识思探算验 探究是关键

［摘  要］ 新一轮高考命题改革力求突出对学生核心素养与思维品质的考查，在高考试题命制方面下足了功夫——创新试题形式，加强情境设计，注重联系社会生活，增加综合性、应用性、开放性、探究性试题.这一轮大力度的命题改革，推动着一线教师深入思考：如何应对新课改以提高学生的解题能力并培养学生的核心素养. 文章以“2021年新高考I卷第19题‘解三角形问题’”为例，分析、总结并提炼解题能力提升策略.

［关键词］ 解题策略；关系探求；解题反思

引言

解题是数学活动的主要内容和基本形式，数学学习和高考考查都离不开解题. 北师大曹一鸣教授认为，“解题过程是知识的运用过程，是解题者面向对象的数学化过程，包括对其形式化、表格化和图形化，进而纳入到一个特定的模式化系统中来，确认系统内部所满足的整体属性和局部属性，在此基础上确认个别对象在系统中的身份、位置、属性，借以实现它与其他对象的关联，使解题目标明确开来.”［1］2021年新高考Ⅰ卷第19题“解三角形问题”，很多考生普遍反映不简单、不好做，这引起了笔者思考：问题出在哪儿？如何提升数学解题能力以落实核心素养？本文拟从此题的解法、问题思路分析出发，结合笔者在江苏省新高考推行以来教科研、高考阅卷等活动中积累的对高考评价要求和阅卷规则的理解，探讨学生解题能力提升策略. 不当之处，敬请指正.

考题分析

2021年新高考Ⅰ卷第19题：记△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）证明：BD=b；

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

试题情境：本题是综合性试题，属于探索创新情境，具体是数学探究情境.本题以三角形为载体，侧重考查解三角形问题.

必备知识：本题考查的是正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形中求角问题.

关键能力：本题主要考查逻辑思维能力和运算求解能力.在三角形求解模型下能够准确选用正弦、余弦定理解决求边求角基本问题.

学科素养：本题考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生能够在三角形中，通过条件分析，挖掘隐含条件，合理选择正弦、余弦定理进行运算.

解题策略

怎样解题？G·波利亚的“理解题目、拟定方案、执行方案和回顾”四步解题法明确阐述了解题的基本策略，曹一鸣教授认为，“数学解题的思维过程，清晰地表现为四个连贯的思维进程，即模式断定、目标定位、路径探求、技术实现四步”. 本文在以上理论基础上尝试进一步总结高考细化的解题实践策略，以帮助学生提高解题水平.

1. 审阅识别

【识】 识别、辨识、断定. 反复审题，准确认清题目条件、解题目标及其“环境”状态，通过解题经验断定其一般属类，可以称为模式断定.

这是解三角形中的哪一类问题？定边求角问题的一般方法是什么？正弦、余弦定理模型应用的条件、特点是什么？思维进程即“识”阶段.

2. 定位思考

【思】 思考、分析、明确. 题目的目标是什么？已经知道了什么？解题目标是否可以转换成一些比较容易达到的目标？常用的转化办法有哪些，可否借鉴，应从何入手？题眼或突破口在哪里？可以称为定位思考，恰如G·波利亚所言：“当你对问题的叙述已如此清楚，并已深深地印入脑海，以致你即使暂时不去看它，你也不怕把它完全忘掉时……先把问题的主要部分剖析出来.因为前提与结论是‘求证题’的主要部分，未知、已知与条件是‘求解题’的主要部分.再把问题中的主要部分都弄一遍，并且要逐个地考虑，轮流地考虑，而且在各种组合中来考虑，同时把每个细节与其他细节联系起来，把每个细节与整个问题联系起来.”概言之，所谓定位可以理解为在熟悉题目整体构成的前提下，从结论和条件出发，结合已有的相关联的知识和经验，初步确定解题方法的阶段.

如第（1）问：

思1：因为BDsin∠ABC=asinC①，由正弦定理=，可知BD·b=ac②. 因为b2=ac③，所以BD·b=b2，所以BD=b④.

