对2021年新高考全国Ⅰ卷导数压轴题的思路探究

[摘  要] 导数是高中数学学习的重要内容，极值点偏移更是高考考查的热点问题. 文章以2021年新高考全国Ⅰ卷导数压轴题为例，运用构造对称差函数、比值代换、对称构造、切割线放缩、构造函数等方法，对该题进行了思路探究，总结了该类试题的解决策略.

[关键词] 高考数学;导数压轴题;极值点偏移;思路探究

[⇩] 问题呈现与评注

问题呈现：（2021年新高考全国Ⅰ卷第22题）已知函数f（x）=x（1-lnx）.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+<e.

评注：该题以基本初等函数y=lnx为背景，第（1）问考查导数单调性，第（2）问考查同构和极值点偏移.极值点偏移问题，是高考命题的热点，多次作为高考数学压轴题，反映出此类问题的区分度较大，对学生的思维能力要求较高.本文重点对第（2）问进行解法探究.

[⇩] 第（2）问的思路探究

显然，由于f′（x）=-lnx，容易证明f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减.由blna-alnb=a-b，可得+=+，即1-ln

评注：思路6（构造函数）看似意想不到，实际上是从所求问题反推出来的，虽然考生在考场上很难想到这种解法，但在日常教学中教师可以引导学生对题目进行深入分析，体会构造函数法在解题中的妙用.

[⇩] 教学启示

2019年教育部公布的《中国高考评价体系》中将素质教育目标凝练为“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”的“四层”考查内容. 其中“关键能力”是支撑和体现学科素养要求的能力表征，包含知识获取能力群、实践操作能力群、思维认知能力群. 根据高考的特征，高考评价体系将这三个方面关键能力的发展水平作为主要考查内容，以区分学生综合能力水平的高低，引导基础教育对学生综合能力的培养[3].

由此可见，新高考评价体系对学生发现问题和解决问题的能力提出了更高的要求. 2021年的这道高考题看似考查基础的极值点偏移问题，但不等式右边的证明又让题目有了新的变化. 高中数学教学时间紧、任务重，在解题教学中要将每道例题发挥出最大的效能，特别是弥足珍贵的高考真题. 教师根据学生的学情合理采用“一题多解”的教学方法，不仅可以让学生在由浅入深、循序渐进的思维过程中实现由低层次水平到高层次水平的提升，突破学生僵化的解题模式，使学生对不同解题方法有更加深刻的理解，而且能够从思维认知能力上培养学生从多个视角观察、思考同一个问题，能够灵活地、创造性地运用不同方法，发散地、逆向地解决问题的能力[3].

参考文献：

[1]  邢友宝. 极值点偏移问题的处理策略[J]. 中学数学教学参考（上旬），2014（07）：19-22.

[2]  赖淑明. 从对数平均谈极值点偏移问题[J]. 中学数学研究（华南师范大学版），2015（07）：31-32.

[3]  教育部考试中心. 中国高考评价体系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.