高中数学解题教学基本策略的研究

[摘  要] 波利亚认为：“数学解题的成败取决于解题思路的正确与否，因此我们要从可以接近它的方向去逐层突破[1].”解题教学作为高中教学的重中之重，对发展学生的思维与核心素养具有深远的影响. 文章认为，解题教学的基本策略有：创设情境，激发情感;示范解题，优化方法;合作探究，提升能力;变式应用，发散思维.

[关键词] 解题教学;思维;合作探究;变式

数学知识与技能的掌握程度，一般体现在解题中. 解题虽不是教学的最终目的，却是培养学生数学思想方法的最佳手段，它对提升学生的数学思维与核心素养具有重要的促进作用. 解题就是将理论的学习体现在实践之中，有很多因素会影响着学生解题能力的发展. 因此，笔者针对解题教学的基本策略谈几点拙浅的看法.

[⇩] 创设情境，激发情感

情因境生，境为情设. 良好的教学环境是促进课堂有效生成的关键，情境作为特殊的教学环境，能有效地支撑学生的学习，促使学生对学习产生积极的情感. 学生一旦对教学内容产生了探究欲，就会启发思维，探索新知，学有所获. 那么，如何在解题教学中创设教学情境呢？实践证明，情境创设要合理、有趣、生活化，且具有挑战性，如此能有效地激发学生的探究欲.

问题情境是解题教学最常见的情境，是指在赋予问题以生命力的基础上，将学生的思维带入相应的问题中. 创设符合学生最近发展区的问题，能启发学生的思维，让学生进行大胆猜想，并探索新的解题方法，实现解题能力与创新能力的提升.

例1 数列的开篇教学.

本章节的开篇教学，以一段精彩的魔术视频，成功地吸引了学生的注意力. 此时，教师让学生猜想该魔术的奥秘，由此成功地引出斐波那契数列. 为了深化学生对数列的理解，教师又展示了与数列相关的一系列图片，让学生说一说观察图片后的感受与发现.

学生在观察图片后，一致认为，这些现象并非偶然发生的，细细琢磨，会发现存在一定的规律性. 通过观察与思考，学生切身感受到数列就是刻画离散过程的基本数学模型，因此大家一致认为数列研究是一项有意义的学习.

由一个魔术开启本章节的教学，有趣又有料，再用图片激发学生深思，使得学生自主发现数列学习的意义. 这些源于生活的情境，给学生带来了一种别样的感官体验，学生在观察、联想、推理中逐步实现对知识的认识与理解，寓教于乐的教学方式，也使得解题教学得以顺利展开.

[⇩] 示范解题，优化方法

不论是教材，还是教师的教学，都会对解题进行示范. 这种示范，并非直接揭露正确答案，而是将思维过程以及容易出现的错误等暴露给学生，让学生解题时少走弯路[2]. 俗话说，“授人以鱼不如授人以渔”，解题示范就是授人以渔的过程，让学生在观察与思考中，获得相应的解题方法与数学思想，为独立解题奠定坚实的基础.

例2 已知α，β都是锐角，且cosα=，cos（α+β）=-，求sinβ的值.

解题示范：因为α，β均为锐角，已知cosα=，因此sinα=. 根据cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，假设sinβ=x，则cosβ=，-x=-. 要解该方程，过程烦琐冗长，要经过移项、平方，之后才能求出x的值. 因此，笔者鼓励学生进行交流，一起来思考有没有更简便的解题方法.

学生经过交流后，认为可用以下方法进行解题：

因为α，β均为锐角，cos（α+β）=-，所以sin（α+β）=. 由sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）·sinα，计算可得sinβ=.

教师在解题示范过程中，故意引出容易出错的解题方法，以激起学生思考. 当学生对此问题产生了探索欲时，鼓励学生进行交流，让学生在交流中释放自己的思维，汲取同伴的经验，获得解题问题的办法.

此过程不仅解释了遇到解题困难时，该怎样思考突破方法，还充分暴露了解题的整个思维过程. 学生从“失败”的解题示范中探索出了解决问题的办法，同时，每个学生经历解题的坎坷后，激起了思维的浪花，获得了成就感，为解题能力的提升奠定了基础.

[⇩] 合作探究，提升能力

随着高考制度的改革，综合性考题的质量越来越高，这让学生感到解题障碍重重. 学生在步步设伏的问题中，一不小心就中了埋伏，导致各种错误发生. 因此，教师可以利用合作探究的方式激发学生的思考，鼓励学生在独立思考中尝试解决问题的办法.