此法是常用的解法，可称为通法，思维过程大致是“求边→BDsin∠ABC=asinC（怎么用）→化边→（用什么）正弦定理→BD·b=ac→（用条件2）b2=ac”，即“式子①→正弦定理→式子②→式子③→式子④”. 式子②是关键式子，其得到的方式不同会构成不同的解（解法），比如：

思2：=→=b，由BD=→BD=b.

思3：=，=→sin∠ABC=sin∠BDC.

①∠ABC=∠BDC→=，即=→BD·b=ac→BD=b.

②∠ABC=∠BDA→=，即=→BD·b=ac→BD=b

注1：第（1）问的证明，目标是定边，关键是得到核心关系式BD·b=ac，而得到的途径凸显学生对正弦定理的理解程度，“化边”“化角”是正弦定理提炼后的一般应用方式的叙述，理解了它就能很简洁地证明本问. 本问解法的繁简程度，能反映考生对正弦定理的理解程度.

注2：要注意解答的规范性，条件“BDsin∠ABC=asinC”要写，正弦定理或相应公式要写. 教学中应不断强化学生的规范意识，规范也是素养. 据调研，很多考生解答本问并不能做到简洁明了、准确到位，个中缘由值得深思，应在教学中予以解决.

3. 关系探求

【探】 探求、探索、探明.分析题目的条件及各量之间的关系，探求达到目标的路径.探索题较训练题少了不少条件，使得内部运算关系变得隐晦或多样，从而必须做出逻辑断定，或者分类讨论来实现.这种内部关系呈现出来的复杂性，处理手段表现出来的多样性，把思维活动的严谨、抽象、灵活等特性生动地展现出来，可以称为路径探求. G·波利亚对此有过精彩的论述，“从各个方面考虑你的问题.分别突出各个部分，考察各个细节，用不同方法反复审查同一细节.把细节用不同方式组合起来，从不同角度考虑它.试着在每一细节中发现某些新意义，尝试在整个问题中得出某些新解释.从你现有知识中找出与问题有关之处.试想过去在类似的情况下有什么曾帮过你的忙.在你所考察的内容中，设法找出熟悉的东西来，在你所熟悉的东西中，努力找出有用的东西来.”关系探求是思考定位的后续和深化，G·波利亚认为探求过程“能找出什么？一个有用的念头，也许是个决定性的念头，它能使你一眼看出解决问题的途径”.有时候这个有用的念头就是考查的核心.

高考非常青睐这样的富有探究性的考法，如第（2）问：

思4：由题意知，BD=b，AD=，DC=，所以△ABD中，cos∠ADB==；△BDC中，cos∠CDB==. 因为∠ADB=π-∠CDB，所以cos∠ADB+cos∠BDC=0，所以=，所以2a2+c2=，所以6a2+3c2=11b2. 又b2=ac，所以6a2+3c2=11ac，即（3a-c）（2a-3c）=0，所以a=或a=. 因为cos∠ABC=，所以cos∠ABC=或cos∠ABC=（舍去）.

注3：思4为常用之法，以方程思想为主线，串联余弦定理，运用“算两次”的方法构建一个比较隐晦的关系式，与条件组成方程组，可得三边的关系，然后再次运用余弦定理求解. 思4中的关键式子是6a2+3c2=11b2，其实这样的关键式子得到的方式灵活多样：在不同的三角形中选用角C，或者角A，算两次，由cos∠BCD=cos∠BCA或cos∠BAD=cos∠BAC均可得到相应的关键式子；而且还可以借助向量处理边角关系，即将=+两边平方，再将cos∠ABC=代入也可得到相应的关键式子. 总体来看，可以结合图形特征和数量关系用“角”“向量”“建系”“三角形相似”乃至“特殊化”（不妨设BD=3，由第（1）问得b=3，AD=2，DC=1，结合∠BDC+∠BDA=π得到2a2+c2=33）等多种方法得到关键式子，这恰恰反映了考生思维的灵活性，充分体现了核心素养的生成.本问的典型错误在于选用了∠ABD+∠CBD=∠ABC这一等式，再取正弦定理或余弦定理导致无法继续求解，换言之，说明考生未能抽象出有用的等式，这就是水平差异.

