“五I”理论下三角函数概念教学的重构与思考

［摘  要］ “五I”理论是一种以人为本、以自由观为基础的理论创新. 基于“五I”理论的教学可以引导学生循着信息、兴趣、质疑与直觉，沉浸于课堂，进而推动核心素养落地与智慧课堂构建. 文章基于“五I”理论内涵的分析，以“三角函数概念”为载体，初步构建“五I”教学模式，并针对课堂实施提出一些教学思考.

［关键词］ “五I”理论；三角函数；教学模式

作者简介：邵海贤（1998—），扬州大学硕士研究生，研究方向为中学数学教育.

■ 问题提出

三角函数作为函数的下位概念，它对于深入理解函数本质，培养学生抽象、严密的逻辑思维起着举足轻重的作用. 可见，将三角函数概念的研究植根于高中数学课堂是非常有必要的. 对于三角函数概念的学习，一方面三角函数与其他基本初等函数存在较大的差别，学生难以运用现有经验来应对；另一方面三角函数概念具有高度抽象性与复杂性，加上大多数教师紧盯高考指挥棒，注重对学生单向度的智力教育，缺乏对学生人格与情感的培养，致使学生在学习三角函数内容时力不从心. 那么，如何帮助学生认识三角函数的本质，发现不同函数的特性与共性？怎样在学习三角函数概念的基础上，体验概念的抽象性，增添课堂的艺术感，进而提高学生的数学思维水平？这都是值得我们深思的问题.

张楚廷先生在多尔“四R”课程模式和泰勒原理的基础上，提出了“五I”课程构想，这是张楚廷先生在人本主义哲学思想和教育公理思想层面的积淀［1］. “五I”课程构想的研究核心在于改造科学本位主义、社会本位主义课程观，厘清源于人、为了人、属于人、发展人的“人的课程”［2］. 这一理论发人深省. 为了更好地进行概念化教学，本文以三角函数概念课为例，在“五I”课程理论的指导下，以学生为核心初步构建智慧课堂，为后继教学提供借鉴.

■ “五I”的基本内涵与教学模式

1. “五I”的基本内涵

张楚廷先生认为，教师教学与课程编制要以人本主义思想为中心，注重学生信息（Information）、兴趣（Interest）、质疑（Inquiry）、直觉（Intuition）与智慧（Intelligence）的培养与获得，即“五I”.

（1）信息（Information）.

知识是信息，但信息宽于知识，教师的情意、期待、信念、信仰等都可作为信息传递.信息具有泛文本性，存在形式多样，它既有命题，又有运作；既有文字符号的，又有非符号的；既可以是局部线性的，又可以是非线性的……［3］此外，信息亦具有超结构性，其结构成分周围的历史、文化、精神的超元素都是信息. 因此，从广义上讲，教师传授给学生的不仅仅是知识形态的信息.

（2）兴趣（Interest）.

兴趣先于意志，浓烈的兴趣能生成坚忍的意志，意志的支撑还会滋生新的兴趣，从而导向创造.兴趣是志趣、情趣，与美学紧密相连，可以让学生真切体验并投入课堂.美学是创造兴趣最基本的牵引力，“人根据美的规律塑造”自己. 兴趣不可能脱离信息单独存在与发展，也并不自然存在于信息之中，它的融入需要课程实施者的深思熟虑.

（3）质疑（Inquiry）.

质疑甚于倾听，与确信相伴增长，没有质疑的确信，那便是无价值、低层次的确信.质疑本在学问之中，不是表面化的表演与热闹，而是沁人肺腑的争鸣与发问. 封闭的思维会扼杀质疑，颠覆性的反思才是滋生质疑的源头活水. 课程应当避免文本的逻辑化、形式化，创设质疑生成的环境，让学生尝试发问，尝试质疑，尝试解决问题.

（4）直觉（Intuition）.

直觉是与生俱来的独特能力，后天培植的逻辑仅是直觉的梳理器、健身法［3］，直觉与逻辑是科学的双翼，但直觉重于逻辑，有了直觉，逻辑才会在天赋的土壤中结出硕果.重大的自然科学源于直觉，这是直觉的开拓性.直觉的表现形式没有固定的模式，对于直觉的培养，后现代课程观尤其看重隐喻的作用，隐喻可以提供直觉生成的载体，能够促使体验的产生，从而容纳直觉.

（5）智慧（Intelligence）.

