高考数学试题综合难度的比较研究

［摘  要］ 通过习题综合难度测量模型，对2021年高考全国甲卷、乙卷理科数学的综合难度进行比较研究，发现：①全国甲卷在“背景”“运算”“类型”三个因素的难度加权平均值高于全国乙卷，在“认知”“推理”“知识综合”三个因素的难度加权平均值低于全国乙卷．②两套试卷在“背景”“认知”“类型”“知识综合”四个因素上具有较高的一致性．③全国甲卷的综合难度略高于全国乙卷．

［关键词］ 高考；数学试题；综合难度；比较

高考是我国规模最大、最为重要的选拔性考试，也是世界各国认可度较高的考试形式，是高校选拔新生的主要途径．自1977年高考恢复以来，我国高考伴随着国家经济、教育、文化、社会的发展不断改革与创新，其中不仅有命题形式、命题理念、技术、机制等方面的改进，也有试题本身在类型、数量、难易程度等方面的完善.尤其进入21世纪，实施基础教育新课程改革以来，高考数学试题日益凸显测评选拔、命题示范、知识延展、教学导向、立德树人等功能［1］．

2014年，国务院印发《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，标志新一轮考试招生制度改革正式启动． 2019年，国务院办公厅印发《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》，指出：高考命题要以“普通高中课程标准和高校人才选拔要求为依据，优化考试内容，突出立德树人导向，重点考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力……科学设置试题难度，命题要符合相应学业质量标准……建立命题评估制度，提高命题质量．”［2］2020年是我国全面建立新高考制度的第一年，这年高考是在出台新的课程标准，全面提出发展学生核心素养的背景下进行的．2021年更多地区加入了新高考行列，教育部教育考试院命制了6套试卷，分别为全国甲卷2套（文、理卷）、全国乙卷2套（文、理卷）、新高考Ⅰ卷1套、新高考Ⅱ卷1套． 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（简称《课程标准》）指出：“在高考数学的考试命题中，要关注内容与难度的分布……努力提高试卷的信度、效度和公平性．”［3］试题难度作为衡量试题质量的重要指标之一，高考数学试题的难度一直是教师、学生、家长和社会关注的焦点． 高考数学试题直接反映着中学数学课程内容，对高中数学教学具有重要的引导作用，“引导教学”是高考的核心功能之一． 《课程标准》指出：“命题应依据学业质量标准和课程内容……要充分考虑对教学的积极引导作用．”［3］《中国高考评价体系》明确指出“高考必须坚持引导教学”［4］，“以考促教、以考促学”是高考的主要目的之一． 因此，对于高考数学试题难度的比较分析，有利于优化试卷内容，提高命题质量，实现“以考促教、以考促学”的目的，促进立德树人根本任务落实，形成更高水平的全面培养体系．

全国甲卷使用地区主要集中在我国基础教育发展相对落后的西南省份，全国乙卷使用地区较广，主要集中在我国基础教育比较发达的东部和中部省份，以及基础教育发展相对落后的东北和西北省份． 所以，对这两套高考数学试题的难度进行比较分析，对推进我国高中数学课程改革和教育公平有着十分重要的意义．本文利用习题综合难度测量模型，对2021年高考全国甲卷、乙卷理科数学的综合难度进行比较研究，发掘两套高考数学试卷的特色与优势，期望对我国高考数学试卷在命题等方面提供一些参考．

研究对象及研究工具

1. 研究对象

2021年全国甲卷理科数学，共有23道试题，其中单选题12道，60分；填空题4道，20分；解答题7道，80分. 乙卷理科数学共有23道试题，其中单选题12道，60分；填空题4道，20分；解答题7道，80分． 两套试卷结构完全一致．

2. 研究工具

鲍建生在美国学者D.A.Nohara提出的数学习题综合难度模型的基础上提出了包含“探究”“背景”“运算”“推理”“知识含量”五个难度因素的习题综合难度测量模型． 习题综合难度测量模型在教材例题难度、习题难度的研究中应用广泛． 本研究参考相应文献［5-8］，结合高考标准化考试数学试题的特征，对已有习题综合难度测量模型进行改进，构建了一个包含六个因素的习题综合难度测量模型，并对各因素的水平作详细界定和划分，使得模型更加适合高考数学试题的特征．