4. 运算求解

【算】 计算、运算、算法. 主要表现为理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神，即从条件出发，采用恰当的技术方法，对探求路径予以落实，可以称为技术实现. 本题“妙”在思考角度多，关系确立“活”；“难”在运算要求高，学生易在运算环节失分.

思5：在△ABC中，AD=2DC，AC=BD，不妨设BD=3t，AD=2t，CD=t.

在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2AD·BDcos∠ADB=13t2-12t2cos∠ADB；在△BDC中，BC2=BD2+CD2-2BD·CD·cos∠BDC=10t2+6t2cos∠ADB.

令∠ADB=θ，由已知b2=ac，可得·=9t2，即（13-12cosθ）（10+6cosθ）=81，所以cosθ=或cosθ=-（舍去）.

所以AB=t，BC=，所以cos∠ABC==.

思6：以D为原点，DA为x轴建立平面直角坐标系，设A（2t，0），C（-t，0），B（x，y）（t>0）.

因为BD=3t，所以x2+y2=9t2. 因为ac=b2，所以BC·BA=BD2，所以·=9t2，所以（10t2+2tx）（13t2-4tx）=81t4，解得x=-t或x=t.

由向量公式得cos∠ABC=====，当x=-，cos∠ABC=>1（舍去）；当x=，cos∠ABC=. 综上，cos∠ABC=.

注4：本题的算法还可以如下.

由6a2+3c2=11b2，

a2c2=b4，解得a2

=b2，

c2

=b2，或a2

=b2，

c2=3b2，解得

a=b，

c=b，或

a=b，

c=b.

当a=，c=b时，a+b<c，舍去.

关键式子除6a2+3c2=11b2外，还有2a2+c2=，2a2+c2=b2等形式，关键是各字母的系数，特别要注意其中的系数比例（特别是33）. 这里有一种典型错误，即将条件AD=2CD看成CD=2AD.

无论得到的关键式子是6a2+3c2=11b2，还是·=9t2，或·=9t2，继续解题的关键是运算，这里也可以理解为二元目标式的化简运算. 此类运算在含参函数的零点、解析几何的定值等典型问题中常有涉及，而“目前高中生数学运算能力普遍较弱，特别是带式子的整式运算……含字母比较多，有时‘会却算不出’……引导学生直面困难，求解过程算思结合，逢山开路，遇水搭桥. 既要能直接‘硬算’，也会选择方法简算，既要能选好求解切入点，又要会中途调整方向、追根溯源、优化解法、把握本质”［2］.

5. 检验回首

【验】 验算、检验、验证. 这是思维严谨性的重要体现，特别是在解三角形中，经常需要多值检验，与方程增根有关.由于本题涉及二次方程求解，出现多解，因此有必要检验解的有效性. 检验意识也是解题素养的重要体现.

思7：由第（1）问得∠ABC=∠BDC或∠ABC+∠BDC=π.若∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，则△ABC∽△BDC，则=，即=，即b2=3a2. 又b2=ac，所以c=3a，所以cos∠ABC=>1，舍去. 若∠ABC=∠BDA，同理可得b2=c2. 又b2=ac，所以a=c，所以cos∠ABC=.

思8：由第（1）问得∠ABC=∠BDC或∠ABC+∠BDC=π.

①若∠ABC=∠BDC，在△ABC中，cos∠ABC=；在△BDC中，cos∠BDC=. 由cos∠ABC=cos∠BDC，得12a2-13b2+3c2=0. 又b2=ac，即（3a-c）·（4a-3c）=0，所以a=或a=. 所以cos∠ABC==>1（舍去），或cos∠ABC==. 当cos∠ABC=时，cos∠BDA=≠-cos∠BDC，舍去.