利用教材内容重构 提升数学教学品质

［摘  要］ 在高中数学教学中，教师应认真研究教材内容，按照教材内容重构原则进行适度有效的删减、增补、置换，将教材内容转化为适合学生发展的教学内容，以此提高教学有效性. 针对“函数与方程”中的零点处理问题，除了按照教材内容开展教学活动外，教师还应结合教学实际挖掘学生的认知误区，渗透解决问题的方法，以此让学生认清问题的本质，形成解题策略，提升教学品质.

［关键词］ 教材内容；内容重构；教学品质

数学教材内容的深度和广度是以数学课程标准为依据的，其渗透着编者对数学课程标准的主观解读，是编者对数学课程标准的一种具体化解读过程. 同理，数学教师的“教”是对数学教材的一个具体化解读过程. 教师要搞好教学工作，除了认真解读教材外，还要结合教学主客观条件及学生实际情况对教材内容进行重构，将教材内容转化为教学内容，以此提升教学质量，提升学生的数学素养. 不过，由于教师的教学水平和学生的实际学情等方面存在差异，部分教师并没有按照学生实际学情将教材内容进行有效转化和重构，只是简单地“照本宣科”，因教材内容与学生实际学情不符而挫伤了学生数学学习信心. 因此，在实际教学中，教师必须从学生实际学情出发，认真研究教材、研究教学，通过适当重构使教材内容更具普适性，更适合学生的发展. 本文以“函数与方程”中的零点处理为例，谈几点笔者对教材内容重构的认识，仅供参考.

对教材内容重构的认识

1. 何为教材内容重构

所谓教材内容重构，指教师依据具体教学情境和学生实际学情对教材内容进行适度有效的增加、删减、置换、改编，将其整合为新的教学内容.

2. 教材内容和教学内容

顾名思义，教材内容就是书本上的内容，包括文字、图片等. 一般来讲，教材内容因限于篇幅往往会省略一些思维过程，因此教材内容不直接适用学生. 教师需要运用一些设计理论和方法对教材内容进行一定整合、改编，使其转化为学生易于接受的，凸显数学本质的教学内容，以此充分发挥教材内容的价值，提升教学有效性.

3. 重构教材内容的原则

重构教材内容不能凭借教师个人兴趣爱好而随意进行增加、删减和改编，那样容易出现脱离考纲，限制学生发展等负面影响. 在重构教材内容时应该遵循如下原则：

（1）遵循数学课程标准. 数学课程标准体现的是对学生的基本要求，是实施素质教育的主要依据，是开展教学活动的指导性文件，因此重构教材内容时必须以数学课程标准为纲，遵循数学课程标准所提出的培养目标和教学要求.

（2）遵循教学实际. 因受地区差异、教学环境、师资水平、学生学情等诸多因素的影响，学生的学习能力往往会呈现一定的差异性，因此在具体教学中要避免“一刀切”. 教师应在遵循数学课程标准和教学实际的情况下，对教材内容进行适当调整，使其更适合学生学情，更适合学生发展.

（3）遵循考试要求. 重构教材的目的是更好地教学，而考试是衡量教学的重要依据，因此教师要认真研究命题方法，研究命题特点，从而通过有效重构更好地服务于教学、服务于学生.

教学实践

1. 函数零点教材内容解读

函数零点是高考的重要考点，也是公认的教学难点. 认真研读教材不难发现，其主要涉及如下几个知识点：

（1）函数零点的含义. 对于函数y=f（x）（x∈A），若存在实数x（x0∈A）使f（x）=0，则称x为函数y=f（x）的零点.

（2）函数零点的意义. 函数y=f（x）的零点实际就是函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标.

（3）函数零点的性质. 若函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是一条连续不断的曲线，且f（a）f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上至少存在一个零点.

若在实际教学中仅按照以上内容进行教学，很难让学生理解函数零点的本质，这样也就难以实现知识的融会贯通. 因此，在实际教学中有必要进行一定拓展和延伸，以此帮助学生认清问题的本质，提高学生分析和解决问题的能力.

2. 函数零点教材内容重构

在函数零点的教学中，教师可以引入一些错误，渗透一些方法，以此深化学生对知识的理解，消除思维误区，提升解题效率.

（1）借助错误，消除认知误区.

数学知识是抽象的、复杂的，在学习过程中学生难免会误入“歧途”，从而出现各种各样的错误. 对于这些错误，教师要认真分析，找到真正的错因，以此通过有效修补让学生学懂学会.

根据学生平时作业、考试反馈进行分析，学生在函数零点的处理上最容易陷入以下两个误区：一是片面认为若函数为单调函数，那么它就有且仅有一个零点；二是认为存在极值的函数的零点至少有两个.

例1 设a>1，函数f（x）=（1+x2）ex-a，求证：函数f（x）在R上有且仅有一个零点.

错解：由已知得f′（x）=（1+x）2ex≥0，所以函数f（x）在R上单调递增，所以函数f（x）在R上有且仅有一个零点.

错因剖析：函数f（x）在R上单调递增并不是判断函数f（x）在R上存在零点的充要条件，如指数函数f（x）=2x在R上单调递增，但是其与x轴并没有交点，不存在零点. 可见，以上证明过程缺乏严谨性，应运用函数零点存在定理论证函数零点存在且唯一.

