问题导向下的高中数学探究式课堂构建研究

［摘  要］ 问题导向下的探究式教学对发展学生的学力，提升学生的核心素养具有深远的意义. 研究者在“三角函数的概念”教学设计中，从问题情境、问题串启发等维度揭露了三角函数概念的本质以及知识间的逻辑关系，践行了深度学习理念，旨在帮助学生积累丰富的学习经验，提升学生的认知水平和核心素养.

［关键词］ 三角函数；问题导向；探究教学

作者简介：陈璐帆（1989—），中学一级教师，从事高中数学教学工作.

高中阶段的数学课堂内容多、难度大，部分教师为了追求教学容量，缩短了学生在课堂中的自主探索时间，导致学习过程处于浅层次状态，难以实现深度学习. 问题导向下的探究式课堂教学可改变这一现状，使学生在开放、有趣、梯度明确且具有启发性的问题引导下获得丰富的学习体验，从而提升课堂学习效率，且加快数学学科核心素养的发展. “三角函数的概念”属于基础知识，其重要性不言而喻. 该如何借助问题导向，提升探究效率，发展学生的数学学科核心素养呢？

学情分析

建构主义理论认为：新知构建在旧知的基础之上. 课堂教学之前，探明学生的认知基础至关重要. 学生在平面几何的学习中已经接触过轴对称、中心对称、相似等内容，对不同种类的函数也有所认识，初步掌握了探索函数的一般方法. 同时，关于周期现象，在其他学科中也有所接触，如地理学科中的潮涨潮落、季节更替，物理学科中的交变电流、圆周运动等. 这些内容均可作为学生本节课学习的认知经验基础. 由此可见，学生对本节课的认知经验相当丰富，教师可在此基础上设计问题，激发学生共鸣，促进教学进程.

教学过程设计

1. 借助情境，提出问题

问题1 古诗云：“离离原上草，一岁一枯荣.”我们称自然界中以一定规律呈现的现象为周期现象，请大家结合自身的生活经验，说一说你所知道的哪些运动具备“周期性”特征.

在这个问题的启发下，学生提出了许多生活中的“周期现象”，如“日出日落三百六，周而复始从头来”等.

设计意图 利用学生耳熟能详的古诗词作为情境素材，不仅能够缩短学生与教学内容之间的距离，让学生体会到数学与其他学科之间的联系，还能够有效地渗透数学文化，为引出教学主题奠定基础.

2. 问题启发，抽象概念

问题2 通过之前的学习，大家都知道函数属于一种描述客观世界变化规律的模型，例如用一次函数模型对匀速直线运动进行描述，用二次函数模型对自由落体运动进行描述，用对数函数、指数函数等模型对指数爆炸现象进行描述. 那么，对图1所示的周期匀速圆周运动的描述，可用哪种函数模型呢？

为了帮助学生构建思维的“脚手架”，教师精心设计了一系列问题串，旨在激发学生思考，并引导他们找到清晰的思考路径，为深入探究问题核心打下坚实的基础.

问题串1：结合过往探索函数的基本经验，应该从何处着手来探索这个问题呢？

问题串2：（用几何画板展示图2）观察并分析点P在运动过程中存在哪些变量.

问题串3：思考各个变量之间的联系.

设计意图 此问揭露了本节课的探索主题，并借助问题串为学生思考指明了方向. 此问及其问题串引导学生从研究背景出发，通过探索变量之间的对应关系，给自主掌握相应的定义与性质打下了基础.

问题3 角α的值是不明确的，结合现有的探索经验，接下来该怎么办呢？

面对这一问题，许多学生显得困惑不解. 此时，教师继续利用问题串来引导和激发学生进行思考.

问题串1：如图3所示，若角α为，则点P的坐标是什么？

问题串2：探索点P的坐标，涉及哪些数学知识？

问题串3：具体的探索步骤是怎样的？点P具有唯一性吗？

问题串4：尝试根据以上探索方法分别获得α=，α=时（见图4、图5），点P的坐标.

设计意图 以学生的认知为探索的基础，以特殊角为起点进行探讨与分析，引导学生根据角α建立平面直角坐标系，明确点P的坐标，此为化繁为简的过程，一方面符合学生的认知发展规律，另一方面凸显了探究式课堂教学的循序渐进的特征.

问题4 若角α为一个任意角，其终边OP和单位圆相交于点P，从中可以发现什么？

问题串1：当角α为任意角时，其终边与单位圆的交点具有唯一性吗？

问题串2：任意角α与点P的对应关系该怎样刻画？这种对应关系与函数相关吗？

问题串3：怎样为这类函数命名更合理？

问题串4：点P的纵坐标与横坐标的比值是不是角α的函数值？

问题串5：如何用符号描述三角函数？

设计意图 此过程不仅让学生明晰了任意角与单位圆上的点的坐标之间的对应关系，还让学生感知到从特殊到一般的数学思想方法，获得了用数学模型与数学语言描述事物的能力，有效促进了数学抽象与建模能力的提升.

3. 深入探索，内化新知

问题5 尝试自主描述什么是三角函数，何为三角函数的定义域与值域.

问题串1：分别说一说什么是正弦函数、余弦函数和正切函数.

问题串2：为什么正弦函数和余弦函数的定义域均为R，而正切函数的定义域为xx≠+kπ，k∈Z呢？

问题串3：分析三角函数值在对应的定义域内是否具有唯一性.

问题串4：分别说一说三角函数中的各个符号所表达的意义.