合作探究是指在学生自主学习的基础上，加强合作交流，通过学习与探索主动建构新知的一种模式. 此方式提倡：“在凸显学生主体性地位的同时，决不可忽视教师的主导作用，课堂需要在教师的引导下逐渐深入.”学生通过独立思考与合作探究，实现优势互补，在取长补短中获得思维的提升.

例3 观察图1，并思考：

（1）以这种形式拼搭成1，2，3个正方形，各需要多少根小棒？

（2）以这种形式拼搭10个正方形，需要小棒多少根？

（3）以这种形式拼搭100个正方形，需要多少根小棒？怎么计算的？

（4）若依照此形式拼搭n个正方形，需要多少根小棒？

教师将准备好的小棒分发给学生，让大家按照图1的模式，亲自搭建小正方形，自主思考并讨论问题的答案. 第（1）问对于学生而言非常简单，学生通过简单的操作就获得了准确答案，此问让所有的学生都在动手操作中，快速获得了良好的直观体验.

随着问题的逐渐深入，学生探索正方形的个数与小棒之间的关系时，产生了不一样的想法. 因此，笔者鼓励学生用小组合作学习的模式进行探究，将各组获得的规律以符号的形式进行表达，帮助学生建立符号感.

合作探究中，组内成员积极地表达了自己的看法与观点，因为没有思想包袱，所以学生乐于表达自己的想法，这种方式有效地打破了传统课堂被少部分学生占领的尴尬情况. 如此，可使得每个学生都能获得表达的机会，促进了全体成员的共同成长.

[⇩] 变式应用，发散思维

解题教学并非例题讲得越多越好，而应根据学生的认知与题目的特点，进行深度教学[3]. 传统的教学观念认为，解题越多，覆盖面越广，学生积累的经验越丰富. 但“题海战术”带给学生的只有枯燥、乏味的体验，甚至因缺乏自己的想法，而成了刷题机器. 为了避免这种现象的发生，新课标特别强调变式训练在解题教学中的重要性.

变式训练可以用一道题为题根，逐渐深入地灵活变化出多题;可以是多题一解，也可以鼓励学生自主编题、变题等. 总之，就是将一个知识点不断地变化、拓展、延伸，以深化学生的认识，激活学生的思维，完成以一通百的解题目的. 学生在变式训练中不仅能达到举一反三的解题能力，还能形成良好的创新意识与探索精神. 因此，充分展现变式的魅力，对培养学生的发散性思维具有决定性的作用.

例4 y=+的值域是多少？

看到此题，学生先想到的就是用函数的单调性来解决：本题呈现的函数的定义域为[5，+∞），若x=5，y=1，因此可确定待求的值域为[1，+∞）.

若此题到此为止，那就是典型的“就题解题”. 想要通过解一道题，通一片题，达到解一百道题的目标，就需要在此基础上，对此题进行变形，以拓宽学生的思维，强化学生的解题能力.

变式1：y=-的值域是多少？

这是一个典型的减函数，可选择与题根类似的解法，对于大部分学生而言，这个变式没有什么难度，基本起到“小试牛刀”的作用.

变式2：y=+的值域是多少？

本题与题根、变式1相比，难度稍微递增了一些. 教师可以鼓励学生自主探索. 学生经过思考后，提出：分析此函数，可确定其定义域为[4，5]，设x=sin2α+40≤α

≤，可得y=sinα+cosα=2sin

+α. 因为≤α+≤，所以1≤2sin

+α≤2，因此1≤y≤2.

变式的提出，学生的思维随着题目难度的增加而逐层递进. 通过两个变式的训练，既避免了“题海战术”带来的枯燥感，又帮助学生全面地理解了相关知识，且减轻了学生的负担，达到了真正意义上的减负高效的状态. 因此，变式练习不仅能加强学生对知识的理解程度，更重要的是能促进学生发散性思维的成长.

总之，解题教学是师生共同参与、多元互动的教学过程，此过程应凸显学生的主体性地位，教师起到引导与调控的作用. 解题教学中，学生不仅要获得相应的解题能力，更重要的是要获得良好的数学思想和数学素养.

参考文献：

[1]  G·波利亚. 怎样解题[M]. 涂泓，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]  韩龙淑，黄王珍. 数学教学中如何引导学生进行解题学习的反思[J]. 数学教学研究，2006（03）：7-9.

[3]  马复. 设计合理的数学教学[M]. 北京：高等教育出版社，2003.