探索动态生成，激发思维活力
作者： 郑天宇
［摘 要］ 探索课堂动态生成是教师及时捕捉课堂信息，使之成为有效的教学资源，从而实现教学效果提升的教学策略. 课堂教学具有丰富性、复杂性和可变性等特征，探索课堂教学中的动态生成能够激发师生智慧，使课堂教学更具活力. 研究者着手探究概念教学、公式和定理教学以及解题教学实践中的动态资源，旨在分析保障数学教学质量的策略，并寻求最大化提升学生学习效果的方法.
［关键词］ 动态生成；高效教学；思维活力
教学是师生互动的动态过程，好课不仅源自教师预设，更在于师生智慧的共同生成. 课堂动态生成包括教学资源与教学过程的生成. 合理且科学地运用教学过程中产生的即时资源，能够引导学生深入探究，从而激发课堂的活力. 探索课堂动态生成要求教师发挥主导作用，能够及时将预设以外的动态资源转化为课堂教学资源，从而促进课堂预设与课堂生成的统一，实现高效教学. 本文结合教学实践，阐述在课堂教学中探索动态生成的教学策略.
探索概念教学动态生成，强化思维认识
数学概念是对事物数量关系和空间形式的本质概括，具有抽象性和逻辑性. 针对概念指导，即数学课堂中培养学生思维能力的前提媒介，更是教学知识全面渗透给学生的精髓. 教师应鼓励学生全面分析数学概念，提高学生应用数学技能. 因此，在探索数学概念教学动态生成的过程中，应当鼓励学生自主探索并深刻体验概念形成的过程，在概念辨析中深化学生的理解，从而提高他们的认知水平.
案例1 三角函数线.
引导学生分析弧度制，通过激发他们联想和想象，促进对弧度与弧长之间转换的直观理解. 采用类比方法，对几何图形进行任意角的函数值转换，包括有正弦函数值、余弦函数值和正切函数值，从而获得相应的定义. 这一过程有助于学生将知识点内化吸收. 部分学生能够轻松地分析出正弦线和余弦线的定义，但在学习正切线的概念时却遇到了问题.
生1：正弦线和余弦线都是在单位圆与角α的终边交点处作垂线获得的，为什么正切线是在单位圆与x轴的非负半轴交点处作切线来确定的呢？
在讲解过程中，学生对正切线的定义产生了超出笔者预期的疑问. 那么，如何消除这些疑惑，使学生信服呢？为了强化学生对概念的理解，笔者引导学生展开了讨论.
师：你们知道正切线可以用哪一个点作为起始点吗？
生1：我觉得可以用单位圆与x轴的负半轴相交的点A′（-1，0）作为起始点，不一定只能用点A（1，0）作为起始点.
师：很好，下面我们一起探讨一个问题. 若存在一个角α，其终边位于第二象限，过点A′（-1，0）构建单位圆的切线，切线与角α的终边相交于点B′，则有向线段可以表示角α的正切线吗？若角α的终边在第三象限、第四象限呢？
学生分组讨论，交流想法，展示成果.
生2：当角α的终边位于第二象限时，对应的正切值是负数，而与y轴的非负半轴同向，通常被标记为正值. 可见两者之间存在矛盾，因此不能用有向线段来表示角α的正切线. 同理，当角α的终边位于第三象限时，也不能用有向线段来表示角α的正切线；而当角α的终边位于第四象限时，则可以用有向线段来表示角α的正切线.
师：很好，经过大家的深入讨论，我们明确了正切线必须以点A（1，0）作为起始点. 这一过程也让我们深刻体会到了数学概念的严谨性.
学生在学习过程中常有疑问，即使与教师的预设不符，教师也不能直接否定，而应引导学生探索证明，使之真正理解并信服. 在本例中，笔者用正切线引导学生分析知识点，并分类组织研究活动，通过交流释疑解惑，动态强化对数学概念的理解.
研究公式和定理的生成过程，促进学生提升思维能力
数学公式和定理是学生解题和逻辑推理的依据，反映事物间的关系，是数学学习的关键内容. 教授数学公式和定理的运用是教学基本任务. 机械记忆难以让学生真正理解，反而会影响能力提升. 因此，教师要引导学生发现和体会公式和定理的含义，形成自我认知，理解数学本质.