先对各难度因素的内涵及水平的划分进行说明：

背景因素分为四个水平：无背景、个人生活、公共生活、科学情境． 其中，“无背景”是指无任何实际背景，直接考查数学知识的试题，这类试题在高考数学试题中大量存在． “个人生活”是指与学生个人生活息息相关的背景，即在个人生活中经常接触到的一些生活情境． “公共生活”包括学生没有亲身经历的，属于某些专业领域的情境；或公共常识的一类． “科学情境”这类试题常常以一定的科学知识为背景，如地理、天文、环境、自然资源、灾害、气象、生物学、医学、农业、健康、食品、物理、化学、计算机、工业技术等．

在运算因素方面，由于高考数学试题大部分都涉及运算，主要是数值运算与符号运算两种类型，故将运算因素分为五个水平：无运算、简单数值运算、复杂数值运算、简单符号运算、复杂符号运算． “简单数值运算”是指简单的加、减、乘、除及混合运算．“复杂数值运算”是指涉及指数、对数、三角函数等的运算，运算步骤超过三步． “简单符号运算”是指运算过程涉及简单的符号推导，如向量、二项式、三角函数的证明等． “复杂符号运算”是指运算过程涉及逻辑推理、证明、复杂的轨迹问题、参数方程等．这五个水平的难度依次上升．

在认知因素方面，认知心理学家将认知过程分为六个层次：记忆、理解、应用、分析、评价、创造． 结合高考数学试题的特征，本文将认知因素分为四个水平：记忆、理解、应用、探究． “记忆”是指对一些数学概念、公式、法则、性质等的记忆．表现特点为记忆性、机械性，主要是对陈述性知识的记忆，或是机械地实施数学常规解题程序，不需要解释． “理解”是指对数学知识、方法、过程的理解，会用自己的语言来阐述或解释数学概念，或对多个概念进行比较分析，建立知识间的联系． “应用”是指能够运用知识去解决一些数学问题，是对程序性知识的应用，需要数学问题解决者在某种程度上认知努力，要求学生有一定的运用数学知识去解决问题的能力． “探究”是指根据已有数学知识，能对问题进行深入分析和探究，能综合运用试题的各个条件解决问题，这类问题具有开放性、探究性等特点，解题思路一般不确定，方法不唯一．

在类型因素方面，数学试题是一个系统，包括四个要素：Y，O，P，Z （Y，O，P，Z分别指试题条件、解题依据、解题方法、试题结论［9］）． 分析试题中四个要素的多少，可以将试题分为四类：标准性试题，这类试题中四个要素都是已知的；训练性试题，这类试题有三个要素已知，只有一个要素未知——一般来说是结论未知，其余三个要素已知，计算题一般都属于此类试题，高考数学试卷中这类试题较多；探索性试题，这类试题已知其中的两个要素，其余两个要素未知，有部分试题属于结构不良数学问题；问题性试题，这类试题只有一个要素已知，其他三个要素未知，其难度较大，属于结构不良数学问题，高考数学试卷中这类试题较少． 《课程标准》指出：要注意“开发一些具有应用性、开放性、探究性的问题”．结构不良数学问题具有较高的育人价值：①可以很好地发挥高考的选拔功能，帮助高校选拔符合要求的新生；②可以促进学生数学核心素养的养成和能力的提升．曾风靡一时的数学开放题就属于结构不良数学问题．从问题解决的角度来看，结构良好问题的初始状态、解决模式、目标状态都比较明确，结构不良问题这三个要素中至少有一个不明确［10］． 近年来，高考命题坚持素养导向与能力并重，出现了较多结构不良数学试题，例如2019年全国Ⅰ卷（理科）第4题、2020年新高考全国Ⅰ卷第17题、2020年全国Ⅰ卷（理科）第12题、2021年全国甲卷（理科）第18题、2021年新高考全国Ⅱ卷第22题．高考中的结构不良试题的主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余；②问题目标界定不明确；③具有多种解决方法或途径；④具有多种评价解决方法的标准；⑤所涉及的概念、规则和原理等不确定［11］． 这类问题具有以下育人价值：①可以激活学生的知识网络，体现了学生在问题解决中的中心地位；②对培养学生的元认知监控具有重要作用；③有利于培养学生数学思维的严谨性、灵活性和创新性；④对培养学生的非认知因素有重要意义［12］．