设计意图 三角函数概念的抽象，促使学生自主探索三角函数的“三要素”，从而基于三角函数的内涵与本质，深入理解其意义. 学生基于自身现有的知识体系，不仅深化了对数学符号实际含义的理解，还提炼出了数形结合和归纳类比等思想方法，有效地培养了数学逻辑推理能力.

问题6 说一说任意角三角函数和锐角三角函数之间存在怎样的关系.

问题串1：何为锐角三角函数？其自变量与函数值分别是什么？

问题串2：若α∈0，，该如何获得sinα的值？

问题串3：根据三角函数的概念，可怎样获得sinα的值？

问题串4：不同方法获得的正弦值一样吗？

问题串5：正切函数和余弦函数是否存在与以上一样的情况？

问题串6：已知任意角三角函数值可为负数，而锐角三角函数值为正数，那么三角函数值为负数时具备什么特殊含义吗？

设计意图 新旧知识的深度融合不仅让学生进一步理解了锐角三角函数与任意角三角函数之间的联系，还有效培育了学生的数学逻辑推理能力，促使学生感知三角函数值为负数时所具备的现实意义，为后续的灵活应用打下了基础.

4. 新知应用，夯实基础

问题7 如图6所示，请分别求出的正弦函数值、余弦函数值和正切函数值.

为了启发学生的思维，教师在学生自主探索过程中又提出了以下几个问题供学生思考：①的终边位于何处？②如何获得点P的坐标？③由概念出发，总结探索三角函数值的基本步骤.

在上述问题串的引导下，学生不仅独立解决了问题，而且求出了，0，π，的三角函数值.

设计意图 深入探究实际问题进一步验证并加强了学生对三角函数概念的理解及应用技巧. 通过总结探索方法，学生得以整理思维过程，为构建结构化的数学思维打下了基础.

问题8 若α为任意角，点P（x，y）为其终边上与原点O不重合的任意点，且PO=r，请分别求证：sinα=，cosα=，tanα=.

例题：若点P（－12，5）位于角θ的终边上，则角θ的三个三角函数值分别是多少？

拓展：已知圆C的圆心位于直角坐标系的原点上，半径r=2，若点P（0，2）由其位置开始在圆C上以 rad/s的速度进行逆时针运动，匀速运动3 s后抵达点P′处，求点P′的坐标.

设计意图 例题的拓展应用鼓励学生深入辨析三角函数的概念，并对单位圆与角的终边的交点坐标有更深刻的理解. 这一环节不仅能够促进学生发散思维，还能够帮助他们明晰三角函数的概念，并拓展其应用范围，是培养学生数学学科核心素养的重要方法.

5. 总结提炼，感悟反思

鼓励学生分享本节课的成果、感悟和体会，特别注重对知识点、思维方法和模型的提炼. 随着交流的深入，学生将本节课的教学内容整理成图7.

设计意图 对于概念课总结环节异常重要，它能帮助学生进一步梳理整个教学流程，巩固知识基础. 在问题的导向下，学生基于知识、方法与思想等层面进行梳理与总结，不仅能培养结构性思维，还能增强整理能力，发展数学素养.

感悟与思考

1. 亲历过程是探究式课堂的基础

在传统的教学实践中，概念的传授往往采取的是一种简单直接的“注入式”方法，这导致许多学生虽然能够流畅地复述概念，但将这些概念应用于解决实际问题时却显得力不从心. 本节课并未直接向学生灌输三角函数的概念，而是通过引导学生亲历概念的构建和演进过程，借助单位圆工具，帮助学生理解角的终边和单位圆的交点坐标与三角函数之间的关系. 这种方法能激励学生自主归纳出相应的概念，有效地提升他们的数学逻辑推理能力，并帮助他们提炼多种数学思想方法，从而真正实现深度学习.

2. 问题驱动是探究式课堂的关键

在课堂上，每个问题都可能对学生发挥出“四两拨千斤”的效果. 新知是建立在学生已有的认知经验之上的. 面对新问题时，学生常常感到无从下手. 然而，通过精心设计问题串，可以引导学生从较低的起点开始，将未知转化为已知. 例如，本节课根据学生的学习情况共设计了8个问题，并为每个问题提供了相应的问题串. 这使得学生能够在自主探索和交流的过程中，逐渐抽象出概念，理解并内化这些概念，最终灵活地应用它们. 因此，问题驱动是推动探究式课堂发展的关键，对于促进学生思维和学习能力的发展具有重要的价值.

3. 发展学力是探究式课堂的目标

在新课程改革的背景下，数学课堂教学的目标不仅仅是构建新知，更重要的是促进学生能力的发展和数学学科核心素养的培养. 在本节课中，每个教学环节的问题设计都体现了层次性、开放性和探究性. 在这些问题的引导下，学生不仅巩固了已有的知识基础，还构建了新的知识体系. 通过对问题的深入探究，学生不仅培养了出色的数学抽象能力，还提炼出了从特殊到一般、数形结合、转化与化归等思想方法. 特别是在总结环节，知识与方法的整合提炼，充分展现了学生能力的提升.

总之，在新课程与新高考的背景下，教师需特别注重培养学生的数学学科核心素养，而以问题为导向的高中数学探究式课堂的构建是培养学生数学学科核心素养的关键教学方法之一. 因此，教师应在深入理解学情的前提下，通过精心设计问题和开展探究活动，持续激发学生的智力潜能和非智力品质，确保数学学科核心素养落实.