智慧通常被视为才智、聪明、智力等，但是智慧高于聪明，高于才智.它是指智性智慧、理性智慧与道德智慧的协同发展.智慧尚知、尚智、尚思，会使人更理性、更崇高. 学生获得知识不一定就能开发智慧，而学生获得智慧便可以获得知识.智慧的发展需要建立于思维之上，离不开思维与认知的启动，是超思维的；但理性智慧、道德智慧的实现还需要体验，需要知、情、意的全面融合.？摇

“五I”要素间是相互联系、综合体现的，它们没有绝对固定的先后顺序. 其基本关系可以借助图1来描述.

“五I”要素的有机配合构成了一个活生生的“人”. 信息是人赖以生存的土壤与环境，滋养着人的成长；兴趣是人的心灵，是人发展的核心动力；直觉和质疑是人的双脚，是人发展的双轮驱动器；智慧是人的头脑，是人达到的终极目标.

2. “五I”理论下的教学模式

“五I”指向教育公理理论下人本主义智慧人的结构层面. 强调“五I”驱动的课堂，教师不能停留于忠实执行者的身份上，需要运用自己的专业知识，满怀情感与意志去改造、创生课堂. 基于“五I”理论与核心素养，构建了具有学科特点的课堂教学模式，如图2所示.

鉴于对三角函数内容特点的把握以及“五I”理论结构的分析，落实基于“五I”理论的教学设计模式，教师需从现实层面剖析学生的知识掌握现状与情感状况，以准确把握学生的学科基础、素养水平以及学习情感趋向，进而结合教学内容组织规划教学目标，真正实现以人为本的教学.

第一，依托最近发展区，开拓学生的思维. 在解决任务时通过方法引领，促使学生顺利完成任务并达到发展的可能性领域.这正是苏联心理学家维果茨基所倡导的最近发展区教学范式，其核心是指学生独立解决问题的实际发展水平与在成人指导下或与更有能力的同龄人合作解决问题所决定的潜在发展水平之间的距离［4］. 最近发展区是开拓学生思维的有力抓手.基于最近发展区的教学能够诱发潜在能力（新心理机能）的产生，而实际能力（成熟心理机能）往往借由社会性合作活动获得. 社会性合作活动通过改变各种心理机能之间的关系与联结方式，使个体的心理结构重建，达到学生潜在的学科能力与素养水平. 最近发展区理论的渗透能够有效促进个体思维的拓展与突破，从而让自身实现由“不能”到“能”的进阶性转变.

第二，立足问题导向，探求知识本源. 哈尔莫斯认为“问题是数学的心脏”. 显然，没有问题支撑的教学，是无意义的教学. 如何设置问题，如何激发问题，是问题导向课堂的关键，也是教师教学的艺术所在.问题导向是创造性人才培养与造就的中坚力量.“好问题”关注知识与技能目标的切实达成，挖掘知识本质，揭示数学思想与方法，让学生基于特定问题情境形成思路，并历经思维碰撞的认知过程来实现自我建构，学会“数学地”思考，进而促进高阶思维深度发展与数学学科核心素养有效落实.

第三，注重整体关联，建构知识体系. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》在实施建议中指出：“整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展.”［5］可见，在新课改形势下，“为素养而教的整体性教学”已是大势所趋. 有效促进核心素养落地的整体教学方式引起了许多教育者的广泛关注. 过往零散的课时教学割裂了数学知识间的内在关系与思想方法，导致知识的碎片化、浅表化，不利于学生对数学知识的全面理解. 整体性建构注重教材内容的结构化整合，强调知识间的互通性，促进学生深度参与和整体感知，有助于学生构建逻辑连贯的思维过程，把握数学知识的实质与意义，从而站在系统高度洞悉知识间的关联性，实现有意义的学习.

■ “五I”理论下的三角函数的概念教学

1. 依托最近发展区，开拓学生的思维

以上节“任意角”的概念内容为基点展开三角函数的概念教学.借助几何画板的动态演示，回顾任意角的推广过程，并提出以下问题.

问题1 如图3所示，观察点P的变化，生活中有哪些类似情境可以借助此模型来描述？

追问1：怎样刻画点P的位置变化？

追问2：如图4所示，角α的变化引起了哪些量的变化？

设计意图 以章节典型的圆周运动为研究背景，统一的情境为学生学习三角函数内容建构了整体性认识.从学生的最近发展区着手，在教师的引导与带领下，感知任意角周期性变化的共同特点，直觉联想类似的变化模型（比如摩天轮、水车），将三角函数与现实生活紧密相连.而后，通过观察角的变化情况，在唤醒与函数内容相关认知基础的同时，引导学生将关注点由形的角度转至数的形态，为后续内容的学习奠定基础.

