落实横纵对比，立足问题本源

［摘  要］ 文章立足教考衔接，以高考常见的双变量问题为例，通过横纵对比，找寻双变量问题的本质，以期抛砖引玉.

［关键词］ 双变量；横向比；纵向比

新高考的推行，更加侧重学生思维的考查，使得机械式刷题失速失效，从而有效引导教学，服务“双减”政策. 高考命题严格依据高中课程标准，确保内容不超范围、深度不超要求. 基于此，教师在教学中必须做到遵循教育规律，加强教考衔接，注重通用方法，强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，让学生掌握原理、内化方法、举一反三，主动探究和深层次学习［1］.

结合近几年的高考试卷，不难发现函数与不等式、导数知识的综合交汇应用，一直是学生的困惑和烦恼，一些问题如果没有抓住其本质，容易有“似曾相识”的感觉而造成混淆，导致问题出现错解. 本文以高考常见的双变量问题为例，结合高三复习实际，设置了三道典型的高考试题作为微专题前置性作业，力求通过横纵对比，找寻双变量问题的本质.

双变量问题，主要是基于题设条件给出的两个变量所展开的问题，常见的双变量以x，x或m，n或a，b等形式出现，题目所赋予的双变量（以x，x为例）的关系主要有：

夯实横向比，求同存异，形成通性通法

题1的双变量x，x只有大小关系，没有等量关系，注意到x，x的任意性与函数的单调性定义的表述相一致，教学中要引导学生去发现这个关键点.

在此立足微专题的教学特点，利用问题串的形式引导如下：

问题1：设f（x）=（0<x<1），试说明该函数的单调性.

问题2：结合单调性的定义，尝试用x，x来表示f（x）的单调性

问题3：比对题1的选项C，D，你有何发现？

预设：通过分析可知，当0<x<1时，f′（x）=<0，f（x）为（0，1）上的减函数.

所以当0<x<x<1时，f（x）>f（x），即>，即xe>xe，故选项D正确.

问题4：结合上述分析，如何处理选项A，B？

预设：通过分离变量，构造函数f（x）=ex-lnx，求导可知f′（x）=ex-，f″（x）=ex+. 当0<x<1时恒有f″（x）>0，所以y=f′（x）为（0，1）上的增函数. 当x→0+时f′（x）→-∞，当x→1时f′（x）→e-1>0，故f（x）=ex-lnx不是（0，1）上的单调函数. 所以选项A，B错误.

通过问题串把该类问题与之前所学的函数的单调性联系起来，让学生明白为什么要将x，x分离到不等式的两边后再构造函数，应用函数的单调性求解.

类型1的常见做法：题1的题设条件表述与单调性的定义相符，因此通过运算先把x，x分离到不等式的两边，再构造函数，应用函数的单调性求解.

类型2的常见做法：题2、题3的题设条件均蕴含等量关系，通过等量关系转化减少一个变量，构造函数，应用函数的单调性求解.

两题的等量关系x·x=1与f（x）=f（x）还是有所差别，前者关系式可以直接消元，后者为超越方程相对复杂，直接消元有一定难度，可以结合函数的单调性将f（x）用f（x）等量替换达成消元的目的.

题2中的等量关系比较简单，由第（1）小题可知x·x=1，直接消去x，把证明的对象<a-2转化为<a-2，即转化为一元不等式问题，移项求导，转变为求最值问题；

题3中的等量关系相对复杂，通过设x=，x=得到等量关系f（x）=f（x），结合函数的单调性以及f（x1）=f（x2）进行消元，把2<x+x<e的证明转化为y=f（x）-f（2-x）和y=f（x）-f（e-x）与0的大小关系的证明.

分析上述两种不同类型的双变量问题，可以发现其解决通法都是将“双元”往“一元”转化，这对学生的数学运算素养有较高的要求.

分析 变式题1没有具体给出双变量的大小关系，但是通过阅读和分析，可知x，x不存在等量关系，因此可自行给定x，x的大小关系，把绝对值去掉，用类型1的处理方法解决问题. 构造函数f（x）=ex-lnx，由题1可知y=f′（x）为（0，+∞）上的增函数，且f′

<0，f′（1）>0，故f（x）=ex-lnx是（1，+∞）上的增函数，所以选B，C，D.

基于题3的极值点偏移问题，在学生明确极值点偏移原理的基础上，对结论进行改编和等价替换.

变式题2 已知函数f（x）=x（1-lnx），设x，x为两个不相等的正数，且f（x）=f（x），若x=，求证：f′（x）<0.

分析 变式题2的证明主要基于题3的极值点偏移原理：题3求证“2<x+x”等价于求证“2<x+x=2x”，即x>1. 又f′（x）=-lnx，f″（x）=-<0，所以f′（x）<f′（1）=0. 上述逆过程即为变式题2的证明过程.

变式训练有助于提升学生的思维能力，促使学生真正把握解决问题的方法，真正做到举一反三.

2. 一题多解，拓展学生的思维

一题多解主要体现在类型2的双变量问题上——双变量问题的处理方式不同而产生不同的解法.

解法1：消元、对称构造.

解法2：引入第三个变量t，把双变量问题转化为关于t的一元函数问题，应用函数的单调性求解.

解法3：可以利用二级结论求解.比如利用指数均值不等式e<<和对数均值不等式<<转化问题中的指数与对数的关系.

例如题2的条件中蕴含着x·x=1，可以直接把x=代入<a-2中消元，将原问题转化为只含x的不等式问题，然后利用导数求解.

例如题3对2<+<e的证明，可以先将其转化为2<x+x<e，结合条件f（x）=f（x）即x（1-lnx）=x（1-lnx），观察到所对应的等量关系x·x=1与f（x）=f（x）的差异——前者关系式可以直接代入消元，后者为超越方程相对复杂，直接消元有难度，因此过渡到对称化构造——结合函数的单调性把2<x+x<e转变为f（x）与f（2-x），f（e-x）的大小关系，再利用f（x）=f（x）消去f（x），得到f（x）与f（2-x），f（e-x）的大小关系，构造函数F（x）=f（x）-f（2-x）等，利用函数的单调性得证.

另外，题2和题3也可以引入第三个变量t=，把原问题转化为关于t的一元函数问题，当然这其中会用到一些常见的不等式结论.

不仅如此，题2还可以利用对数均值不等式求解：<a-2等价于-2<a-2. 因为a>2，所以证明<a-2等价于证明<1. 利用对数均值不等式<<可知1=<，得证.

结语

双变量问题是一个常见的问题，若能厘清其特征，做好准确分类，对号入座，问题就会变得简单明了. 在教学中，教师引导学生去发现和探究知识的内涵，既能培养学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等素养，又能减量提质，落实“双减”. 同时还能帮助学生更加深刻地理解数学基本概念和基本思想方法，重视数学知识的内在关系.

参考文献：

［1］ 教育部教育考试院.深化高考内容改革 加强教考衔接——2022年高考全国卷命题总体思路［J］. 中国考试，2022（07）：1-6.

基金项目：福建省教育科学“十四五”规划2022年度课题“双减背景下薄弱高中前置性作业设计的实证研究”（FJJKZX22-393）.

作者简介：刘清源（1981—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学工作，曾获泉州市骨干教师、南安市名师等荣誉称号.