候重庆的气温低于0 ℃？

设计意图 上述两个问题分别通过解析法和图象法进行探究，为接下来抽象函数符号f做铺垫. 鉴于学生目前的认知能力，从这两个问题中提炼出新的函数概念颇具挑战性. 因此，在教学中，教师可引入问题5，以助力学生更深入地理解并掌握函数概念.

问题5 在上述两个问题（问题3和问题4）中，变量之间的对应关系在形式上存在哪些异同点？

教师给予学生充分的时间进行独立思考和合作探讨. 经过探讨，总结如下.

相同点：问题3和问题4均有两个变量，且当其中一个变量被确定时，另一个变量则有一个唯一值与之相对应. 不同点：对应关系的表达形式各异，问题3采用的是数学表达式，而问题4采用的则是图象.

设计意图 通过分析两个问题的异同点，能够进一步加深学生对函数的理解，并为培养他们的思辨能力打下坚实的基础. 这一过程同样有助于培育批判性思维.

问题6 从“集合”的角度，描述问题3和问题4的共同特征.

设计意图 此问涉及“集合”与“对应关系”，不仅能让学生顺利解决问题2，还能为抽象新的函数概念奠定基础. 从某种意义上来说，此为一个创新性问题，具有一定难度，需要教师适当点拨.

综上所述，众多问题情境为学生构建新的函数概念提供了坚实的基础. 学生对函数的起源和发展过程有了初步的理解，这种循序渐进的教学方式明显优于传统机械记忆概念的方法. 部分教师忽视概念形成的过程，倾向于直接展示概念，长期如此，可能导致学生在认知上遇到障碍，在实际应用时显得不知所措.

3. 构建概念，理解本质

用PPT展示函数的概念，引导学生剖析概念中的关键词与要点，并用规范、准确的数学语言描述概念、定义域和值域等.

问题7 对于函数定义中提到的符号f与y=f（x），你们是怎么理解的？

这是本节课需要重点解决的问题. 许多学生学习完这部分知识后，仍然无法清晰地理解符号f与y=f（x）之间的关系. 因此，教师可结合学情引导学生通过以下几步来分析问题.

第一步，引导学生利用生活实例来解释图2. 例如，将x视为材料，f视为一个加工机器，f（x）则为加工后的成品. 加工流程为：添加材料x，经f加工，输出f（x）.

一个形象的比喻揭露f与y=f（x）之间的关系. 如图3所示，它们之间的关系可通俗地理解为：x在f的作用下转化为y，y=f（x）表示y是关于x的函数.

第二步，重点探索因变量y，引导学生明确y的从属地位——y值受x值的影响，由此进一步强调f为一种对应关系，揭露y=f（x）的意义. 关注到这一点，还能进一步强化学生对“函数y=f（x）的值域”的理解，明确集合｛yy=f（x），x∈A｝为其值域，而非函数概念内提到的集合B——函数y=f（x）的值域是集合B的子集.

第三步，引导学生感知对应关系不仅能用解析法、列表法和图象法来刻画，还可以用其他方法进行描述，如图2所示的机器模拟图. 为了便于理解，对应关系一般用符号f来表示，但也可以根据实际需求用其他符号，如g，h等表示. 基于这一点，引导学生深切体会引入符号f：A→B和y=f（x）源于实际需求.

第四步，关注函数符号的书写. 函数符号的书写必须规范且严谨. 在强调函数符号的书写要求时，教师应与学生共同使用标准术语描述函数符号，以此进一步加深学生对函数符号的理解.

第五步，呈现一系列函数，要求学生判断这些函数是否为同一函数，并解释其理由. 在这个环节，重点在于让学生理解，若两个函数在对应关系和定义域上完全一致，则它们的值域必然相同，这时它们为同一函数. 这一认识有助于深化学生对函数定义的理解，并直接促进批判性思维的发展.

设计意图 明确“f与y=f（x）之间的关系”是本节课的教学重点与难点，这要求教师减缓教学节奏，积极与学生进行讨论，激发学生的思考. 通过观察、分析和类比，学生能够自主探索知识的本质，并在深入学习的过程中培养批判性思维能力，这是提升核心素养的关键所在.

问题8 类比新旧函数定义，分析它们的异同点.

此问需从两个变量间的依赖关系着手，从不同角度分析两个实数集合的对应关系. 探索过程需学生利用批判性思维来类比分析，由此客观地认识到新旧概念的异同点［1］.

设计意图 借助批判性思维剖析新旧函数定义，理解“高中阶段的对应关系”与“初中阶段的对应关系”并不矛盾.

4. 练习训练，巩固概念

练习1 请用本节课新建构的函数概念来解决问题2.

练习2 如何用新函数概念分别描述一次函数、二次函数与反比例函数？

练习3 如图4所示，________能表示函数y=f（x）.

设计意图 练习1旨在引导学生运用新学知识深入思考原问题，实现知识的前后衔接，并进一步巩固学生对函数概念的理解；练习2的目的是检验学生是否具备使用“集合与对应关系”来描述函数的能力；练习3则鼓励学生从几何的角度去理解函数概念，同时通过融入数形结合思想，增强学生的批判性思维. 值得注意的是，直观图形的应用对深化学生对函数概念的理解具有重要作用，然而，不是所有函数均可用图象来表示，这就要求学生具备敏锐的洞察力，能够根据具体情况灵活应对.

5. 探索例题，深化理解

例1 用多媒体展示一些式子，要求学生根据本节课所学的函数定义判断这些式子是否为函数.

例2 求函数f（x）=与g（x）=的定义域.

例3 函数g（x）=（x－1）2+1，x∈｛－1，0，1，2，3｝与h（x）=（x－1）2+1的值域分别是什么？

设计意图 对式子是否为函数的辨析，可巩固学生对函数概念的认识，发展批判性思维；定义域的求解意在深化学生对一般函数定义域的理解；例3让学生感知在同一对应关系下，若定义域不同，则值域不同，进一步深化学生对任意自变量对应唯一函数值的理解.

6. 总结归纳，提炼升华

引导学生从函数定义、本质、要素、定义域与值域的确定方法、研究策略以及相关的数学思想方法等多个角度进行整理和归纳.

设计意图 从知识、方法、思维和思想等多个角度进行综合提炼，提升学生的抽象概括能力与语言表达能力，助力他们构建一个完整的认知体系，并促进批判性思维的发展，实现深度学习.

思考与感悟

批判性思维的培养离不开对问题的再思考，因此教师在执教过程中一定要注意教学的前后呼应，想方设法引导学生对比分析新旧知识，完善认知结构. 本节课以丰富的情境和学生已有的经验为教学起点，通过问题驱动的方式，引导学生逐步感知新函数概念的形成过程及其必要性. 这不仅实现了深度学习，而且在真正意义上促进了学生批判性思维的发展. 当学生构建了新的概念后，教师应鼓励他们运用新概念去重新审视旧问题. 这种前后连贯的教学方法不仅使学生对函数概念有深入的理解，而且还能让他们明白其背后的原理，从而在真正意义上增强学习能力，并促进批判性思维的发展.

总之，培养学生的批判性思维，基于深度学习，是推动学习能力提升的根本，同时也是强化数学素养发展的核心. 作为教师，不仅应关注自身对学生判断力的影响，还应致力于培育学生独立思考和及时反思的能力.

参考文献：

［1］ 武瑞雪. “函数的概念和图象（1）”的教学设计与意图分析：兼谈批判性思维的培养［J］. 中学数学月刊，2023（8）：1-5.