2. 立足问题导向，探求知识本源

问题2 能否建立一个数学模型具体描述点P的变化情况呢？

学生思考后，教师引导学生建立如图5所示的数学模型，并指出：为了方便起见，以最简单的圆，即单位圆，作为模型载体进行探究.

问题3 三角函数的本质是什么？

追问：初中学习的锐角三角函数与任意角三角函数的定义有什么联系吗？你能否用今天所学的三角函数的定义解决以下问题？

设α是一个任意角，它终边上的任意点与原点O不重合，点P（x，y）与原点之间的距离为r，证明：sinα=，cosα=，tanα=（x≠0）.

设计意图 质疑是实现深度学习的基本途径之一，也是问题探究的价值所在. 本环节设计问题链，借助问题驱动课堂教学，鼓励学生独立思考、合作探究，运用自己的语言描述三角函数的概念，了解三角函数的本质特征.问题是一种信息，学生发问、发省也是一种信息，教师将这些信息视为有效的课堂教学资源加以利用，激发学生的兴趣，使学生深切体会“问题—方法—方法论”的思维发展过程. 此外，类比函数的研究过程，既激发学生的探索精神与研究兴趣，促进学生数学思维的发展，又带领学生重温先验知识，从先前的利用锐角三角函数求特殊角的三角函数值，走向借助平面直角坐标系求任意角的三角函数值，深度体现知识的“再创造”.

3. 注重整体关联，建构知识体系

问题4 通过本节课的学习，你有哪些收获呢？能否依据自己的理解把今天学习的内容与以往的知识联系起来？

为了让学生进一步理解三角函数的概念，教师引导并辅助学生建构知识框图（如图6所示）.

设计意图 三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型.为了三角函数概念的构建，我们把角的概念推广到了任意角，而且引进了弧度制. 在弧度制下，角的集合与实数集R之间就建立起了一一对应的关系. 刻画三角函数的实际意义与价值，可让数学与自然界联系得更加紧密. 数学知识的整体建构让学生从新的视角再认识三角函数，加强学生对三角函数知识的理解与把握，从而推进智慧人的完美实现.

■ 教学思考

“五I”教育是一个复杂的过程，涉及学生情感与认知的综合发展. 在实践层面，“五I”理论的有效落实并非易事，我们应当积极探索“五I”教育的发展路径，为学生自由而又独特地成长做好充足准备.

1. 以“五I”理论为锚点，创设素质教学新空间

“五I”要素紧密相连，可以根据特定的教学需求进行组织.基于“五I”理论的教学，不仅要注重学生认知能力的训练与培养，更要注重直觉与情感的投入，倡导整体的、学生全身心参与的课堂. 本节课把信息、兴趣、质疑、直觉及智慧五个要素协调融入，以智慧目标为引领，遵循学生的直觉，鼓励学生质疑、发问，将问题、反馈以及情感意志等多种形式的信息作为课堂教学资源，带动整个探究过程，使学生的思维、情感、智力等多方面得到和谐发展. 在“五I”理论下，要创设素质教学新空间，教师必须熟练掌握“五I”理论，并将其灵活地应用于课堂，全面了解不同信息的使用状况，明确各种信息的特性，聚集不同要素的特点，以及各要素在素质教学空间建设过程中所发挥的优势，从而有效连接外界环境与内部课堂，促使教学空间多元化.

2. 设计开放性问题，激活学生思维动力

涂荣豹先生曾经指出：启发探究最重要的就是要在教学中尽可能多采用一些元认知问题，少采用一些认知性问题，即要通过提高问题的开放性来激发学生探究的积极性［6］. 因此，在构建新型教学体系时，应冲破传统的教学模式，抓住问题的发散点和学生思维的关键点，以开放性问题为中心，满足学生独立思考和自主探究的需求，帮助学生启动封闭的思维，打开紧锁的思想，从而建立具有广阔思维空间的教学环境. 同时，在开放性问题的解决过程中，学生会从多重视角思考问题，深入理解数学知识本质，领悟数学思想方法，促进高阶思维能力的综合提升. 在概念探究环节中，教师通过设置“能否总结一下求解任意角的三角函数值的步骤？”及“初中学习的锐角三角函数与任意角三角函数的定义有什么联系吗？”等开放性问题，既可以引导学生主动思考与探索，又能提高学生分析与解决问题的能力.