正解：由已知得f′（x）=（1+x）2ex≥0，所以函数f（x）在R上单调递增，且f（0）=1-a<0. 当x>0时，ex>1，所以f（a）=（1+a2）ea-a>1+a2-a. 又1+a2-a=a-+>0，即f（a）>0，故函数f（x）在R上有且仅有一个零点.

例2 设函数f（x）=x2lnx-ax2+b在点（x，f（x））处的切线方程为y=-x+b.

（1）求实数a及x的值；

（2）求证：对任意实数b∈0，函数f（x）有且仅有两个零点.

错解：本题的错解主要集中在第（2）问. 由第（1）问可知f（x）=x2lnx-x2+b，所以f′（x）=2xlnx-x. 令f′（x）=0，得x=. 当x∈（0，）时，f′（x）<0；当x∈（，+∞）时，f′（x）>0. 所以函数f（x）的极小值f（）=b-<0，即对任意实数b∈0，函数f（x）有且仅有两个零点.

错因剖析：本题中的函数存在零点与极值密切相关，但是根据极值小于0直接得出函数有两个零点有失严谨. 在此类问题求解过程中应该在极值点附近取一个特殊常数，通过函数值是否异号判定函数是否存在零点.

正解：由第（1）问知f（x）=x2lnx-x2+b，所以f′（x）=2xlnx-x. 令f′（x）=0，可得x=. 当x∈（0，）时，f′（x）<0；当x∈（，+∞）时，f′（x）>0. 所以函数f（x）的极小值f（）=b-<0. 因为f（e）=e2-e2+b=b>0，所以函数f（x）在x∈（，e）上存在唯一零点.

下证函数f（x）在x∈（0，）上存在x，使f（x）>0：设h（x）=xlnx-x+1，则h′（x）=lnx. 当x∈（0，1）时，h′（x）<0，所以函数h（x）在（0，1）上单调递减，因此当x∈（0，1）时，h（x）=xlnx-x+1>h（1）=0，所以x2lnx-x2+b>b-x. 取x=min｛1，b｝，则f（x）>b-x≥0，即函数f（x）在x∈（x，）上存在唯一零点.

综上可知，对于任意实数b∈0，函数f（x）有且仅有两个零点.

以上两个误区是学生在解题时最易出现的，教师要利用好这些错误的生成性资源，对错因进行深度剖析，帮助学生理清问题的来龙去脉，以此消除学生的认知误区，让学生学懂会用.

（2）渗透方法，形成解决策略.

在教学中，学生常常会有这样的困惑，概念、定理、结论等基础知识背得滚瓜烂熟，在平时解题时也是得心应手，怎么在综合训练时就时常束手无策呢？究其原因，这与“教”和“学”的模式息息相关，教师喜欢“讲授”，学生喜欢“套用”，平时练习的针对性强，多数范例可以用于模仿，所以学生通过模仿和套用能够解决大多问题，但面对一些新颖别致的问题时，常常感觉无所适从. 若要改变这一现状，教学中教师要带领学生经历一些过程，渗透一些方法，以此形成解题策略，提升解题能力. 不过，解题策略属于一种思维意识，是难以靠讲授形成的，需要在解决问题的过程中逐渐感悟、抽象，从而形成符合个体认知的解题策略.

例3 若函数f（x）=x2-2x-a在（0，4）上有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

解法1：分类讨论思想.

第一，当函数f（x）=x2-2x-a在R上只存在一个零点，则Δ=0，解得a=-1，零点x=1，满足要求；第二，若x=0是函数f（x）的零点，此时a=0，另一个零点为x=2，满足要求；第三，若x=4是函数f（x）的零点，此时a=8，另一个零点为x=-2，不符合要求；第四，若函数f（x）存在两个零点，一个在区间（0，4）内，一个在区间（0，4）外，且不是端点，则f（0）·f（4）<0，求得0<a<8. 综上所述，实数a的取值范围是-1或［0，8）.

解法2：数形结合思想.

由已知可知函数f（x）=x2-2x-a的开口向上，对称轴为x=1，绘制图1. 结合图形可知，当Δ=0，即a=-1时，函数f（x）在（0，4）上只有一个零点；若函数f（x）存在两个零点，一个在区间（0，4）内，一个在区间（0，4）外，则Δ>0，

f（0）≤0，f（4）>0，代入相关数值得4+4a>0，-a≤0，8-a>0，解得0≤a<8. 所以实数a的取值范围是-1或［0，8）.

解法3：化归思想.

函数f（x）=x2-2x-a所对应的方程为x2-2x-a=0，变式为a=x2-2x=（x-1）2-1，即a+1=（x-1）2. 由于函数f（x）在区间（0，4）上只存在一个零点，所以方程a+1=（x-1）2在区间（0，4）上只有一个根. 根据已知绘制函数y=（x-1）2和直线y=a+1在区间（0，4）上的图像，如图2所示. 当直线y=a+1上下移动，只有在a+1=0和1≤a+1<9时，方程在区间范围上只有一个根，于是可得实数a的取值范围是-1或［0，8）.

在教学中，教师要落实多元的教学机制，引导学生从不同角度分析，应用不同方式解答，从而在优化解题方案的同时，提高学生的学习能力和数学素养.

总之，在实际教学中，教师要认真研究教材内容，认真研究学生，认真研究考试，通过有效重构激发学生的学习动机，提升学生的学习能力，提高教学质量.

作者简介：孙少仙（1986—），本科学历，一级教师，从事高中数学教学工作.