案例2 推导等比数列的前n项和公式.
（1）创设情境，导入新课
师：（讲述国际象棋棋盘上放置麦粒的故事）我们该如何计算出所有麦粒的总数呢？这个问题引出了我们今天的新课程内容：如何计算等比数列的前n项和. 具体来说，就是计算S=1+2+22+23+…+263.
（2）问题探究，总结公式
师：如何推导等比数列的求和公式呢？
生3：我们可以在等式的两边同时乘上公比q.
师：你是怎么知道这种计算方法的呢？
生3：我是从教材中看到的.
学生预习了计算方法但不明原因，这在笔者的预料之中. 在这种情况下，笔者并未立即发表评论，而是继续引导学生深入探究，以理解公式的深层含义.
师：想必大家一定记得在推导等差数列前n项和公式时使用的倒序相加法，那么它能不能应用到等比数列前n项和公式的推导中呢？
师：在推导等差数列的前n项和公式时，我们的目标是构造出相同的项；相应地，推导等比数列的前n项和公式也可以朝向这个目标.
学生在实践操作中发现，等比数列的每一项乘上公比q后，结果等同于其后一项. 基于这一特性，学生理解了在等式两边同时乘上公比q的原理.
生4：我有其他方法. 在等式S=a+aq+aq2+…+aqn-1的右边提取公比q，可得S=a+q（a+aq+...+aqn-2）. 这个等式右边括号中的式子可以看作等比数列｛ａ｝的前n-1项的和，这样S=a+qS. 因为a=S-S，所以S=a+q（S-a），（1-q）S=a（1-qn）. 接下来对（1-q）进行分类讨论.
师：非常好，生4给我们提供了另一种推导方法，那么推导过程还有需要完善的吗？
生5：因为S要有意义，所以n必须大于等于2.
为了让学生在应用公式和定理解决问题时能够得心应手，必须让他们经历推导和证明全过程. 在本例中，笔者指导学生运用类比等差数列求和的方法，探究等比数列的前n项和公式的推导过程，从而帮助学生深入理解公式和定理. 在推导过程中，学生提出了新方法. 笔者并未急于发表评论，而是引导学生在讨论中不断优化解题策略，从而促进他们思维能力的提升，并在动态互动中孕育课堂智慧，实现高效课堂教学.
探索解题教学动态生成，拓展思维空间
解决数学问题是数学学习的核心目标之一. 在解题过程中，学生不仅要应用所学知识，而且要进行知识迁移，从而开展再创造和再发现. 分析解决问题的动态资源，本质上有助于巩固学生的知识基础，提升他们的学习能力，并发展学生的数学思维能力. 这要求数学教师真正将学习的主动权交到学生手中，激发他们的主观能动性，使他们勇于表达自己的观点，进而拓展他们的思维空间.
案例3 求等差数列的前n项和.
例题：已知等差数列｛ａ｝，前10项和为310，前20项和为1220，求S.
师：请大家分组进行讨论，并尝试运用多种方法解题.
第一组：运用等差数列的前n项和公式解题. S=10a+45d=310，S=20a+190d=1220，求得a=4和d=6，所以S=2730.
第二组：证明S，S-S，S-S为等差数列，所以2（S-S）=S+（S-S），直接求得S=2730.
在这一解题思路的启发下，课堂思维活力得到了激发. 学生运用发散性思维，提出了更多不同的解决方案，这不仅使课堂气氛变得更加活跃，还进一步增强了他们的学习兴趣.
第三组：假设等差数列的前n项和公式为S=An2+Bn，由此可得=An+B. 我们证明是等差数列，根据第二组的结论求出S=2730.
在引导学生解决数学问题的过程中，教师应当创造一个适宜的活动空间和氛围，以促进学生运用和迁移知识. 在本例中，笔者引导学生采用多种解题方法，探索课堂动态生成，从而培养学生灵活运用数学知识的能力，促进知识迁移，并构建全新的数列结构模型. 这一过程不仅拓宽了学生的知识视野，而且提升了数学教学质量.
综上所述，探索课堂动态生成是打造精彩课堂和实现高效教学的关键. 因此，教师应充分发挥教学智慧，以学生的发展为立足点，及时捕捉课堂生成信息，以此使课堂教学更加生动和有效.