在推理因素方面，借鉴鲍建生的划分，将推理因素分为“简单推理”和“复杂推理”两个水平． 知识综合因素分为“1个知识点”“2个知识点”“3个及以上知识点”三个水平．

习题综合难度测量模型见表1． 对习题综合难度各因素的水平进行划分后，利用加权平均的方法计算每一个因素的难度，具体步骤如下：

第一步，根据上述综合难度测量模型，对每一道试题相应进行赋值．如一道试题属于公共生活、简单数值运算、理解、训练性题、简单推理、2个知识点的水平，在六个因素中分别赋值：3，2，2，2，1，2．

第二步，计算． 根据上述赋值，分因素统计样本试卷中各因素处于不同水平的试题的数量，采用如下公式计算各难度因素的难度加权平均值：

统计结果及分析

依据习题综合难度测量模型、难度加权平均值计算公式，得到表2．

根据表2的结果，先对两套试卷在“背景”“运算”“认知”“类型”“推理”“知识综合”六个难度因素上进行比较分析，再从综合难度对两套试卷进行整体比较．

1. 背景因素

两套试卷在背景因素上的统计结果如图1所示．

由图1可知，两套试卷在背景因素方面的水平高低一致，“无背景”水平的试题占比最高，都以纯数学知识为条件进行考查. 甲卷以“个人生活”“公共生活”为背景的试题都只有1道，占试题总量的4.35%；乙卷没有以“个人生活”为背景的试题，以“公共生活”为背景的试题只有1道. 两套试卷具有“科学情境”的试题较少，甲卷占比8.70%，乙卷占比4.35%． 这说明两套试卷还是都注重基础知识的考查，而体现数学应用价值的具有生活情境、科学情境的试题不够．

2. 运算因素

两套试卷在运算因素上的统计结果如图2所示．

由图2可知，两套试卷对学生的运算素养的考查很全面，体现了基础性与综合性的考查要求． 实际上，数学运算素养历来都是高考数学的考查重点［13］． 两套试卷中属于“无运算”水平的试题都较少，乙卷中体现“简单数值运算”和“复杂符号运算”水平的试题所占比例均高于甲卷，其中“简单数值运算”水平的试题高出8.7%，体现“复杂数值运算”和“简单符号运算”水平的试题所占比例均低于甲卷． 从运算因素的加权平均值来看，虽然乙卷中体现“复杂符号运算”水平的试题所占比例高于甲卷，但在运算难度上低于甲卷．

3. 认知因素

两套试卷在认知因素上的统计结果如图3所示．

图3表明，两套试卷中都没有直接体现“记忆”水平的试题，这和高考的核心功能有关——高考的核心功能之一是“服务选才”，高考要立足服务国家、服务高校选才的基本点，为国家和高校选拔出符合要求的新生［4］． 从整体来看，甲卷在认知因素方面的“应用”水平高于乙卷，“探究”水平低于乙卷，但差距不大；两套试卷在认知因素方面的“理解”水平一致，“应用”与“探究”水平恰好相反，就认知因素而言，乙卷的难度高于甲卷．

4. 类型因素

两套试卷在类型因素上的统计结果如图4所示．

由图4可知，两套试卷中的“标准性题”和“问题性题”一样，都只有1道，占试题总量的4.35%． 甲卷中的“训练性题”所占比例低于乙卷，而“探索性题”所占比例高于乙卷． 这表明，两套试卷在试题类型因素方面相差不大．两套试卷中的试题主要集中在“训练性”和“探索性”水平． “训练性题”一般强调学生对基础知识和基本技能的掌握，是一些常规的数学题．这类试题对一般学生而言，只要弄懂教材中的知识点与例题，就可以解决．试卷中体现“探索性”水平的试题和体现“训练性”水平的试题相当，这说明高考重视学生对基础知识掌握的同时，要求学生具有一定的运用所学知识解决问题的能力． 两套试卷全面体现了基础性、综合性与应用性的考查要求．

5. 推理因素

两套试卷在推理因素上的统计结果如图5所示．